UN PROGRAMMA PER LA VALUTAZIONE DELLA RESISTENZA STATICA DI COMPOSITI LAMINATI FORATI M. Quaresimin

UN PROGRAMMA PER LA VALUTAZIONE DELLA RESISTENZA STATICA DI COMPOSITI LAMINATI FORATI

M. Quaresimin ¹ , J. Majer ²

1 Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali - Università di Padova Stradella S. Nicola 3 - 36100 Vicenza

2 Dipartimento di Ingegneria Meccanica - Università di Padova Via Venezia 1- 35131 Padova

SOMMARIO

Il lavoro presenta un programma, sviluppato in ambiente Matlab 5.2, per la valutazione del carico di rottura statico di laminati in materiale composito in presenza di fori.

L’applicativo consente l’analisi dello stato tensionale in ciascuna lamina del composito, l’individuazione di una zona critica in prossimità dell’intaglio e l’applicazione in questa zona di un modello di danneggiamento progressivo. Per la valutazione dello stato tensionale nel laminato sono stati implementati algoritmi disponibili in letteratura, mentre per l’analisi del danneggiamento è stato sviluppato un nuovo modello basato su un criterio di campo. La principale novità del nuovo modello è la sua applicazione, strato per strato, nella zona critica del laminato, quella cioè dove è massimo il valore della funzione di cedimento scelta. Una campagna preliminare di validazione dell’applicativo ha fornito previsioni in buon accordo con risultati sperimentali disponibili in letteratura.

ABSTRACT

The paper presents a program for the evaluation of the static strength of notched laminates.

The program, developed by using the Matlab 5.2 code, allows a ply-by-ply analysis of the stress field in the laminate, the assessment of a critical zone near the notch and the application of a progressive damage model. Available literature algorithms were implemented for the stress field analysis whereas new is the model for the damage analysis developed herein. Its main distinguishing feature consists in the ply-by-ply application of the damage criterion in each critical laminate zone, that is where the chosen failure criterion reaches its maximum value. The program predictions resulted to be in good agreement with many experimental data already reported in the literature.

INTRODUZIONE

La previsione della resistenza statica di compositi laminati intagliati è un problema

ampiamente trattato in letteratura, ma risulta ancora aperto, vista l'assenza di un criterio di

validità generale e di facile applicazione in fase progettuale. Infatti, i diversi modelli finora

proposti, pur fornendo risultati soddisfacenti, richiedono una fase di calibrazione sperimentale o numerica ogni qual volta venga preso in considerazione un nuovo tipo di laminato (sia in termini di lay-up che di materiale). Questo modo di procedere rischia di innalzare in maniera ingiustificata i costi ed i tempi di progettazione anche nel caso di studi di fattibilità preliminari.

Le notevoli difficoltà operative sono dovute alla forte influenza sulla resistenza statica di parametri legati al materiale (ad esempio il sistema fibra/matrice e la sequenza di impilamento delle lamine o lay-up) ed alla geometria dell'intaglio (hole size effect). Inoltre la presenza dell’intaglio aumenta notevolmente la complessità del meccanismo di cedimento del laminato in quanto causa sia una concentrazione di tensione che risulta diversa in ciascuna lamina, sia un effetto di bordo che provoca uno stato tensionale triassiale, difficile da valutare se non mediante un’analisi agli elementi finiti tridimensionale.

Nel seguito, dopo una sintetica presentazione di alcuni dei modelli e degli approcci disponibili in letteratura, viene presentato un programma per la stima della resistenza statica di laminati compositi forati. Il programma è stato sviluppato con il duplice obiettivo di superare almeno alcune delle principali limitazioni dei modelli disponibili e di fornire uno strumento progettuale di semplice utilizzo per la stima delle caratteristiche di resistenza senza l’esigenza di lunghe e costose calibrazioni.

MODELLI E APPROCCI PRESENTI IN LETTERATURA

I primi tentativi di caratterizzare la resistenza statica di un laminato in composito consideravano il laminato come un’unica lamina ortotropa equivalente andando ad imporre condizioni limite sullo stato di tensione “globale”, come nel caso dei Point Stress e Average Stress Criteria proposti da Withney e Nuismer [1,2]. Il limite principale di questo approccio è legato al fatto che non analizzando lo stato tensionale su ogni singola lamina (ply-by-ply) è impossibile ottenere soluzioni dipendenti dal lay-up poiché non si riesce ad individuare il punto più sollecitato in ciascuna lamina e a considerare quindi il processo di danneggiamento progressivo che si verifica in realtà nel laminato.

