Prova scritta di Fisica Matematica I per il corso di laurea in Matematica
12 Giugno 2012
Il punto materiale P , di massa m , si muove rispetto ad un riferimento inerziale Oxyz . Il punto P si muove in assenza di gravit` a (cio`e si ponga l’accelerazione g = 0 ) e in modo da rimanere vincolato a una superficie toroidale caratterizzata dall’equazione
R − px
2+ y
22+ z
2= r
2, dove R > r > 0 . Sia P
⋆la proiezione del punto P sul piano Oxy . Una molla ideale, di lunghezza a riposo nulla e di costante elastica k , collega P a P
⋆. Inoltre, il punto P `e dotato di carica elettrica q ed `e soggetto a un campo elettrico uniforme di norma uguale a E , parallelo ed equiverso all’asse y .
Primo suggerimento: `e conveniente adottare il seguente semplice metodo per esprimere la posizione di P in funzione delle coordinate lagrangiane. Dapprima, si consideri il semip- iano Oρz (con ascissa positiva o nulla che `e data dalla distanza ρ = px
2+ y
2), il quale include sia l’asse z che il punto P . L’intersezione della superficie toroidale con tale semip- iano `e, evidentemente, una circonferenza di raggio r e centro in un punto C , posto sul semiasse ρ a distanza R dall’origine. Si osservi ora che le coordinate ρ e z del punto P possono essere scritte immediatamente in funzione di un opportuno angolo ϑ che ha il suo vertice nel centro C . Sia ora ϕ l’angolo formato dalla semiretta delle x positive con quella delle ρ . Le coordinate ignote del punto P possono essere facilmente espresse in funzione di ϑ e ϕ proiettando ρ prima sull’asse delle x e poi su quella delle y . Si consiglia di adottare proprio (ϑ, ϕ) come coppia di coordinate lagrangiane.
Secondo suggerimento: essendo
−→
F
el= qE
−→e
yun campo di forze omogeneo (dove
−→e
y`e il versore relativo all’asse y), esso `e di tipo conservativo e, inoltre, il calcolo del corrispondente contributo elettrico U
elall’energia potenziale `e assolutamente banale.
Si supponga che i vincoli siano ideali e si risponda alle domande seguenti.
(1) Si scrivano la lagrangiana e le equazioni di Lagrange.
(2a) Si determinino tutti i punti di equilibrio al variare dei parametri.
(2b) Si studi la stabilit`a dei suddetti punti di equilibrio, limitatamente al caso in cui i valori dei parametri sono m = R = 2 , r = q = k = 1 e E = √
3/2 . In modo alternativo e completamente facoltativo, `e data la possibilit`a di trattare il problema della stabilit`a dei punti di equilibrio al variare di tutti i parametri.
(3) Si calcolino le reazioni vincolari agenti sul punto P in condizioni di quiete, quando i valori dei parametri sono fissati come al punto (2b).
(4) Si riconsideri il sistema descritto all’inizio del testo, cio`e con valori dei parametri che non sono fissati come al punto (2b). Si supponga inoltre che il sistema sia soggetto a un ulteriore vincolo tale che il punto P `e ora obbligato a muoversi nel semipiano Oyz con y positive.
Si studino le leggi di moto t 7→ P (t) che fanno seguito alla famiglia di dati iniziali
tali che le coordinate di P al tempo t = 0 sono (x, y, z) = (0, R − r, 0) . Al variare dei parametri, si caratterizzi il sottoinsieme delle suddette condizioni iniziali, tali che, ∀ t ∈ R , P (t) non raggiunge mai la massima distanza della superficie toroidale dall’origine, la quale `e ovviamente uguale a R + r .
(5) (Facoltativo) Si riconsideri il sistema come descritto inizialmente, cio`e senza che vi sia l’ulteriore vincolo descritto al punto (4) e con valori generici dei parametri che non sono da considerarsi fissati come al punto (2b). Si studi ora il caso particolare, che `e in assenza di campo elettrico (cio`e si ponga E = 0), ma in presenza di un campo magnetico uniforme di norma uguale a B , parallelo ed equiverso all’asse z . Di conseguenza, il punto P `e ora soggetto anche all’effetto della forza di Lorentz
−→
F
L= qB
−→v
P∧
−→e
z(dove
−→