COMPITO di ANALISI MATEMATICA 9/2/2021

COMPITO di ANALISI MATEMATICA 9/2/2021

I M 1) Siano dati due numeri complessi e che, posti in forma trigonometrica, hanno mo-D_" D_# duli uguali rispettivamente a e % ", ed argomenti rispettivamente uguali a "( e #$ . Si

# & 1 #!1

calcolino le radici cubiche del loro quoziente D D^" Þ

#

Avremo quindi À

D "( #$ "( #$

D œ œ ) &  #!  3 &  #! œ

%  3

 3

"

#

 

cos sen   

cos sen cos sen

"( "(

& &

" #$ #$

# #! #!

1 1

1 1  1 1  1 1

D %& %& * *

D^" œ ) #!  3 #! œ ) %  3 % Þ

# cos 1 sen 1 cos 1 sen 1 Quindi:

^$ D ^$ $ #  $ # 

D^" œ ) %  5 $  3 %  5 $ ß ! 5 # Þ

# cos 1 1 sen 1 1 

Ÿ Ÿ

Se 5 œ ! À # cos$  3sen$ œ  #  3 # à

% %

 1 1  

Se 5 œ " À # cos $  #  3sen $  # œ # cos "(  3sen "( œ

% $ % $ "# "#

  1 1  1 1  1 1

œ # $  3# $ à

Se 5 œ # À # cos $  %  3sen $  % œ # cos #&  3sen #& œ

% $ % $ "# "#

  1 1  1 1  1 1

œ #  3 œ $  3 $ Þ

"# "#

cos 1 sen 1     

#  # 

I M 2) Data la funzione 0 Bß C œ , determinare l'oppor-

B C

B  C  B À Bß C Á !ß !

5 À Bß C œ !ß !

 





   

   

# #

# #

tuno valore di che rende la funzione continua nel punto 5  !ß ! , e determinare poi se in tale punto risulta anche differenziabile.

Intanto risulta: B C B C  B  BC

B  C  B œ B  C Þ

# # # # $ #

# # # # Passando a coordinate polari avremo:

lim lim

   BßC Ä !ß!

# # $ # $ # # $ #

# # Ä! #

B C  B  BC  

B  C Ê œ

4

cos sen cos cos sen

4 4 * * * * *

4

 

œ lim  " œ !

4Ä!

cos4 * 4 cos sen* #*  .

La convergenza è uniforme in quanto 4cos* 4 cos sen* ^#*  "Ÿ4 4  ". Quindi la funzione è continua in  !ß ! se 5 œ !.

Passando al calcolo del gradiente, avremo poi:

`0 0 !  2ß !  0 !ß ! !  2  ! "  2

`B !ß ! œ lim  2   œ lim 2  ! † 2 œlim 2 œ  " à

2Ä! 2Ä! 2Ä!

$ $

# $

`0 0 !ß !  2  0 !ß ! !  !  ! "

`C !ß ! œ lim  2   œ lim !  2 † 2 œ ! Þ

2Ä! 2Ä! #

Quindi f0  !ß ! œ "ß ! .

Per la differenziabilità in  !ß ! dobbiamo infine verificare se:

   BßC Ä !ß!lim # #

0 Bß C  0 !ß !  !ß ! † B  !ß C  ! B  !  C  !

      œ !

   

f0  ovvero se:

lim lim

   BßC Ä !ß!    BßC Ä !ß!

# # $ # # # $ # $ #

# # # # # # # #

    

B C  B  BC " B C  B  BC  B  BC

B  C  B œ

B  C B  C B  C

†

ovvero se lim .

   BßC Ä !ß!

# #

# # # #

B C

B  C B  C œ !

  

Passando a coordinate polari si ha: cos sen cos sen , e la con-

lim lim

4Ä! 4Ä!

% # #

$

# #

4 * *

4 œ 4 * *œ !

vergenza è uniforme in quanto 4cos^#*sen^#*Ÿ4. Quindi la funzione è differenziabile in  !ß ! Þ

I M 3) Il sistema di equazioni B  / œ C , soddisfatto nel punto  , defini-

B  C  D œ / !ß "ß !

DBC

BCD

# # #

sce implicitamente una funzione B Ä C B ß D B     . Determinare se esiste il vettore tangente a tale curva nel punto opportuno.

Vediamo il sistema come    con  .

   

 

0 Bß Cß D œ B  /  C œ ! 1 Bß Cß D œ B  C  D  / œ !

0 !ß "ß ! œ ! 1 !ß "ß ! œ !