Nella formulazione originale gli autori suggerivano inoltre dei parametri di calibrazione

“universali” che consentivano cioè la previsione della resistenza di tutti i laminati indipendentemente dal loro lay-up e dai materiali costituenti. È stato invece dimostrato come i parametri d _o e a _o rispettivamente per il Point Stress (PSC) e per l’Average Stress Criterion (ASC) dipendano in maniera sensibile proprio dal lay-up e dal sistema fibra-matrice impiegato [3].

Successivamente, numerosi altri autori hanno tentato di superare le limitazioni esposte mediante approcci diversi di tipo analitico, numerico o sperimentale.

Senza addentrarsi in una elencazione dei molteplici modelli, che non potrebbe che risultare parziale, si rimanda all’ampia rianalisi del problema effettuata da Tan in [4]; lo stesso autore ha proposto un notevole numero di modelli previsionali ed in particolare ha introdotto nei modelli PSC e ASC di Withney e Nuismer il concetto di “first ply failure” e quindi di analisi tensionale ply-by-ply accoppiata all’utilizzo della funzione di cedimento proposta da Tsai- Wu [5].

La stessa metodologia è stata ripresa da El-Zein e Reifsnider in [6] dove è stato applicato il

criterio ASC, implementato per un’analisi strato per strato del laminato, introducendo una

formulazione invariante per la stima del parametro a _o che in precedenza doveva essere valutato empiricamente o mediante taratura sperimentale.

Un approccio alternativo ai metodi sopra esposti è stato proposto da Yao [7], che introduce un nuovo criterio di cedimento, il modello dell’intensità del campo di tensione (Stress Intensity Function), basato su un criterio di campo. Viene ipotizzato che la resistenza statica del laminato intagliato dipenda dall’intensità del campo di tensione in prossimità dell’intaglio, piuttosto che dal picco di tensione all’apice dello stesso.

Il modello definisce un parametro di tensione effettiva normalizzato, la funzione dell’intensità di campo (f _IC ), calcolata su un’intera regione vicino l’intaglio e prevede il cedimento del laminato quando il valore di questa funzione supera l’unità.

Nel caso piano, la funzione dell’intensità di campo (f _IC ) può essere calcolata mediante la seguente equazione:

( ) ( )

f _IC A f r dA

= ¹ ∫ S ^{σ ϕ (1)}

dove S costituisce il dominio di integrazione, A l’area dello stesso, f( σ) la funzione di cedimento scelta e ϕ(r) una opportuna funzione peso.

La funzione peso ϕ(r) rappresenta il contributo della tensione in un punto P a distanza r dall’apice dell’intaglio. Considerando che all’apice si ha, normalmente, il valore massimo della tensione, questa funzione deve essere monotona decrescente ed il suo valore deve essere compreso tra zero e uno (per r =0); in [7] viene suggerita una funzione peso lineare del tipo ^{ϕ r} ( ) ^{= − ⋅ 1 c r} , considerando, in prima approssimazione, la funzione peso dipendente solamente dalla distanza del punto e non dalla sua posizione. Il parametro c viene stabilito sulla base di una calibrazione del modello su dati sperimentali e, come verrà dimostrato, risulta essere funzione solamente del materiale.

La funzione di cedimento da implementare può essere scelta fra le molte disponibili in letteratura per i materiali compositi, questa scelta risulta comunque influenzare in una certa misura le capacità previsionali del modello. Infine, la scelta del dominio di integrazione S, in termini sia di forma che di dimensioni ma soprattutto di posizione risulta uno degli aspetti più delicati dell’applicazione del modello: Yao, considerando le difficoltà esistenti per la valutazione dell’area interessata dal danneggiamento in prossimità dell’intaglio, si limita a suggerire un dominio di forma circolare o ellittica centrato all’apice dell’intaglio, come evidenziato in figura 1. La scelta della forma del dominio non risulta molto influente cosi come la sua dimensione data la presenza della funzione peso; come verrà evidenziato, risulta invece fondamentale la posizione del dominio.

Alcuni commenti sul criterio di cedimento proposto da Yao

Nella formulazione originale [7], il criterio non considera alcuni aspetti che sono invece, a giudizio degli autori, di notevole importanza per una corretta valutazione della resistenza di un laminato in presenza di concentrazioni di tensione. In particolare, non viene chiarito quale sia lo stato di tensione da considerare per il calcolo puntuale della funzione di cedimento f( σ) e viene solamente indicato che il dominio di integrazione può essere assunto di forma circolare o ellittica e posizionato all’apice dell’intaglio (figura 1). In base a quest’ultimo

R

S

X Y

r P

Figura 1: Dominio di integrazione

per il modello dell’intensità del

campo di tensione

punto si è portati a pensare che non venga presa in considerazione l’analisi ply-by-ply dello stato di tensione e che si trascuri l’effettiva posizione del punto più critico del laminato.

