Esercitazione 1

1

Esercizio 1

Considerata la seguente distribuzione relativa allo sport principale praticato da 500 ragazzi e ragazze

Sport Frequenza assoluta

Basket 62

Calcio 182

Danza 28

Nuoto 75

Pallavolo 95

Tennis 58

500

si determini la distribuzione espressa mediante le frequenze relative, si costruisca il corrispondente grafico a nastri e si determini, se possibile: a) la moda, b) la mediana, c) la media

Soluzione

Sport Frequenza assoluta

Basket 0.124

Calcio 0.364

Danza 0.056

Nuoto 0.150

Pallavolo 0.190

Tennis 0.116

1.000

a) La moda è la modalità “calcio”, come si nota anche dal grafico, mentre gli altri indici non possono essere calcolati per la natura della variabile

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

Danza Tennis Basket Nuoto Pallavolo Calcio

frequenza relativa

sport

2

Esercizio 2

Considerata la seguente sequenza di modalità relative a una variabile qualitativa ordinabile

A B B C D A A B A A B B C B C D si determini:

a) la distribuzione di frequenza espressa mediante frequenze assolute e relative e le corrispondenti frequenze cumulate (sia assolute sia relative), b) si disegni il grafico a barre utilizzando le frequenze assolute,

c) si individui la moda Soluzione

a)

X Freq. ass. Freq. rel. Freq. ass. cum. Freq. rel. cum.

A 5 0.3125 5 0.3125

B 6 0.3750 11 0.6875

C 3 0.1875 14 0.8750

D 2 0.1250 16 1.0000

16 1.0000 b)

c) La moda corrisponde a B

3

Esercizio 3

Considerata la sequenza dei valori della variabile “numero di smartphone”

rilevata su 4 famiglie

3 4 1 4

si determini: a) la moda, b) la mediana, c) la media, d) la varianza Soluzione

a) La moda è 4

b) Una volta ordinata la serie dall’intensità più piccola alla più grande 1 3 4 4

si determina il posto della mediana che risulta pari a ⌈4 × 0.5⌉ = 2 per cui x0.5=3 c)

𝑥̅ = 3 + 4 + 1 + 4

4 = 3

d) Il momento ordinario del secondo ordine è pari a 𝑚₂ = 9 + 16 + 1 + 16

4 = 10.5

per cui la varianza risulta

𝑠² = 10.5 − 3² = 1.5

4

Esercizio 4

Data la seguente sequenza di intensità relative a una variabile quantitativa discreta

-2 -1 0 0 2 5 0 -1

a) si determini la distribuzione di frequenza e si disegni il grafico ad aste corrispondente utilizzando le frequenze relative

Si calcoli inoltre:

b) la media,

c) l’ampiezza del campo di variazione, d) il primo quartile,

e) la varianza.

Soluzione

a) La distribuzione di frequenza risulta

X Frequenza assoluta Frequenza relativa

-2 1 0.125

-1 2 0.250

0 3 0.375

2 1 0.125

5 1 0.125

8 1.000

mentre il grafico corrispondente assume la forma riportata nella figura successiva

5

b) La media è pari a

𝑥̅ = −2 − 1 × 2 + 2 + 5

8 = 0.375

c) L’ampiezza del campo di variazione è dato da 5-(-2) =7

d) Il primo quartile occupa il posto ⌈8 × 0.25⌉ = 2 per cui corrisponde all’intensità -1

e) Il momento ordinario del secondo ordine è pari a

𝑚₂ = 4 + 1 × 2 + 4 + 25

8 = 4.375

per cui la varianza risulta

𝑠² = 4.375 − 0.375² =4.234375

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

frequenza relativa

X

6

Esercizio 5

Data la sequenza di intensità relative a una variabile quantitativa continua 1.6 0.4 1.4 1.1 -0.1 0.2 0.6 0.9 -1.6 -0.5

1.3 0.0 -0.2 0.9 0.3 0.1 -0.8 1.9 1.4 -0.5 a) si determini la distribuzione di frequenza nelle classi

(-2 − 0], (0 − 1], (1 − 2]

calcolando sia le frequenze assolute sia le frequenze relative b) si disegni l’istogramma.