DBC

BCD

# # #

Risulta poi: ` 0 ß 1 per cui:

` Bß Cß D œ "  C /  B /  " /

#B  CD / #C  BD /  #D  BC /

 

   ^{DBCBCD DBCBCD DBC BCD}

` 0 ß 1

` Bß Cß D !ß "ß ! œ !  " "  " " œ  # Á !

! # ! # !

 

    . Dato che   il sistema definisce

implicitamente una curva B Ä C B ß D B     . Risulta quindi:

d d

dC e dD . Quindi e quindi non

B œ œ ! B œ œ ! C ! ß D ! œ !ß !

! "  " !

! ! # !

 " "  " "

# ! # !

   

   

 ^w   ^w   

esiste il vettore tangente nel punto B œ !.

I M 4) Data la funzione D œsenB  C, determinare tutti i punti nei quali il gradiente della funzione ha modulo massimo e tutti i punti nei quali ha modulo minimo.

La funzione D œ senB  C è differenziabile a Bß C −  ‘^#: Si ha poi:

f0Bß CœcosB  C à  cosB  C per cuiÀ

f0Bß Cœcos^#B  C  cos^#B  Cœ#cos^#B  C Þ

Quindi f0 Bß C  risulta massimo se cos^#B  C œ " ovvero se cosB  C œ „" ovvero se B  C œ ! o se B  C œ 1 e quindi, più in generale, se B  C œ 5 ß 5 −1 ™.

Invece f0 Bß C  risulta minimo se cos^#B  C œ ! ovvero se cosB  C œ ! ovvero se

B  C œ B  C œ B  C œ  5 ß 5 −

# # #

$

1 1 1

1 ™

o se e quindi, più in generale, se .

II M 1) Risolvere il problema Max/min s.v. :

 0 Bß C œ #B  C

B  #C Ÿ "

  ^{# #}

# # .

La funzione obiettivo del problema è una funzione continua, il vincolo definisce una regione ammissibile (ellisse) che è un insieme compatto, e quindi possiamo applicare il Teorema diX Weierstrass. Sicuramente la funzione ammette valore massimo e valore minimo.

Per risolvere il problema utilizziamo le condizioni di Kuhn-Tucker.

Scriviamo il problema nella forma Max/min s.v. :

 0 Bß C œ #B  C

B  #C  " Ÿ !  ^{# #} Þ

# #

Formiamo la funzione Lagrangiana:

ABß Cß-œ #B  C ^{# #} -B  #C  "^{# #} .

Applicando le condizioni del primo ordine abbiamo:

1) caso - œ ! À

 

 

A     

A ‡

wB wC

œ %B œ !

œ #C œ ! Ê à !ß ! œ !ß !

B œ ! C œ ! B  #C Ÿ " !  ! Ÿ "

% !

! #

# #

e quindi è un punto di minimo

 

interno alla regione ammissibile.

2) caso - Á ! À

  

  

  

 

 

A A

wB wC

œ %B  # B œ #B #  œ !

œ #C  % C œ #C "  # œ ! Ê ∪

B œ ! C œ !

œ # œ

- -

- -

- -

B  #C œ "^{# #} !  ! œ " impossibile impossibile

"

# oppure

 

  

 

 

 



 A

A

wB wC

œ #B #  œ !

œ #C "  # œ ! Ê ∪ B œ !

œ

œ ! œ # -

- - -

B  #C œ "^{# #} C œ^# B œ "^#

"

#"

#

C

da cui le quattro soluzioni:

 

 

 

   

 

 

 

 

 

B œ ! B œ !

C œ C œ 

œ œ

∪ ∪ ∪ Þ

B œ " B œ  "

C œ ! C œ !

œ # œ #

" "

# #

" "

# #

 

- - - -

Essendo il valore dei - positivo, questi punti potrebbero essere di massimo.

Vista la presenza di un solo vincolo, possiamo controllare la natura di questi punti utilizzando la matrice Hessiana orlata.

Risulta ‡ - -

-

Bß Cß œ Þ

! #B %C

#B !

%C !

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 %  # 

#  %

E quindi:

   

 

 

 

 

 

 







  

‡!ß " ß"

# # $

 œ ! œ $ † œ $  )  !

! ! # #

! !

# # !

! # #

# # ! quindi il punto

verrebbe segnalato come punto di minimo mentre il moltiplicatore lo segnala come un punto di massimo. Quindi !ß ^" ß ^"

# # non è nè punto di massimo nè di minimo.

   

 

 

 

 

 

 







  

‡!ß  " ß"

# # $

 œ ! œ $ † œ $  )  !