Infatti, anche se non sempre evidenziato in maniera chiara in letteratura, il valore del picco di tensione è diverso lamina per lamina e la sua posizione nella singola lamina, variabile in funzione del lay-up, generalmente non coincide con quella ortogonale rispetto alla direzione del carico.

A questo proposito, la figura 2 presenta l’andamento della tensione principale lungo il bordo del foro nella lamina a 45° di un laminato vetro/resina epossidica [8] con lay- up [0 ₂ /+45/0 ₂ /-45/90 ₂ ] _s e foro da 1.25 mm sottoposto ad una tensione di trazione di 1 MPa in direzione 0°. Il risultato, ottenuto mediante analisi egli elementi finiti, evidenzia come la posizione del picco di tensione sia spostata dalla posizione ortogonale a quella di applicazione del carico (90°) dove invece si trova solo per gli strati a 0° e a 90°. Ad ulteriore conferma della variabilità della posizione del picco di tensione, nel caso di laminati unidirezionali caricati fuori asse è già stata riportata in letteratura una relazione lineare tra angolo delle fibre rispetto alla direzione di applicazione del carico e posizione angolare del picco lungo il bordo del foro [9].

IL NUOVO MODELLO DI CEDIMENTO

Sulla base della rianalisi effettuata sui modelli presenti in letteratura e delle considerazioni riportate in precedenza, è stato sviluppato un nuovo modello di cedimento progressivo per laminati intagliati; il modello si basa sull’ipotesi che il cedimento globale del laminato avvenga in maniera progressiva come successione del cedimento di ciascuna lamina quando questa raggiunge la condizione di criticità. La novità principale è costituita dal fatto che la condizione di criticità della singola lamina viene individuata con un criterio di campo, secondo l’approccio proposto da Yao, andando però a calcolare il valore della funzione di intensità del campo di tensione (equazione 1) non in corrispondenza dell’apice dell’intaglio e in posizione normale alla direzione del carico, ma lungo il bordo dell’intaglio stesso, nell’intorno del punto in cui lo stato di sollecitazione nella singola lamina e le sue caratteristiche di resistenza portano ad avere il massimo valore della funzione di cedimento (punto critico).

L’approccio proposto per individuare il punto critico e quindi la posizione del dominio di integrazione permette di considerare l’effettiva biassialità del campo di tensione presente e questo ha consentito di ottenere risultati migliori anche rispetto all’individuazione del punto critico come punto più sollecitato lungo il bordo dell’intaglio.

L’applicazione del modello avviene secondo il diagramma di flusso riportato in figura 3.

Viene effettuata un’analisi dello stato di tensione ply-by-ply del laminato sottoposto ad una tensione di primo tentativo e viene calcolato il valore puntuale della funzione di cedimento con l’individuazione del punto più critico, in prossimità dell’intaglio, e della lamina in cui si

60°

30°

120°

150°

180°

210°

240°

270°

300° 330° 0°

0 1 2 3 4 90°

[MPa]

Figura 2: Andamento della tensione principale

lungo il bordo foro nella lamina a 45° di un

laminato vetro/resina [0 ₂ /+45/0 ₂ /-45/90 ₂ ] _s

trova; nell’intorno del punto critico viene quindi valutato il valore della funzione di intensità del campo di tensione che indica il raggiungimento o meno della condizioni di criticità dello stato di sollecitazione nella lamina. Se nel punto critico non vengono raggiunte le condizioni di cedimento, la tensione applicata viene incrementata e il procedimento iterato. In caso di cedimento, invece, la lamina viene eliminata e l’analisi ricomincia con una redistribuzione dei carichi e l’analisi tensionale sulle lamine rimaste; il procedimento viene iterato fino al cedimento dell’ultima lamina e quindi del laminato.

La scelta di eliminare completamente la lamina in cui si sono raggiunte localmente le condizioni di criticità è sicuramente in vantaggio di sicurezza ma costituisce probabilmente una eccessiva penalizzazione; una degradazione locale delle caratteristiche di rigidezza della lamina in prossimità della zona danneggiata sarebbe forse più aderente alla realtà sperimentale. Questo secondo approccio risulta comunque estremamente difficile da applicare in modelli analitici per la complicazione formale che ne deriverebbe e per le pesanti limitazioni alla funzionalità ed utilizzabilità del modello; la sua implementazione risulta invece più agevole per criteri iterativi basati su analisi agli elementi finiti come ad esempio quello proposto da Lo, Wu e Konishi [10], dove la degradazione locale avviene semplicemente variando le caratteristiche elastiche degli elementi relativi alla zona danneggiata. Comunque, come si vedrà nel seguito, il buon accordo tra risultati ottenuti e dati sperimentali conferma la validità della scelta effettuata, in ogni caso in vantaggio di sicurezza.