Sulla distribuzione in classi si calcoli: c) la classe modale, d) la media, e) la deviazione standard, f) l’indice 𝑎₃ di asimmetria

Soluzione

a) La distribuzione in classi è riportata nella tabella successiva X Frequenza assoluta Frequenza relativa

-2 − 0 7 0.35

0 − 1 7 0.35

1 − 2 6 0.30

20 1.00

b) Per disegnare l’istogramma occorre calcolare la densità di frequenza associata a ciascuna classe. I suoi valori sono riportati nella tabella successiva

X Densità -2 − 0 0.175 0 − 1 0.350 1 − 2 0.300

7

c) La classe modale è la seconda: (0, 1], in quanto è questa la classe a cui è associata la densità di frequenza massima

d) La media è data da

𝑥̅ = −1 × 0.35 + 0.5 × 0.35 + 1.5 × 0.3 = 0.275 e) Il secondo momento ordinario corrisponde a

𝑚₂ = 1 × 0.35 + 0.25 × 0.35 + 2.25 × 0.3 = 1.1125 La varianza è pari quindi a 1.1125-0.275² = 1.036875

La deviazione standard, approssimata a 6 cifre decimali, risulta 𝑠 =1.018271

f) Per calcolare l’indice di asimmetria conviene calcolare gli scarti elevati al cubo e poi farne la media. La tabella successiva riporta gli elementi utili ai fini del calcolo

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

-3 -2 -1 0 1 2 3

densità

X

8

Valori centrali Scarti Scarti al cubo Frequenza relativa

-1 -1.275 -2.072672 0.35

0 0.225 0.011391 0.35 1 1.225 1.838266 0.30 1.00

Dai dati riportati nella tabella precedente si ottiene

𝑚̅₃ = −2.072672 × 0.35 + 0.011391 × 0.35 + 1.838266 × 0.3 =

= −0.169969 Per cui l’indice di asimmetria è pari a

𝑎₃ =−0.169969

1.018271³ ≈ −0.16098

La distribuzione presenta quindi una lieve asimmetria negativa, come si nota anche dalla forma dell’istogramma

9

Esercizio 6

Considerate 50 unità statistiche su cui la variabile di interesse X presenta la distribuzione riportata nella tabella seguente

Determinazioni Frequenza relativa

0 0.2

1 0.5

2 0.3

si determini: a) la moda, b) i tre quartili, c) la media, d) la deviazione standard

Soluzione a) la moda è 1

c) la media è pari a 𝑥̅ = 0×0.2 + 1×0.5 + 2×0.3 = 1.1

d) il momento ordinario di ordine 2 risulta m2 = 1×0.5 + 2²×0.3 = 1.7 per cui la varianza è pari a 𝑠_𝑥² = 1.7 – 1.1² = 0.49 e 𝑠_𝑥 = 0.7

b) Per determinare i quartili è necessario calcolare le frequenze assolute cumulate. Dai dati della tabella si ottiene

Determinazioni Frequenza assoluta Frequenza assoluta cumulata

0 0.2×50=10 10

1 0.5×50=25 35

2 0.3×50=15 50

x0.25 occupa il posto ⌈50 × 0.25⌉ = ⌈12.5⌉=13 per cui x0.25=1 x0.5 occupa il posto ⌈50 × 0.5⌉ = ⌈25⌉=25 per cui x0.5=1 x0.75 occupa il posto ⌈50 × 0.75⌉ = ⌈37.5⌉=38 per cui x0.75=2

10

Esercizio 7

Date le seguenti informazioni relative a una variabile continua X Classi Frequenza

-3 − -1 15 -1 − 1 15 1 – 5 20 50

Se ne disegni l’istogramma e si calcoli: a) la classe modale, b) la media, c) il momento ordinario di ordine 2, d) la varianza, e) il coefficiente di variazione Soluzione

Per il calcolo della moda e per disegnare l’istogramma occorre calcolare la densità associata a ciascuna classe, ottenendo i valori riportati nell’ultima colonna della tabella successiva

Classi Frequenza relativa

densità

-3 − -1 0.3 0.15

-1 − 1 0.3 0.15

1 – 5 0.4 0.10

1.0 Dalla tabella risulta che

a) Esistono due classi modali: (-3, -1] e (-1, 1]

L’istogramma assume la forma riportata nella figura successiva

11

b) La media risulta

𝑥̅ = −2 × 15 + 0 × 15 + 3 × 20

50 = 0.6

c) Il momento ordinario di ordine 2 è pari a

𝑚₂ =4 × 15 + 0 × 15 + 9 × 20

50 = 4.8

d) La varianza è data quindi da

𝑠² = 4.8 − 0.6² = 4.44

e) Il CV non può essere calcolato perché la variabile assume valori negativi

0 0,05 0,1 0,15 0,2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

densità

X

12

Esercizio 8

Considerata la seguente sequenza di valori, -1 -2 -2 3 4 0 0 1

si determini: a) la moda, b) i tre quartili, c) il rango interquartile, d) la media, e) la varianza

