CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA

(1)

CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA

12 luglio 2011

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

1. Sia L : R

⁴

→ R

³

un’applicazione lineare, definita in modo che:

L





 1 1 0 0







=



 1 0 1



 ; L





 1

−1 0 0







=





−1 0 1



 ; L





 0 0 2 0







=



 2 0 4



 ; L





 0 0 0 1







=



 2 0 0



 .

(a) Calcolare L





 1 0 0 0







= e L





 0 1 0 0







=

(b) Determinare la matrice A

_L

associata ad L nelle basi canoniche nel dominio e nel codominio.

(c) Determinare dim Im L = .

(d) Indicando con x, y, z, t le coordinate canoniche del generico vettore di R

⁴

, fornire la/le equazioni cartesiane di Ker L e determinarne una base.

2. Si considerino la matrice A quadrata di ordine 3 ed il vettore B dipendenti dal parametro reale h:

A =





2h 0 2 1 h h 1 0 h



 B =



 2h

2 1



 . Determinare:

(a) Per quali valori di h la matrice A ha rango 2:

(b) Per quali valori di h la matrice A ` e invertibile:

(c) Per quali valori di h il sistema lineare AX = B ammette soluzioni:

(d) Risolvere il sistema per h = 2.

(2)

3. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ i, ˆ j, ˆ k), si considerino il piano π : x + 2y − 3z = 1 ed il punto A = (2, −1, 1). Determinare:

(a) La direzione normale al piano π:

(b) Le equazioni cartesiane della retta r perpendicolare al piano π e passante per A:

(c) L’intersezione del piano π con l’asse z:

(d) L’equazione del piano α per A parallelo a π:

4. Si consideri la seguente forma quadratica Q : R

³

→ R:

Q(x, y, z) = x

²

+ 4xy + y

²

+ z

²

. Determinare:

(a) La scrittura matriciale di Q:

(b) Una forma canonica Q(x

⁰

, y

⁰

, z

⁰

):=

(c) Si determini una matrice M invertibile 3 × 3 tale che



 x

⁰

y

⁰

z

⁰



 = M



 x y z



:

(d) Stabilire se Q ` e definita, semidefinita, non definita positiva o negativa:

5. Si consideri la seguente matrice 3 × 3

A =





8 −3 3

5 1 1

0 0 5





(a) Scrivere il polinomio caratteristico di A:

(b) Si determinino gli autovalori di A con le relative molteplicit` a algebriche.

(c) Per ciascun autovalore si determini una base del corrispondente autospazio.

(d) Si discuta se A ` e diagonalizzabile motivando la risposta.

(3)

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12 luglio 2011

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

Svolgere in modo completo il seguente esercizio

Sia L : R

³

→ R

²

un’applicazione lineare tale che che Ker L = span(



 1 0 0



 ,



 0 1 1



)

1. Si calcoli la dimensione di Im L.

2. Si determini h in modo che L



 3

−4 + h 2 − h



 = 0 0

.

Sapendo inoltre che L



 0 1 0



 = 1 1

:

3. Si determini L



 0 0 1



.

4. Si determini la matrice associata a L nelle basi canoniche.

(4)

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12 luglio 2011

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

1. Sia L : R

³

→ R

⁴

un’applicazione lineare, definita in modo che:

L



 1 1 0



 =





 1 2

−1 1







; L



 1

−1 0



 =







−1 2 3 1







; L



 0 0

−1



 =





 1 0

−2 0





 .

(a) Calcolare L



 1 0 0



 = e L



 0 1 0



 =

(b) Determinare la matrice A

L

associata ad L nelle basi canoniche nel dominio e nel codominio.

(c) Determinare dim Ker L = .

(d) Indicando con x, y, z le coordinate canoniche del generico vettore di R

³

, fornire la/le equazioni cartesiane di Ker L e determinarne una base.

2. Si considerino la matrice A quadrata di ordine 3 ed il vettore B dipendenti dal parametro reale h:

A =





2h 0 h

1 1 + h h

0 0 h + 2



 B =



 h h 1



 . Determinare:

(a) Per quali valori di h la matrice A ha rango 2:

(b) Per quali valori di h la matrice A ` e invertibile:

(c) Per quali valori di h il sistema lineare AX = B ammette soluzioni:

(d) Risolvere il sistema per h = 2.