Implementazione del modello

Il nuovo modello di cedimento è stato implementato un programma applicativo utilizzando il software Matlab 5.2; senza entrare in dettagli, per i quali si rimanda a [11], nel seguito vengono presentate le scelte effettuate durante lo sviluppo del programma e discussi gli algoritmi implementati e le loro eventuali limitazioni.

Seguendo il diagramma di figura 3, la prima fase è la definizione dei dati di input del problema, costituiti dalla geometria del provino, larghezza e diametro foro, numero di lamine, loro spessore e lay-up, e dalle caratteristiche elastiche (E _L , E _T , G _LT e ν LT ) e di resistenza ( σ L , σ T e σ LT ) di ciascuna lamina.

La successiva analisi dello stato tensionale lamina per lamina è stata effettuata utilizzando il metodo analitico a variabile complessa proposto da Lekhnitskii [12] e sviluppato in forma chiusa da Bonora, Costanzi e Marchetti [13], attraverso il quale è possibile determinare la distribuzione di tensione in laminati compositi di larghezza infinita, bilanciati e simmetrici, in presenza di fori o di cricche. La soluzione analitica in forma chiusa risulta tuttavia valida

Analisi zona critica

SI

NO

Eliminazione lamina NO

SI

Valutazione dello stato tensionale ply-by-ply

Determinazione del punto critico del laminato

Cedimento locale

Cedimento globale Tensione

di rottura Incremento della tensione

applicata

Dati di input Tensione iniziale

Figura 3: Diagramma di flusso per

l’applicazione del nuovo modello di cedimento

solamente per il primo quadrante e questo costituisce una prima limitazione al suo utilizzo, in quanto anche per la laminati bilanciati e simmetrici il campo di tensione sugli altri quadranti non può essere considerato simmetrico a causa dell’ortotropia del laminato. Per questa categoria di laminati, lo stato di tensione risulta comunque simmetrico per le lamine orientate a + θ° e -θ° rispetto alla direzione di carico ed è quindi possibile superare il problema con l’accorgimento che verrà esposto nel seguito. Inoltre, il fatto che la soluzione sia valida per laminati di larghezza infinita costituisce un’ulteriore limitazione che apparentemente ne impedisce l’applicazione a casi pratici; per un chiarimento su questo punto si rimanda al prossimo paragrafo.

Per la determinazione del punto critico, individuato come il punto dove è massima la funzione di cedimento, sono state implementate le funzioni polinomiali di Tsai-Hill (simmetrica) e di Tsai-Wu; la funzione di Tsai-Hill simmetrica ha la limitazione di non considerare la diversa resistenza a trazione e a compressione dei laminati, ma è stata ugualmente utilizzata perché spesso sono disponibili solamente i dati di resistenza a trazione.

Entrambi i criteri di cedimento adottati tuttavia non consentono di discriminare il tipo di cedimento, che cambia in funzione del comportamento a rottura del laminato, quando questo sia prevalentemente legato alle caratteristiche delle fibre (fiber-dominated), oppure a quelle della matrice (matrix-dominated). La possibilità di discriminare il tipo di cedimento risulta utile per una migliore previsione della resistenza di laminati con presenza esclusiva di lamine off-axis e può essere effettuata utilizzando il criterio di Hashin [14]; la sua implementazione, pur costituendo uno degli sviluppi già previsti per il programma, non è ancora stata effettuata a causa del notevole aumento dei tempi di calcolo che derivano dall’utilizzo di questo criterio.

L’analisi della zona critica viene effettuata sulla base del nuovo modello, proposto in precedenza. La funzione intensità del campo di tensione (f _IC ) è calcolata ancora con l’equazione (1) ma la posizione del dominio di integrazione lungo il bordo dell’intaglio ( α med ) e la lamina in cui effettuare l’analisi vengono individuati dal punto in cui risulta massima la funzione di cedimento, secondo lo schema riportato in figura 4.

L’estensione del dominio di integrazione, definita in termini di ∆α ^e ∆ R nell’intorno del punto critico, è stata invece determinata durante la fase di taratura del programma.

