COMPITO di ANALISI MATEMATICA 15/3/2021

COMPITO di ANALISI MATEMATICA 15/3/2021

I M 1) Se D œ /cosα 3senα, sapendo che /^"$3† D œ /^#3, determinare αÞ

/ † D œ / Ê D œ / œ / œ / œ / %  3 %

/

"$3 #3 #3 #3 "$3 "%3

"$3   cos sen .

Quindi α œ % Þ

I M 2) Data la funzione ,

0 Bß C œ Bß C Á !ß !

! Bß C œ !ß !

 





   

   

BC B  C

 ^{# #} determinare se tale fun-

zione risulta differenziabile nel punto  !ß ! .

Anzitutto controlliamo la continuità della funzione in  !ß ! . Passando a coordinate polari avremo:

lim lim lim

   BßC Ä !ß! Ä! Ä!

BC #

B  C

 ^{# #} Ê œ œ ! Þ

4 4 cos sen* * 4 cos sen

4 4 * *

La convergenza è uniforme in quanto 4cos sen* *Ÿ4 . Quindi la funzione è continua in  !ß ! .

Passando al calcolo del gradiente, avremo poi:

`0 0 !  2ß !  0 !ß ! 2 † ! "

`B !ß ! œ 2 œ  ! † 2 œ ! œ ! à

2  !

     

 

lim lim lim

2Ä! 2Ä! # 2Ä!

`0 0 !ß !  2  0 !ß ! ! † 2 "

`C !ß ! œ 2 œ  ! † 2 œ ! œ ! Þ

!  2

     

 

lim lim lim

2Ä! 2Ä! # 2Ä!

Quindi f0   !ß ! œ !ß ! .

Per la differenziabilità in  !ß ! dobbiamo infine verificare se:

   BßC Ä !ß!lim # #

0 Bß C  0 !ß !  !ß ! † B  !ß C  ! B  !  C  !

      œ !

   

f0  ovvero se:

lim lim

   BßC Ä !ß! # #    BßC Ä !ß! # #

BC BC

B  C †

 ^{# #} "

B  C œ œ ! Þ

B  C



Passando a coordinate polari si ha: cos sen cos sen , e quindi il risultato vale

4Ä!lim

#

#

4 * *

4 œ * *

! solo per particolari valori di . Quindi la funzione non è differenziabile in *  !ß ! Þ

I M 3) Data l'equazione 0 Bß C œ B /  ^CB  C /^BC œ !, soddisfatta nel punto  !ß ! , verifi- care che con essa è possibile definire una funzione implicita B Ä C B  e calcolare quindi le derivate prima e seconda di tale funzione in B œ !.

La funzione è palesemente una funzione differenziabile. Calcoliamo f0Bß C ed avremo: f0Bß C œ /^CB B /^CB C /^BCß B /^CB  /^BC C /^BC ovvero

f0Bß Cœ"  B / ^CB C /^BCß B /^CB "  C /  ^BCÊf0  !ß ! œ "ß  " Þ Dato che 0 !ß ! œ  " Á !_C^w  è possibile definire una funzione implicita B Ä C B  ed avre- mo poi: d Passando al calcolo della derivata seconda, essendo:

d C

B  œ ! " œ "Þ

 "

‡     

 

Bß C B  # /  C / "  B /  "  C /

"  B /  "  C / B /  #  C /

œ   

   

CB BC CB BC

CB BC CB BC e quindi:

‡ !ß ! œ  # !   

!  # C œ  0  #0 C  0 C

. Dalla ^ww 0

ww ww w ww w

BB BC CC #

Cw

si ha:

C ! œ   #  # † ! † "   # " œ  % Þ

 "

ww #

        

I M 4) Data 0 Bß Cß D œ B C D  B  C  D  ed il versore del vettore @ "ß "ß " si calcolino W_@0 "ß "ß "  e W^#_@ß@0 "ß "ß " .

La funzione è palesemente una funzione differenziabile almeno due volte. Quindi:

W_@0 "ß "ß " œ  f0"ß "ß " † @ e W^#_@ß@0 "ß "ß " œ @ †  ‡"ß "ß " † @ ^X . Calcoliamo f0Bß Cß D ed avremo: f0Bß Cß D œ CD  "ß BD  "ß BC  " da cui f0"ß "ß "œ !ß #ß ! .

Essendo @ œ  " " "  si ha   !ß #ß !   " " "  #

$ß $ß $ W@0 "ß "ß " œ † $ß $ß $ œ $. Risulta poi ‡Bß Cß D ‡ "ß "ß "

! D C ! " "

D ! B " ! "

C B ! " " !

œ œ

   

   

   

   

   

  da cui    . Quindi:

W_@ß@^{# "}_$ ^"_$ ^"_$ ^"_$ ^"_$ ^"_$ ^"_$ ^#_$

" #

$ $

" #

$ $

0 "ß "ß " œ † † œ † œ

! " "

" ! "

" " !

     

     

     

     

     

     

     

   

   

       

 

 

œ #  #  # œ # Þ

$ $ $

II M 1) Risolvere il problema Max/min s.v.:

 0 Bß C œ B  C  C  " Ÿ B Ÿ "^# .

La funzione obiettivo del problema è una funzione continua, i vincoli definiscono una regione ammissibile che è un insieme compatto, e quindi possiamo applicare il Teorema di Weier-X strass. Sicuramente la funzione ammette valore massimo e valore minimo.

