CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA

(1)

CORSO DI GEOMETRIA E ALGEBRA

22 novembre 2010

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

1. Sia L l’applicazione lineare L : R ³ → R ⁴ definita da

L



 x y z



 =







x + 2z y + z x − y + z

x + k z







Dire per quale/i valore/i di k l’applicazione `e iniettiva.

Si ponga ora k = 2 nel seguito.

(a) Calcolare: dim(Im L) = dim(Ker L) =

(b) Determinare l’equazione cartesiana di Im L e di Ker L, e determinarne, rispettivamente, una base:

(c) Stabilire per quale/i valore/i di a il vettore w =





 2 1 a ² 2







appartiene ad Im L.

2. Si consideri la seguente matrice reale quadrata di ordine 3:

A =





1 0 −1

1 2 1

− 1 0 1





(a) Determinare gli autovalori della matrice A, con le relative molteplicit`a:

(b) Determinare equazioni cartesiane ed una base per ciascun autospazio di A:

(c) Dire se la matrice `e diagonalizzabile, e, in caso affermativo, fornire la forma

diagonale:

(2)

3. Si consideri il seguente sistema lineare dipendente dal parametro reale k:



 

 

x + 2y + kz = 0 kx + z = 0

− x + y + z = k − 3

(a) Si determini per quali valori di k il sistema ammette soluzioni:

(b) Si determini per quale fra questi valori di k la soluzione `e unica:

(c) Si determini la soluzione del sistema per k = 3.

4. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆi, ˆ j, ˆ k), si considerino i punti A = (1, 0, −1) e B = (0, 2, 0).

(a) Determinare l’equazione parametrica della retta r passante per A e B:

(b) Determinare in forma cartesiana l’equazione del piano π contenente r e l’origine del riferimento O = (0, 0, 0):

(c) Determinare la distanza di π dal punto Q = (−1, 1, −1):

(d) Determinare l’area del parallelogramma avente per lati i segmenti OA e OB :

5. Fissato in R ⁴ il prodotto scalare standard, si consideri il seguente sottospazio:

U =



 



 

 X =





 x y z t







∈ R ⁴ : A X = 0 _R

²



 



 

 ,

dove

A = 1 2 −1 0 2 0 1 − 1

Determinare:

(a) dim U =:

(b) Una base ortogonale di U:

(c) Le equazioni di U ^⊥ :

(d) Una base di di U ^⊥ :

(3)

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22 novembre 2010

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

Svolgere in modo completo il seguente esercizio.

Si consideri il seguente sistema lineare:



 

 

x + y − 2z + 2t + w = 1 2x + y + w = 2

x + 2y − 6z + w = 1 1. Scrivere la matrice A dei coefficienti del sistema.

2. Discutere la risolvibilit`a del sistema.

3. Sia L _A : R ⁵ → R ³ l’applicazione lineare che associa ad ogni vettore X ∈ R ⁵ il vettore AX. Trovare una base del nucleo Ker L _A .

4. Risolvere il sistema.

(4)

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22 novembre 2010

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

1. Sia L l’applicazione lineare L : R ⁴ → R ³ definita da

L





 x y z t







=





x + z + t y − z 2x + y + z − kt





Dire per quale/i valore/i di k l’applicazione `e suriettiva.

Si ponga ora k = −2 nel seguito.

(a) Calcolare: dim(Im L) = dim(Ker L) =

(b) Determinare l’equazione cartesiana di Im L e di Ker L, e determinarne, rispettivamente, una base:

(c) Stabilire per quale/i valore/i di a il vettore w =







− 2 a ²

4 − 2







appartiene ad Ker L.

2. Si consideri la seguente matrice reale quadrata di ordine 3:

A =





2 0 −1

1 3 1

− 1 0 2





(a) Determinare gli autovalori della matrice A, con le relative molteplicit`a:

(b) Determinare equazioni cartesiane ed una base per ciascun autospazio di A:

(c) Dire se la matrice `e diagonalizzabile, e, in caso affermativo, fornire la forma

diagonale:

(5)

3. Si consideri il seguente sistema lineare dipendente dal parametro reale k:



 

 

x + 3y + kz = 0 kx + z = 0

− x + y + z = k + 1

(a) Si determini per quali valori di k il sistema ammette soluzioni:

(b) Si determini per quale fra questi valori di k la soluzione `e unica:

(c) Si determini la soluzione del sistema per k = −1.

4. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆi, ˆ j , ˆ k), si considerino i punti A = (1, −1, 0) e B = (0, 0, 2).