É stata scelta una funzione peso del tipo

( )

ϕ r = − ⋅ 1 c r che, durante la fase di taratura, si è dimostrata la più adatta ai fini di una più rapida convergenza delle previsioni del modello verso il valore sperimentale di riferimento. Le funzioni di cedimento utilizzate in questa parte del programma sono state ancora quelle di Tsai-Hill e Tsai-Wu.

Come opzioni alternative, il programma consente anche la definizione del punto critico come punto più sollecitato del laminato e l’applicazione, per l’analisi della zona critica, dei criteri ASC e PSC [1,2]; queste opzioni si sono dimostrate molto utili durante la fase di taratura per effettuare confronti e valutazioni sulle capacità previsionali del nuovo modello.

La valutazione della funzione intensità del campo di tensione (f _IC ) nella zona critica consente di stabilire se vengono raggiunte localmente le condizioni di cedimento della

∆∆∆∆ R R

αααα ^med

punto critico

[max f( )] σ

S

X Y

∆α

∆α ∆α

∆α

Figura 4: Dominio di integrazione

per il nuovo modello di cedimento

lamina; se questo non avviene la tensione viene incrementata e il procedimento iterato, mentre in caso contrario è già stato detto come venga eliminata la lamina in esame e venga ripresa l’analisi sulle lamine rimanenti. Viene inoltre ipotizzato che il cedimento di una lamina orientata a + θ° rispetto alla direzione del carico comporti il cedimento anche della lamina simmetrica orientata a - θ°, poiché essendo il campo di tensione simmetrico rispetto ad un asse passante per il centro del foro e parallelo alla direzione del carico applicato, le condizioni di criticità sono le stesse, anche se il punto critico è posizionato in un altro quadrante. È possibile con questa ipotesi superare le limitazioni esposte in precedenza relativamente alla possibilità di calcolare lo stato di tensione solamente nel primo quadrante.

La tensione applicata al laminato nel momento in cui vengono raggiunte le condizioni critiche (f _IC >1) per l’ultima lamina rappresenta la tensione di rottura del laminato.

Campo di validità della soluzione analitica per la valutazione dello stato di tensione La soluzione proposta in [13] per la determinazione analitica dello stato di tensione in laminati forati è valida, a rigore, per laminati di larghezza infinita; questo comporta che il campo di tensione risultante è indipendente dalla larghezza del laminato e che il valore della tensione lungo il bordo del foro risulta essere indipendente sia dal diametro dal foro sia dalla larghezza del laminato.

Per valutare le possibilità di utilizzo della soluzione analitica come strumento di analisi dello stato tensionale ply-by-ply in laminati forati di larghezza finita, almeno nelle immediate vicinanze del bordo foro, sono stati valutati i campi di tensione di una serie di laminati forati con geometria e lay- up variabili e tali da comprendere situazioni di forte ortotropia o di quasi-isotropia; i risultati ottenuti analiticamente sono stati quindi confrontati con quelli di analisi agli elementi finiti condotte sugli stessi laminati con il codice ANSYS 5.4.

Sono stati analizzati laminati a matrice epossidica rinforzati con tessuto di vetro, [8], con lay-up [0 ₂ /+45/0 ₂ /-45/90 ₂ ] _s , denominati WGE1, e [0 ₂ /+45 ₂ /-45 ₂ /90 ₂ ] _s , denominati WGE3, entrambi con rapporto tra i moduli longitudinale e trasversale della singola lamina E _L /E _T ≈2.187; i provini analizzati presentavano larghezza W pari a 25 mm e fori circolari con raggio R variabile da 1.25 a 6.25 mm, quindi con rapporto diametro su larghezza D/W = 0.1÷0.5.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

d/R

σσσσ 1

/σσσσ

1max

R=1.25 D/W=0.1 R=2.5 D/W=0.2 R=3.75 D/W=0.3 R=5 D/W=0.4 R=6.25 D/W=0.5 Sol.analitica

WGE1

E L /E T =2.187 a

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

d/R

σσσσ 1

/σσσσ

1max

R=1.25 D/W=0.1 R=2.5 D/W=0.2 R=3.75 D/W=0.3 R=5 D/W=0.4 R=6.25 D/W=0.5 Sol.analitica

b WGE3

E L /E T =2.187

Figura 5: Confronto dei campi di tensione

adimensionalizzati valutati numericamente e

analiticamente nelle lamine a +45° dei provini WGE

Sono stati inoltre analizzati laminati unidirezionali ed angle-ply grafite/PEEK, [15], con lay-up [0] _8s e [±45] _4s , denominati rispettivamente UCP e ACP, con rapporto tra i moduli E _L /E _T ≈15, larghezza W pari a 50 mm e fori circolari con raggio R variabile da 2.5 a 12.5 mm e rapporti D/W = 0.1÷0.5.