Per risolvere il problema utilizziamo le condizioni di Kuhn-Tucker.

Scriviamo il problema nella forma

Max/min s.v.:





 



0 Bß C œ B  C C  B  " Ÿ ! B  " Ÿ !

# Þ Formiamo la funzione Lagrangiana:

ABß Cß-œ B  C -_"C  B  " ^#  -_#B  ". Applicando le condizioni del primo ordine abbiamo:

1) caso -_" œ !ß-_# œ ! À







 A A

wB wC

œ " Á ! œ  " Á ! C  B  " Ÿ ! Ê B  " Ÿ !

# nessuna soluzione Þ

2) caso -_" Á !ß-_# œ ! À

 

 

 

 

 











A -

A -

w -

B "

wC "

"

œ "  œ ! œ  "  # C œ !

Ê

œ  "  ! C œ

B œ C  " B œ B Ÿ "

 " œ 

 Ÿ "

#

"

#" $

% %

$

%

à

essendo -_" œ  "  ! il punto  $ "ß potrebbe essere di minimo.

 % #

3) caso -_" œ !ß-_# Á! À









A -

A

wB #

wC

œ "  œ ! œ  " Á ! B œ " Ê

C  B  " Ÿ !^#

nessuna soluzione Þ

4) caso -_" Á!ß-_# Á! À

 

 

 

 

 

 

 

A - - A - -

A - A -

w w

B " # B " #

w w

C " C "

œ "   œ ! œ "   œ !

œ  "  # C œ ! œ  "  # C œ !

" "

B œ

Ê Ê

B œ B œ

C  "^# C œ #^#

Ê ∪

B œ " B œ "

C œ # C œ  #

"   œ ! "   œ !

 "  # C œ !  "  # C œ !

 

 

 

 

 

 

 

 

- - - -

- -

" # " #

" "

Þ

 

  

  

  

  

  

 







 B œ "

C œ #

"   œ !

 "  # C œ !

Ê Ê

B œ "

C œ #

"   œ !

 "  # # œ !

B œ "

C œ #

œ   !

œ "  œ  !

 





- -

-

- -

-

-

- -

" #

"

" #

"

"

# "

"

# #

# #"

# #







Þ

Essendo -_" œ  "  ! e -_# œ # #  "  ! il punto "ß # non è nè punto di

## ##

   

massimo nè punto di minimo.

 

  

  

  

  

  

 







 B œ "

C œ  #

"   œ !

 "  # C œ !

Ê Ê

B œ "

C œ  #

"   œ !

 "  # # œ !

B œ "

C œ  #

œ  !

œ "  œ  !

 





- -

-

- -

-

-

- -

" #

"

" #

"

"

# "

"

# #

# #"

# #





Þ

Essendo -_" œ " e -_# œ # #  " il punto " potrebbe essere punto

# #  ! # #  ! ß  #

 

   

di massimo.

Avendo però trovato due sole soluzioni, per il Teorema di Weierstrass, il punto  $ "

% #ß è il punto di minimo, con 0 $ "œ  & mentre il punto "  è il punto di

% #ß % ß #

massimo con ß 0"ß #œ" #.

II M 2) Risolvere il sistema omogeneo di equazioni differenziali: B œ C C œ  B

w

w Þ

B œ C B  C œ ! H  "    B ! H  " 

C œ  B Ê B  C œ ! Ê † œ Ê B œ ! Ê

" H C ! " H

w w

w w

Ê H  " B œ B  B œ ! Þ ^#   ^ww

Da B  B œ !^ww otteniamo -^# " œ ! e quindi le soluzioni -_" œ 3ß-_# œ  3 , da cui la so- luzione generale dell'equazione omogenea per B >  che sarà: B > œ -  "sen>  -#cos .>

Dalla prima equazione ricaviamo Cœ B^w e quindi: C > œ -  "cos>  -#sen> Þ Quindi la soluzione generale sen cos

cos sen

B > œ - >  - >

C > œ - >  - >

   "^" #^# .

II M 3) Risolvere il problema di Cauchy: .



  

C œ B  C C " œ !B

w #

Da C œ B  C À

B

w #

Ê C œ B  C Ê C  C œ B

B B

w w equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea, con : B œ  " e ; B œ  . Avremo quindi:

B B

C œ /^ B / ^ B  5 / B / B  5

"

B B "

d B Bd

† ^ d  Ê ^logB † ^logBd Ê

Ê " Ê Ê

B† BB dB  5 B† dB  5 B† B  5 œ B  5B  ^# Þ

Da C " œ !  otteniamo "  5 œ ! Ê 5 œ  " e quindi la soluzione particolare del problema di Cauchy: C œB  B^# Þ

II M 4) Calcolare   d d , dove   : .



B C B C œ Bß C − ‘² "  B Ÿ C à B  C Ÿ "^{# #}

Avremo:

     

   



B C B C œ B C C B œ " C † B B œ

d d d d # d

0 1

"B !

"B "

"B

"B

 #  #

#

œ " "  B  "  B B B œ " #B  #B B œ B  B B œ

#     # 

! ! !

" " "

# # d # $d # $d

œ "B  "B œ "  "  ! œ " Þ

$ %   $ %  "#

 ^{$ %}    

!

"