CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA

(1)

CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA

11 aprile 2011

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

1. Si consideri la seguente applicazione lineare L : R

³

→ R

⁴

:

L



 x y z



 =







x − y x + z y + z 2x − y + z





 .

Determinare:

(a) La matrice associata a L nelle basi canoniche di R

³

di R

⁴

:

(b) dim ImL = dim kerL = (c) Le equazioni cartesiane di ImL:

(d) Stabilire per quali valori di h il vettore v =



 h 4 − h

−2



 appartiene a kerL:

2. Si considerino la matrice A = h 1 1 − h

²

1 h 0

, il vettore B =

2h 1 − h

, con h ∈ R.

(a) Determinare il rango di A al variare di h ∈ R:

(b) Indicato con X un vettore di R

³

, determinare per quali valori di h il sistema AX = B ammette soluzioni:

(c) Determinare per quali valori di h l’insieme delle soluzioni ´e un piano in R

³

:

(d) Rappresentare in forma parametrica l’insieme delle soluzioni per h = 2:

(2)

3. Si consideri la matrice reale quadrata di ordine 3:

A =





0 2 −2

−2 4 −2

−2 2 0





(a) Determinare il polinomio caratteristico di A:

(b) Determinare gli autovalori di A con relative molteplicit`a algebriche e geo- metriche:

(c) Si discuta se `e possibile trovare una base di R

³

composta da autovettori di A. In caso positivo si determini una tale base.

4. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆi, ˆ j, ˆ k), si considerino il piano π di equazione 2x + y − 2z = 0 ed il punto A = (2, 2, 2).

Determinare:

(a) La direzione normale al piano π:

(b) Le equazioni cartesiane della retta r passante per il punto A ed ortogonale al piano π:

(c) La proiezione ortogonale del punto A sul piano π:

(d) La distanza del punto A dal piano π:

5. Si consideri il sottospazio U di R

⁴

generato dai vettori v

¹

=





 1 1 1 2







e v

²

=





 1 1 2 5





 .

(a) Determinare la dimensione di U:

(b) Determinare una base ortogonale di U:

(c) Si determini una base di U

^⊥

:

(3)

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Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

Svolgere in modo completo il seguente esercizio:

Si considerino i seguenti sottospazi di R

⁴

:

U = {





 x y z t





 ∈ R

⁴

|x − t = z − 2x = 0}, W = span{





 1 2 2 2





 ,





 0 1 0 1





 }.

Determinare:

1. dim(U + W ) = dim(U ∩ W ) = 2. Una base B per U + W :

3. Le coordinate del vettore v =





 3 4 2 2







nella base B:

(4)

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11 aprile 2011

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

1. Si consideri la seguente applicazione lineare L : R

³

→ R

⁴

:

L



 x y z



 =







x − z x + 2y + z

x + y y + z





 .

Determinare:

(a) La matrice associata a L nelle basi canoniche di R

³

di R

⁴

:

(b) dim ImL = dim kerL = (c) Le equazioni cartesiane di ImL:

(d) Stabilire per quali valori di h il vettore v =



 3 h h + 6



 appartiene a kerL:

2. Si considerino la matrice A =

0 1 k

k

²

− 1 k 1

ed il vettore B = k + 2 3k

, con k ∈ R.

(a) Determinare il rango di A al variare di k ∈ R:

(b) Indicato con X un vettore di R

³

, determinare per quali valori di k il sistema AX = B ammette soluzioni:

(c) Determinare per quali valori di k l’insieme delle soluzioni un piano in R

³

:

(d) Rappresentare in forma parametrica l’insieme delle soluzioni per k = 2:

(5)

3. Si consideri la matrice reale quadrata di ordine 3:

A =





0 1 1

1 0 1

−1 −1 −2





(a) Determinare il polinomio caratteristico di A:

(b) Determinare gli autovalori di A con relative molteplicit`a algebriche e geo- metriche:

(c) Si discuta se `e possibile trovare una base di R

³

composta da autovettori di A. In caso positivo si determini una tale base.

4. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆi, ˆ j , ˆ k), si considerino il piano π di equazione 2x + y − 2z = 0 ed il punto A = (3, 2, 2).

Determinare:

(a) La direzione normale al piano π:

(b) Le equazioni cartesiane della retta r passante per il punto A ed ortogonale al piano π:

(c) La proiezione ortogonale del punto A sul piano π:

(d) La distanza del punto A dal piano π:

5. Si consideri il sottospazio U di R

⁴

generato dai vettori v

¹

=





 1 1 2 1







e v

²

=





 1 1 5 2





 .

(a) Determinare la dimensione di U:

(b) Determinare una base ortogonale di U:

(c) Determinare una base di U

^⊥

:

(6)

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11 aprile 2011

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

Svolgere in modo completo il seguente esercizio:

Si considerino i seguenti sottospazi di R

⁴

:

U = {





 x y z t





 ∈ R

⁴

|x + t = z + 2x = 0}, W = span{





 1 2 2 2





 ,





 1 1 0 0





 }.

Determinare:

1. dim(U + W ) = dim(U ∩ W ) = 2. Una base B per U + W :

3. Le coordinate del vettore v =





 3 4 2 2







nella base B:

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