(5)

3. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ i, ˆ j, ˆ k), si considerino il piano π : x − 2y + 3z = 1 ed il punto A = (2, 1, 1). Determinare:

(a) La direzione normale al piano π:

(b) Le equazioni cartesiane della retta r perpendicolare al piano π e passante per A:

(c) L’intersezione del piano π con l’asse z:

(d) L’equazione del piano α per A parallelo a π:

4. Si consideri la seguente forma quadratica Q : R

³

→ R:

Q(x, y, z) = 3x

²

+ 2y

²

− 2yz + 2z

²

. Determinare:

(a) La scrittura matriciale di Q:

(b) Una forma canonica Q(x

⁰

, y

⁰

, z

⁰

):=

(c) Si determini una matrice M invertibile 3 × 3 tale che



 x

⁰

y

⁰

z

⁰



 = M



 x y z



:

(d) Stabilire se Q ` e definita, semidefinita, non definita positiva o negativa:

5. Si consideri la seguente matrice 3 × 3

A =





4 0 0 1 1 −3 1 5 5





(a) Scrivere il polinomio caratteristico di A:

(b) Si determinino gli autovalori di A con le relative molteplicit` a algebriche.

(c) Per ciascun autovalore si determini una base del corrispondente autospazio.

(d) Si discuta se A ` e diagonalizzabile motivando la risposta.

(6)

CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA

12 luglio 2011

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

Svolgere in modo completo il seguente esercizio

Sia L : R

⁴

→ R

³

un’applicazione lineare tale che che Ker L = span(





 1 0 0 0





 ,





 0 0 1 0





 ,





 0 1 1 1





 , )

1. Si calcoli la dimensione di Im L.

2. Si determini h in modo che L





 3

−4 + h 2 − h

−2h







=



 0 0 0



.

Sapendo inoltre che L





 0 1 0 0







=



 1 1 1



:

3. Si determini L





 0 0 0 1





 .

4. Si determini la matrice associata a L nelle basi canoniche.

(7)

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12 luglio 2011

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

1. Sia L : R

⁴

→ R

³

un’applicazione lineare, definita in modo che:

L





 0 0 1 1







=



 2 0 1



 ; L





 0 0 1

−1







=



 4 0 3



 ; L





 2 0 0 0







=



 2 0 0



 ; L





 0 1 0 0







=



 1 0 1



 .

(a) Calcolare L





 0 0 1 0







= e L





 0 0 0 1







=

(b) Determinare la matrice A

_L

associata ad L nelle basi canoniche nel dominio e nel codominio.

(c) Determinare dim Im L = .

(d) Indicando con x, y, z, t le coordinate canoniche del generico vettore di R

⁴

, fornire la/le equazioni cartesiane di Ker L e determinarne una base.

2. Si considerino la matrice A quadrata di ordine 3 ed il vettore B dipendenti dal parametro reale h:

A =





2(h + 1) 0 2

1 h + 1 h + 1

1 0 h + 1



 B =





2(h + 1) 2 1



 . Determinare:

(a) Per quali valori di h la matrice A ha rango 2:

(b) Per quali valori di h la matrice A ` e invertibile:

(c) Per quali valori di h il sistema lineare AX = B ammette soluzioni:

(d) Risolvere il sistema per h = 2.

(8)

3. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ i, ˆ j, ˆ k), si considerino il piano π : 2x + y − 3z = 1 ed il punto A = (−1, 2, 1). Determinare:

(a) La direzione normale al piano π:

(b) Le equazioni cartesiane della retta r perpendicolare al piano π e passante per A:

(c) L’intersezione del piano π con l’asse x:

(d) L’equazione del piano α per A parallelo a π:

4. Si consideri la seguente forma quadratica Q : R

³

→ R:

Q(x, y, z) = 4x

²

+ 12xy + 9y

²

+ z

²

. Determinare:

(a) La scrittura matriciale di Q:

(b) Una forma canonica Q(x

⁰

, y

⁰

, z

⁰

):=

(c) Si determini una matrice M invertibile 3 × 3 tale che



 x

⁰

y

⁰

z

⁰



 = M



 x y z



:

(d) Stabilire se Q ` e definita, semidefinita, non definita:

5. Si consideri la seguente matrice 3 × 3

A =





9 3 −3 0 6 0 5 1 2





(a) Scrivere il polinomio caratteristico di A:

(b) Si determinino gli autovalori di A con le relative molteplicit` a algebriche.