Soluzione

La sequenza ordinata è

-2 -2 -1 0 0 1 3 4

a) esistono due mode che corrispondono ai valori -2 e 0 b) x0.25 occupa il posto ⌈8 × 0.25⌉ = ⌈2⌉=2 per cui x0.25=-2

x0.5 occupa il posto ⌈8 × 0.5⌉ = ⌈4⌉=4 per cui x0.5=0 x0.75 occupa il posto ⌈8 × 0.75⌉ = ⌈6⌉=6 per cui x0.75=1 c) Il rango interquartile è Wx = 1-(-2) = 3

d) La media è data da

𝑥̅ = −2 × 2 − 1 + 1 + 3 + 4

8 =3

8 = 0.375 e) Il secondo momento dall’origine è pari a

𝑚₂ =4 × 2 + 1 × 2 + 9 + 16

8 = 35

8 = 4.375 per cui la varianza è uguale a

𝑠² =35 8 − 9

64 = 4.234375

13

Esercizio 9

Data la seguente distribuzione in classi relativa a una variabile continua X Classi Frequenza assoluta cumulata

-5 − -3 4

-3 − -1 6

-1 – 3 10

si rappresenti graficamente tale distribuzione e si determini: a) la classe modale, b) la media, c) il secondo momento centrale.

Soluzione

Occorre innanzitutto calcolare le frequenze assolute e le densità, che assumono i valori contenuti nella seconda e terza colonna della tabella successiva

Classi Frequenza assoluta Frequenza relativa densità

-5 − -3 4 0.4 0.2

-3 − -1 2 0.2 0.1

-1 – 3 4 0.4 0.1

10 1.0

L’istogramma assume la forma riportata nella figura successiva

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

densità

X

14

a) La classe modale corrisponde all’intervallo (-5, -3]

b) La media è pari a

𝑥̅ = −4 × 0.4 − 2 × 0.2 + 1 × 0.4 = −1.6 c) Il secondo momento dall’origine è uguale a

𝑚₂ = 16 × 0.4 + 4 × 0.2 + 1 × 0.4 = 7.6 Per cui il secondo momento centrale (ossia la varianza) risulta

𝑚̅₂ = 𝑠² = 7.6 − (−1.6)² = 5.04

15

Esercizio 10

I dipendenti di un’azienda commerciale risultano distribuiti come riportato nelle prime due colonne della tabella successiva. La terza colonna riporta invece lo stipendio medio pro-capite lordo annuo

Frequenza assoluta Stipendio medio annuo (in euro)

Dirigente 1 53000

Capo Ufficio 3 32500

Impiegato 14 28200

Operaio 27 23300

Manovale 30 15800

Per la variabile stipendio medio annuo si vuole calcolare: a) la moda, b) i tre quartili, c) la media

Soluzione

a) La moda della variabile stipendio medio annuo è 15800, in quanto è questo il valore a cui è associata la frequenza massima

b) Per determinare i tre quartili occorre ordinare i valori della variabile e calcolare le frequenze cumulate corrispondenti

Stipendio medio annuo (in euro)

Frequenza assoluta Frequenza assoluta cumulata

15800 30 30

23300 27 57

28200 14 71

32500 3 74

53000 1 75

I posti dei tre quartili risultano rispettivamente uguali a 19, 38 e 57, per cui risulta x0.25=15800, x0.5=23300, x0.75=23300

c) La media, infine, risulta 𝑥̅ = 1

75× (15800 × 30 + 23300 × 27 + ⋯ ) = 21978. 6̅

16

Esercizio 11

Data la seguente sequenza di osservazioni relativa a una variabile quantitativa discreta X

-1 0 1 2 -3 -2 4 3 1 5

si determini: 1) la moda, 2) la mediana, 3) la media, 4) l’ampiezza del campo di variazione, 5) la differenza interquartile, 6) la varianza, 7) il coefficiente di variazione.

Si disegni inoltre il boxplot Soluzione

La sequenza ordinata risulta

-3 -2 -1 0 1 1 2 3 4 5 1) La moda corrisponde all’intensità 1

2) La mediana occupa il 5°posto, per cui x0.5=1 3) 𝑥̅=1

4) L’ampiezza del campo di variazione è 5-(-3)=8

5) Il terzo quartile occupa l’8°posto, per cui x0.75=3 Il primo quartile occupa il 3°posto, per cui x0.25=-1

La differenza interquartile è quindi pari a x0.75-x0.25= W_x =4

6) Il momento ordinario del secondo ordine risulta 𝑚_2𝑥 = 7, per cui la varianza è 𝑠_𝑥² =6

7) Il CV non può essere calcolato perché la variabile assume valori negativi

Il rettangolo che compone il boxplot ha la base inferiore in corrispondenza di x0.25=-1 e la base superiore in corrispondenza di x0.75=3

17

Il VAI corrisponde alla più piccola osservazione ≥ x_0.25−W_x = −1−1.5×4 = −7 Quindi il VAI è pari a -3

Il VAS corrisponde alla più grande osservazione ≤ x_0.75 + W_x = +1.5×4 = 9 Quindi il VAS è pari a 5

Il boxplot assume quindi la forma seguente, in cui il simbolo corrispondente al rombo indica la media aritmetica (che coincide con la mediana)

18

Esercizio 12

Data la sequenza di osservazioni dell’esercizio precedente si consideri la variabile Y=4 - 2X e se ne determini: 1) la moda, 2) la mediana, 3) la media, 4) l’ampiezza del campo di variazione, 5) il rango interquartile, 6) la varianza.