! !  # #

! !

 # # !

!  # #

 # # !

quindi il punto verrebbe segnalato come punto di minimo mentre il moltiplicatore lo segnala come un punto di massimo. Quindi !ß  ^" ß ^"

# # non è nè punto di massimo nè di minimo.

 

 

 

 

 

 

         

‡"ß ß! # !

 '

œ œ  ' † œ  '  %  !

! # !

# !

! !

! #

# ! quindi il punto viene

segnalato come punto di massimo come segnalato dal moltiplicatore. Quindi "ß ß! # è punto di massimo.

 

 

 

 

 

 

         

‡ "ß ß! # !

 '

œ œ  ' † œ  '  %  !

!  # !

 # !

! !

!  #

 # ! quindi il

punto viene segnalato come punto di massimo come segnalato dal moltiplicatore. Quindi

 "ß ß! # è punto di massimo.

In conclusione,  !ß ! è il punto di minimo con 0 !ß ! œ !  mentre   "ß ! e  "ß ! sono i punti di massimo con 0 "ß ! œ 0  "ß ! œ # Þ   

II M 2) Risolvere il problema di Cauchy:    C C œ B "   / C ! œ "^w C^{# B}Þ

Si tratta di una equazione differenziale a variabili separabili. Avremo quindi:

C C œ B "  / C C œ B /

" 

w  C  B w B

C

#

Ê # da cui passando alle primitive:

 C  

"  C œ B / B  5 "  B /  " / B  5

C_# d ^Bd Ê " C^# œ ^{B B}d Ê

#log  †

"

#log" C^# œB /  /  5^{B B} œ /^BB  "  5 Ê

Êlog" C^# œ #/^BB  "  #5 Ê" C œ /^{# #/}BB " #5 œ 7 /^#/BB "

avendo posto 7 œ /^#5. Da cui poi:

C œ 7 /^{# #/ B "}  " C œ 7 /^#  "

B  e quindi „  /BB " Þ Ponendo C ! œ "  , scegliamo la soluzione positiva ed avremo:

C ! œ  7 /  "^# œ " Ê7 /^#  " œ "Ê7 œ # /^# da cui la soluzione:

C œ # /^#/BB " #  "

Þ

II M 3) Risolvere il sistema omogeneo di equazioni differenziali: B œ B  C , determinan- C œ #B

w w

do poi la soluzione che soddisfa alla condizione    B ! œ !  C ! œ " Þ

B œ B  C H  "  "    B ! H  "  " 

C œ #B Ê † œ Ê B œ ! Ê

 # H C !  # H

w w

Ê H  H  # B œ B  B  #B œ ! Þ ^#   ^{ww w}

Da B  B  #B œ !^{ww w} otteniamo -^# - #œ- "- #œ ! e quindi le soluzioni -" œ  "ß-# œ # , da cui la soluzione generale dell'equazione omogenea per B >  che sarà:

B > œ - /  " > - /# #>.

Dalla prima equazione ricaviamo C œ B  B^w e quindi:

C > œ  - /  " > #- /  - /# #> " > - /# #> da cui C > œ  #- /  " > - / Þ# #>

Quindi la soluzione generale    

B > œ - /  - /   C > œ  #- /  - /

   ^{" #}

 #

"  # #

> >

> > . Da B ! œ !

C ! œ " otteniamo:

B ! œ -  - œ ! - œ  -  C ! œ  #-  - œ " #-  - œ "

- œ  - œ

   ^" "^# # ^"# # ^#

"

#

Ê Ê

"

" $

$

e quindi la soluzione parti-

colare: B > œ  /  / . C > œ /  /

 

 

" "

$ > $ >

$ > $" >

 #

 #

2

II M 4) Calcolare   d d con   : .



B /^CB# B C œ Bß C − ‘² ! Ÿ B Ÿ "à  " Ÿ C Ÿ !

La regione di integrazione è un rettangolo per cui possiamo passare ad integrare:

       



B / B C œ B / B C œ  "/ C œ

#

CB CB CB

" ! "

! " !

# # #

d d d d d

!

"

œ  " /  " / C œ "  /  / œ "  /  "   /  / œ

# # # #

      

"

! C" Cd C" C #

"

! " "

œ " "  #  " œ "  #/  / œ /  " Þ

#/ /  #/  #/ 

# # #

# #