(a) Determinare l’equazione parametrica della retta r passante per A e B:

(b) Determinare in forma cartesiana l’equazione del piano π contenente r e l’origine del riferimento O = (0, 0, 0):

(c) Determinare la distanza di π dal punto Q = (−2, 1, 1):

(d) Determinare l’area del parallelogramma avente per lati i segmenti OA e OB:

5. Fissato in R ⁴ il prodotto scalare standard, si consideri il seguente sottospazio:

U =



 



 

 X =





 x y z t







∈ R ⁴ : A X = 0 _R

²



 



 

 ,

dove

A = 1 −2 1 0 2 0 − 1 1

Determinare:

(a) dim U =:

(b) Una base ortogonale di U:

(c) Le equazioni di U ^⊥ :

(d) Una base di di U ^⊥ :

(6)

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22 febbraio 2010

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

Svolgere in modo completo il seguente esercizio.

Si consideri il seguente sistema lineare:



 

 

x + y + 2z − 2t + w = 1 2x − y + w = 1

x + 2y + 4z + w = 1 1. Scrivere la matrice A dei coefficienti del sistema.

2. Discutere la risolvibilit`a del sistema.

3. Sia L _A : R ⁵ → R ³ l’applicazione lineare che associa ad ogni vettore X ∈ R ⁵ il vettore AX. Trovare una base del nucleo Ker L _A .

4. Risolvere il sistema.

(7)

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22 novembre 2010

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

1. Sia L l’applicazione lineare L : R ³ → R ⁴ definita da

L



 x y z



 =







y + 2z x + z y − x + z

y + 2k z







Dire per quale/i valore/i di k l’applicazione `e iniettiva.

Si ponga ora k = 1 nel seguito.

(a) Calcolare: dim(Im L) = dim(Ker L) =

(b) Determinare l’equazione cartesiana di Im L e di Ker L, e determinarne, rispettivamente, una base:

(c) Stabilire per quale/i valore/i di a il vettore w =





 0 2 a ² 2







appartiene ad Im L.

2. Si consideri la seguente matrice reale quadrata di ordine 3:

A =





2 1 0

1 2 0

− 1 −1 1





(a) Determinare gli autovalori della matrice A, con le relative molteplicit`a:

(b) Determinare equazioni cartesiane ed una base per ciascun autospazio di A:

(c) Dire se la matrice `e diagonalizzabile, e, in caso affermativo, fornire la forma

diagonale:

(8)

3. Si consideri il seguente sistema lineare dipendente dal parametro reale k:



 

 

x + 2y + (k + 3)z = 0 (k + 3)x + z = 0

− x + y + z = k

(a) Si determini per quali valori di k il sistema ammette soluzioni:

(b) Si determini per quale fra questi valori di k la soluzione `e unica:

(c) Si determini la soluzione del sistema per k = 0.

4. Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale R(O, ˆi, ˆ j, ˆ k), si considerino i punti A = (1, 1, 0) e B = (0, 0, 2).

(a) Determinare l’equazione parametrica della retta r passante per A e B:

(b) Determinare in forma cartesiana l’equazione del piano π contenente r e l’origine del riferimento O = (0, 0, 0):

(c) Determinare la distanza di π dal punto Q = (3, −1, 1):

(d) Determinare l’area del parallelogramma avente per lati i segmenti OA e OB :

5. Fissato in R ⁴ il prodotto scalare standard, si consideri il seguente sottospazio:

U =



 



 

 X =





 x y z t







∈ R ⁴ : A X = 0 _R

²



 



 

 ,

dove

A = 2 1 −1 0 0 2 1 − 1

Determinare:

(a) dim U =:

(b) Una base ortogonale di U:

(c) Le equazioni di U ^⊥ :

(d) Una base di di U ^⊥ :

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22 febbraio 2010

Cognome e Nome: Matricola:

Corso di Laurea: Anno di corso:

Svolgere in modo completo il seguente esercizio.

Si consideri il seguente sistema lineare:



 

 

2x − 2y − z − t − w = −1 z + 2t + w = 2

− 6x + z + t + 2w = 1 1. Scrivere la matrice A dei coefficienti del sistema.

2. Discutere la risolvibilit`a del sistema.

3. Sia L _A : R ⁵ → R ³ l’applicazione lineare che associa ad ogni vettore X ∈ R ⁵ il vettore AX. Trovare una base del nucleo Ker L _A .

4. Risolvere il sistema.

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