Le figure 5 e 6 presentano l’andamento della tensione principale massima nella direzione radiale di massima sollecitazione derivante dall’applicazione di una tensione di trazione in direzione 0°.

Per poter analizzare separatamente la precisione della soluzione analitica nella stima del valore di picco lungo il bordo del foro e la sua capacità di valutare correttamente l’intero campo di tensione, le tensioni determinate analiticamente e numericamente sono state adimensionalizzate rispetto al loro valore massimo e sono state diagrammate in funzione della coordinata adimensionale d/R che rappresenta il rapporto tra distanza dal bordo del foro e raggio del foro stesso. I risultati vengono presentati solamente per la regione in prossimità del bordo foro, quella cioè interessata dalla successiva valutazione della funzione intensità del campo di tensione.

Si può subito rilevare la ovvia convergenza delle curve numeriche verso la soluzione analitica per larghezza infinita al diminuire dal rapporto D/W. Dall’analisi della figura 5 appare inoltre evidente come per i provini WGE ci sia una buona corrispondenza tra stima analitica e valutazione numerica del campo di tensione per valori del rapporto D/W ≤ 0.3; per i provini UCP e ACP (figura 6) la corrispondenza risulta addirittura migliore del caso precedente anche per rapporti D/W fino a 0.5. Il confronto tra le figure 5 e 6 consente un’ulteriore interessante considerazione: al diminuire dell’ortotropia dei provini, sia in termini di caratteristiche della lamina (E _L /E _T ) che di lay-up, peggiora la qualità della stima analitica del campo di tensione.

Con riferimento alla stima del valore del picco di tensione a bordo foro, gli errori massimi tra previsione analitica e stima numerica sono risultati per tutti i provini analizzati minori del 10% per rapporti D/W ≤0.3, mentre per D/W=0.5 l’errore può arrivare fino al 25%; questo risultato era del resto prevedibile poiché essendo la soluzione analitica valida per larghezza infinita la stima del picco di tensione avviene indipendentemente dal diametro del foro e quindi maggiore è D/W maggiore è l’errore che si commette. Una definizione accurata del problema richiede sicuramente ulteriori approfondimenti; tuttavia i confronti presentati nelle

UCP E L /E T =15

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 d/R 0.3 0.4 0.5

R=2.5 D/W=0.1 R=5 D/W=0.2 R=7.5 D/W=0.3 R=10 D/W=0.4 R=12.5 D/W=0.5 Sol.analitica

σσσσ 1 a /σσσσ ^1max

ACP E L /E T =15

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

d/R

σσσσ 1

/σσσσ

1max

R=2.5 D/W=0.1 R=5 D/W=0.2 R=7.5 D/W=0.3 R=10 D/W=0.4 R=12.5 D/W=0.5 Sol.analitica

b

Figura 6: Confronto dei campi di tensione

adimensionalizzati valutati numericamente e

analiticamente per i provini UCP e ACP

figure 5 e 6 evidenziano che se si limita l’analisi a geometrie con D/W ≤ 0.3 e a distanze d/R ≤ 0.5, l’errore associato alla soluzione analitica rimane entro valori accettabili sia per quanto riguarda la stima della tensione di picco a bordo foro che per la definizione del campo di tensione. É opportuno inoltre sottolineare come sia poco significativo, ai fini pratici, considerare intagli con rapporti D/W molto elevati poiché la geometria diventa poco rappresentativa dei casi reali.

TARATURA DEL MODELLO

L’implementazione del nuovo modello di cedimento nel programma sviluppato è stata preceduta da una accurata fase di taratura durante la quale è stata analizzata l’influenza dei parametri legati al calcolo della funzione intensità del campo di tensione sulla capacità previsionale del modello stesso; in particolare è stata valutata l’influenza delle dimensioni del dominio di integrazione ( ∆α e ∆R), dell’espressione della funzione di forma e del parametro c della funzione di forma. Le analisi sono state effettuate, in maniera parametrica, al variare del diametro del foro e del sistema fibra-matrice, stimando la resistenza di provini per i quali fossero disponibili i dati di resistenza statica e le caratteristiche elastiche e di resistenza delle lamine costituenti.

