ISTITUZIONI DI FISICA MATEMATICA
prof. Cornelis Van der Mee
Gli argomenti essenziali tra quelli seguenti:
1. Equazioni fondamentali della fisica matematica. Equazione di vibrazioni, di diffusione, del calore, di Poisson, di Laplace, di Helm- holtz, di Maxwell, di Schr¨odinger, e di Dirac. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine.
2. Separazione delle variabili. L’operatore di Laplace in coordinate cartesiane, polari, sferiche e cilindriche. Separazione delle variabili per le equazioni di Laplace, di Poisson, delle onde, e di Schr¨odinger.
3. Analisi Funzionale. Spazi di Banach e Hilbert. Spazi L1, L2 e C.
Norma e raggio spettrale. Serie di Neumann. Classificazione dello spettro. Operatori autoaggiunti.
4. Equazioni Integrali. Approssimazione delle funzioni continue da polinomi. Classificazione delle equazioni integrali. Equazioni integrali con nucleo continuo, di Volterra e con nucleo degenere. Alternativa di Fredholm. Teoremi di Fredholm. Equazioni integrali con nucleo reale e simmetrico.
5. Equazioni differenziali di Sturm-Liouville e funzioni speziali.
L’operatore di Sturm-Liouville. Funzione di Green. Riduzione alle equazioni integrali. Spettro dell’operatore di Sturm-Liouville. Caso particolare Lu = −u00 e l’analisi di Fourier. Funzioni di Bessel. Fun- zioni sferiche. Polinomi di Legendre, Hermite e Laguerre.
6. Soluzioni esplicite di alcuni problemi al contorno. Formula di Poisson, l’equazione di Laplace nel cilindro, l’equazione del calore, e l’equazione di Schr¨odinger.
Testi consigliati:
1. Appunti del docente.
2. V.S. Vladimirov, Equazioni della fisica matematica, Mir
3. N.N. Lebedev, Special functions and their applications, Dover Publ.