(c) Per ciascun autovalore si determini una base del corrispondente autospazio.

(d) Si discuta se A ` e diagonalizzabile motivando la risposta.

(9)

CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA

12 luglio 2011

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

Svolgere in modo completo il seguente esercizio

Sia L : R

³

→ R

²

un’applicazione lineare tale che che Ker L = span(



 1 0 0



 ,



 0 1 1



)

1. Si calcoli la dimensione di Im L.

2. Si determini h in modo che L



 3

−3 + h 1 − h



 = 0 0

.

Sapendo inoltre che L



 0 1 0



 = 1 3

:

3. Si determini L



 0 0 1



.

4. Si determini la matrice associata a L nelle basi canoniche.

(10)

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12 luglio 2011

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

1. Sia L : R

³

→ R

⁴

un’applicazione lineare, definita in modo che:

L



 1 0 1



 =







−1 2 3 1







; L



 1 0

−1



 =





 1 2

−1 1







; L



 0

−1 0



 =







−1 0 2 0





 .

(a) Calcolare L



 1 0 0



 = e L



 0 0 1



 =

(b) Determinare la matrice A

L

associata ad L nelle basi canoniche nel dominio e nel codominio.

(c) Determinare dim Ker L = .

(d) Indicando con x, y, z le coordinate canoniche del generico vettore di R

³

, fornire la/le equazioni cartesiane di Ker L e determinarne una base.

2. Si considerino la matrice A quadrata di ordine 3 ed il vettore B dipendenti dal parametro reale h:

A =





−1 h − 1 h

2h 0 h

0 0 h − 2



 B =



 h 1 h − 2



 . Determinare:

(a) Per quali valori di h la matrice A ha rango 2:

(b) Per quali valori di h la matrice A ` e invertibile:

(c) Per quali valori di h il sistema lineare AX = B ammette soluzioni:

(d) Risolvere il sistema per h = −1.

(11)

3. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆ i, ˆ j, ˆ k), si considerino il piano π : 3x + 2y − z = 1 ed il punto A = (1, 1, −2). Determinare:

(a) La direzione normale al piano π:

(b) Le equazioni cartesiane della retta r perpendicolare al piano π e passante per A:

(c) L’intersezione del piano π con l’asse z:

(d) L’equazione del piano α per A parallelo a π:

4. Si consideri la seguente forma quadratica Q : R

³

→ R:

Q(x, y, z) = −3x

²

+ 3y

²

− 2yz + 3z

²

. Determinare:

(a) La scrittura matriciale di Q:

(b) Una forma canonica Q(x

⁰

, y

⁰

, z

⁰

):=

(c) Si determini una matrice M invertibile 3 × 3 tale che



 x

⁰

y

⁰

z

⁰



 = M



 x y z



:

(d) Stabilire se Q ` e definita, semidefinita, non definita positiva o negativa:

5. Si consideri la seguente matrice 3 × 3

A =





3 −1 4

2 2 −2

0 0 3





(a) Scrivere il polinomio caratteristico di A:

(b) Si determinino gli autovalori di A con le relative molteplicit` a algebriche.

(c) Per ciascun autovalore si determini una base del corrispondente autospazio.

(d) Si discuta se A ` e diagonalizzabile motivando la risposta.

(12)

CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA

12 luglio 2011

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

Svolgere in modo completo il seguente esercizio

Sia L : R

⁴

→ R

³

un’applicazione lineare tale che che Ker L = span(





 1 0 0 0





 ,





 0 0 0 1





 ,





 0 1

−1 1





 , )

1. Si calcoli la dimensione di Im L.

2. Si determini h in modo che L





 3h 1 + 2h

−2 + h

−2







=



 0 0 0



.

Sapendo inoltre che L





 0 0 1 0







=



 1 2 1



:

3. Si determini L





 0 1 0 0





 .

4. Si determini la matrice associata a L nelle basi canoniche.