Nell’analisi parametrica non è stato considerato il lay-up del laminato in quanto l’utilizzo di un’analisi ply-by-ply consente in linea teorica di ottenere risultati indipendenti da questo;

tuttavia la teoria della laminazione classica su cui si basa l’analisi tensionale fornisce gli stessi andamenti degli stati tensionali ply-by-ply per laminati con pari frazione di lamine e con uguale orientazione delle stesse ma diverso ordine di impilamento; il modello di danneggiamento non consente quindi di apprezzare le relative, anche se contenute, variazioni nella tensione di rottura.

Con riferimento al dominio di integrazione, riportato in figura 4, i risultati migliori sono stati ottenuti con un dominio di dimensioni costanti avente lunghezza ∆R=0.7mm e ampiezza

∆α=10°.

É stata scelta una funzione peso del tipo ^{ϕ r} ( ) ^{= − ⋅ 1 c r} invece della funzione peso lineare proposta in [7], poiché, come già detto, questa scelta ha consentito di ottenere una più rapida convergenza delle previsioni del modello verso i valori sperimentali di riferimento.

Il parametro c della funzione di forma è risultato sostanzialmente indipendente dalla dimensione dell’intaglio mentre si è dimostrato essere fortemente legato al sistema fibra/matrice utilizzato; la sua corretta determinazione consente inoltre di migliorare notevolmente le capacità di previsione del modello. I valori ottimali del parametro per i sistemi fibra-matrice analizzati durante la fase di taratura sono riportati in tabella 1; si suggerisce comunque, in fase di applicazione del programma, di verificare i valori proposti per almeno per una geometria di intaglio, data la significativa variabilità riscontrata nelle caratteristiche di resistenza dei laminati anche a parità di sistema fibra-matrice e di lay-up.

Tabella 1: Valori del parametro c per diversi sistemi fibra-matrice

Sistema fibra-matrice Riferimento Parametro c

vetro/epossidica (tess. vetro E/ res. bisfenolica) [8] 0.7

carbonio/epossidica ( AS4-3502) ^{[4,16] 0.8}

carbonio/PEEK ( AS4-APC-2 ) [4,17] 0.35

VALUTAZIONE DELLE CAPACITÀ DI PREVISIONE DEL PROGRAMMA Dopo la taratura del modello, le capacità di previsione del programma sono state confrontate con i risultati sperimentali di resistenza per provini forati di laminati realizzati con diverso sistema fibra-matrice, con diverso lay-up e con diversi rapporti D/W; nella tabella 2 vengono presentati alcuni dei risultati ottenuti.

Tabella 2: Confronto tra previsione analitica e valori sperimentali di resistenza ( dati sperimentali a rottura riferiti alla sezione lorda )

Codice

Provino Sistema fibra/matrice

Layup Rif. D

[mm]

D/W σ N

sperim.

[MPa]

σ N

analit.

[MPa]

E (%) T01 carbonio/PEEK [0/90 2 /0] s [17] 2.54 0.198 529.5 525 0.8 T01 carbonio/PEEK [0/90 2 /0] s [17] 7.52 0.295 447.8 490 -9.4 T045 carbonio/eposs. [0 2 /45 2 ] 2s [4] 2.54 0.1 758 690 9.0 T045 carbonio/eposs. [0 2 /45 2 ] 2s [4] 5.08 0.134 572 575 -0.5 T45 carbonio/eposs. [+45 2 ] 4s [18] 2.54 0.134 121.4 110 9.4 T45 carbonio/eposs. [+45 2 ] 4s [18] 7.52 0.39 93.3 100 -7.2 WGE1 vetroE/eposs. [0 ₂ /+45/0 ₂ /-45/90 ₂ ] _s [8] 3 0.2 273.7 300 -9.6 WGE1 vetroE/eposs. [0 ₂ /+45/0 ₂ /-45/90 ₂ ] _s [8] 5 0.2 250.0 245 2.0 WGE1 vetroE/eposs. [0 ₂ /+45/0 ₂ /-45/90 ₂ ] _s [8] 8 0.2 227.6 215 5.5 WGE1 vetroE/eposs. [0 ₂ /+45/0 ₂ /-45/90 ₂ ] _s [8] 10 0.2 221.9 200 9.9 WGE2 vetroE/eposs. [0/+45/0/90/0/-45/90/0] s [8] 3 0.2 279.4 300 -7.4 WGE2 vetroE/eposs. [0/+45/0/90/0/-45/90/0] s [8] 5 0.2 255.5 245 4.1 WGE2 vetroE/eposs. [0/+45/0/90/0/-45/90/0] s [8] 8 0.2 233.3 215 7.8 WGE2 vetroE/eposs. [0/+45/0/90/0/-45/90/0] s [8] 10 0.2 218.0 200 8.3 WGE3 vetroE/eposs. [0 ₂ /+45 ₂ /-45 ₂ /90 ₂ ] _s [8] 3 0.2 229.8 250 -8.8 WGE3 vetroE/eposs. [0 ₂ /+45 ₂ /-45 ₂ /90 ₂ ] _s [8] 5 0.2 201.6 200 0.8 WGE3 vetroE/eposs. [0 ₂ /+45 ₂ /-45 ₂ /90 ₂ ] _s [8] 8 0.2 175.2 170 3.0 WGE3 vetroE/eposs. [0 ₂ /+45 ₂ /-45 ₂ /90 ₂ ] _s [8] 10 0.2 163.1 160 1.9 Una prima analisi globale dei risultati ottenuti evidenzia come gli errori che il programma commette nella stima analitica della resistenza dei diversi provini siano sempre inferiori al 10%, risultato che si ritiene soddisfacente per uno strumento da utilizzare in fase di progettazione preliminare.