Sapendo inoltre che per la variabile X risulta 𝑎_3𝑥 = 0 e 𝑎_4𝑥 = 1.96̅ si determini 7) l’indice di asimmetria 𝑎_3𝑦, 8) l’indice di curtosi 𝑎_4𝑦 per la variabile Y.

Soluzione

La sequenza ordinata della variabile Y risulta

-6 -4 -2 0 2 2 4 6 8 10

1) La moda è 2

2) La mediana occupa il 5° posto, per cui y0.5=2 3) la media è 𝑦̅= 4 - 2𝑥̅ = 2

4) L’ampiezza del campo di variazione corrisponde alla differenza 10-(-6)=16 5) Il terzo quartile occupa l’8° posto, per cui y0.75=6;

mentre il primo quartile occupa il 3° posto, per cui y0.25=-2;

La differenza interquartile (o rango interquartile) è y0.75-y0.25=8 6) La varianza è 𝑠_𝑦² = (−2)²𝑠_𝑥² =24

7) In base alla proprietà di una trasformazione lineare, tenendo presente che Y=4 - 2X, per cui il segno di b è negativo, l’indice di asimmetria per la Y risulta

𝑎_3𝑦 = −𝑎_3𝑥 = 0

8) In base alla proprietà di una trasformazione lineare risulta 𝑎_4𝑦 = 𝑎_4𝑥 per qualsiasi valore di 𝑎 e di b (con b≠0), per cui

𝑎_4𝑦 = 𝑎_4𝑥 = 1.96̅

19

Esercizio 13

Date le seguenti distribuzioni delle età dei dipendenti di una cooperativa classificati per sesso

Maschi Femmine

Età ni Età ni

19 2 18 1

20 6 25 2

21 3 26 2

22 1 28 2

23 1 29 1

25 1 30 2

28 1 31 3

30 1 32 1

35 1 33 2

37 1 16

18

disegnare i due boxplot corrispondenti

Soluzione

Conviene calcolare le frequenze assolute cumulate

Maschi Femmine

Età ni Ni Età ni Ni

19 2 2 18 1 1

20 6 8 25 2 3

21 3 11 26 2 5

22 1 12 28 2 7

23 1 13 29 1 8

25 1 14 30 2 10

28 1 15 31 3 13

30 1 16 32 1 14

35 1 17 33 2 16

37 1 18 16

18

20

Maschi:

I posti occupati dai 3 quartili sono, nell’ordine, il 5°, il 9° e il 14°

Per cui risulta x_0.25= 20, x_0.5= 21, x_0.75= 25.

Per il calcolo dei valori adiacenti, risulta

x_0.25 −  W_x = 20 – 1.5×(25-20) = 12.5, x_0.75 +  W_x = 25 + 1.5×(25-20) = 32.5, VAI = 19 in quanto è la più piccola osservazione ≥ 12.5 VAS = 30 in quanto è la più grande osservazione ≤ 32.5

Femmine:

I posti occupati dai 3 quartili sono, nell’ordine, il 4°, l’8° e il 12°

Per cui risulta x_0.25= 26, x_0.5= 29, x_0.75= 31.

Per il calcolo dei valori adiacenti, risulta

x_0.25 −  W_x = 26 – 1.5×(31-26) = 18.5, x_0.75 +  W_x = 31 + 1.5×(31-26) = 38.5, VAI = 25 in quanto è la più piccola osservazione ≥ 18.5 VAS = 33 in quanto è la più grande osservazione ≤ 38.5

I due boxplot assumono la forma indicata nel grafico successivo, dal quale si nota che

- l’ordine di grandezza dell’età è minore per gli individui di sesso maschile - la variabilità dell’età è più o meno la stessa per entrambi i sessi

- nei maschi l’età mostra un’asimmetria positiva e nelle femmine un’asimmetria negativa.

21

- Nei maschi sono presenti due valori anomali che corrispondono agli individui di età più elevata, mentre nelle femmine c’è un solo valore anomalo che corrisponde all’unità con la minore età