La serie di risultati che si presenta più sbilanciata è sicuramente quella relativa ai provini T45 carbonio/epossidica con lay-up [±45] _2s ; è opportuno evidenziare come, in questo caso, il comportamento del laminato sia del tipo matrix-dominated e quindi una migliore previsione potrebbe essere ottenuta, come già discusso in precedenza, utilizzando una funzione di cedimento in grado di discriminare il diverso comportamento a rottura del laminato. A parità di parametro c di calibrazione del modello di cedimento, le previsioni migliorano invece quando si passa ai provini T045; questi ultimi sono realizzati con lo stesso sistema fibra/matrice ma presentano un comportamento a rottura di tipo fiber-dominated.

Con riferimento alla serie di provini WGE 1 e WGE2 si può notare che le previsioni

analitiche sono le stesse nonostante il diverso lay-up; una più attenta analisi proprio del

lay-up evidenzia come le due serie presentino la stessa frazione di lamine con uguale

orientazione delle fibre e quindi in base a quanto esposto in precedenza la previsione analitica per le due serie fornisce risultati identici in termini di tensione di rottura.

I risultati ottenuti per i provini WGE vengono infine riproposti nelle figure 7a e 7b, dove i valori del rapporto tra resistenza del provino intagliato ( σ N ) e resistenza del provino liscio ( σ UTS ) sono diagrammati in funzione del diametro del foro e confrontati con le previsioni analitiche.

E’ interessante notare come per i provini WGE, con tre lay-up diversi e con gli stessi parametri del modello, le previsioni presentino un buon accordo con i risultati sperimentali;

Inoltre le figure 7a e 7b evidenziano come venga correttamente prevista anche la riduzione di resistenza all’aumentare del diametro del foro (hole size effect). A conferma della qualità della previsione va infine rilevato come le previsioni analitiche siano confrontate, per ciascun valore del diametro, con i dati medi di resistenza (relativi a cinque prove sperimentali) e quindi non sia evidenziata la dispersione dei risultati sperimentali.

0.4 0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10

Diametro foro [mm]

WGE1

WGE2 Previsione analitica σ /σ

σ /σ σ /σ σ /σ _{N UTS}

a _0.4

0.6 0.8 1

0 2 4 6 8 10

Diametro foro [mm]

WGE3 Previsione analitica

b

σ /σ σ /σ σ /σ σ /σ _{N UTS}

Figura 7: Confronto tra risultati sperimentali adimensionalizzati e previsioni analitiche per le serie WGE1-WGE2 (a) e WGE3(b)

CONCLUSIONI

É stato sviluppato un nuovo modello di danneggiamento per laminati in composito intagliati ed è stato successivamente implementato in un programma applicativo in ambiente Matlab che consente la previsione della tensione di rottura di laminati forati.

Il modello di danneggiamento è basato su un criterio di campo che prevede il calcolo della funzione intensità del campo di tensione nel punto critico del laminato, individuato dalla zona in prossimità dell’intaglio dove la funzione di cedimento assume il massimo valore.

Una fase di taratura preliminare del programma ha consentito la determinazione dei parametri ottimali del modello per l’analisi di laminati in carbonio/epossidica, carbonio/PEEK e vetro/epossidica.

I parametri ottenuti sono stati utilizzati per la previsione della tensione di rottura di laminati diversi per sistema fibra/matrice, lay-up e dimensioni del foro e il confronto tra previsioni analitiche e risultati sperimentali ha fornito errori sempre inferiori al 10%; è stata inoltre riscontrata una corretta previsione dell’hole size effect.

Il programma sviluppato può risultare quindi un valido supporto progettuale nella fase di

studio preliminare e di fattibilità di componenti intagliati in composito laminato.

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