Esercizi di ricapitolazione

Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

x + 3

(x + 1)2_·√_x2_{− 3}≥ 0.

Svolgimento.

Osserviamo che per prima cosa bisogna determinare per quali x ∈ R la scrittura a primo membro abbia senso, cio`e il dominio naturale di

x + 3 (x + 1)2_·√_x2_{− 3}.

Deve essere ben definito il denominatore (visto che il numeratore x + 3 lo `e per ogni x ∈ R) e quindi

(x + 1)2_{6= 0 da cui x 6= −1;}

Di conseguenza il dominio naturale `e

D = {x ∈ R : x >√3 o x < −√3}. Osserviamo ora che

x + 3 ≥ 0 se e solo se x ≥ −3.

il denominatore `e sempre positivo in D, in quanto prodotto di funzioni positive.

Di conseguenza, l’insieme richiesto `e determinato dagli x ∈ D, tali che x ≥ −3, ovvero gli x ∈ R tali che

−√3 +√3 −3

Esercizio

Determinare per quali x ∈ R si abbia √

x2_{+ 4x + 4 − |2x − 1|} 1 −√3

x2_{− 8} < 0.

Svolgimento.

Per prima cosa determiniamo il dominio naturale di f (x ) =

√

x2_{+ 4x + 4 − |2x − 1|} 1 −√3

x2_{− 8} . Osserviamo che ilnumeratore `e ben definitoin quanto

(x + 2)2= x2+ 4x + 4 e quindi la radice quadrata al numeratore `e sempre ben definita,

Per quanto riguarda ildenominatore

3

√

x2<sub>− 8 `e sempre ben definita,</sub> il denominatore `e ben definito se 1 −√3

x2_{− 8 6= 0 cio`e}

3

p

x2_{− 8 6= 1} ovvero, elevando ambo i membri al cubo se x2− 8 6= 1 e quindi x2_{6= 9 cio`e x 6= ±3.}

In definitiva, il dominio naturale D si definisce come

Per determinare quando √

x2_{+ 4x + 4 − |2x − 1|} 1 −√3

x2_{− 8} < 0. studiamo per quali x ∈ D = R\±3 si abbia

1 √x2_{+ 4x + 4 − |2x − 1| > 0,} 2 1 −√3x2_{− 8 > 0,}

per poi determinare quando il rapporto √

x2_{+ 4x + 4 − |2x − 1|} 1 −√3

Notiamo che√x2_{+ 4x + 4 − |2x − 1| > 0 se e solo se} p

x2_{+ 4x + 4 > |2x − 1| =}p_{(2x − 1)}2

e siccome le quantit`a in entrambi i membri sono positive, ci`o `e vero se e solo se, lo sono quelle ottenuteelevando ai quadratiambo i membri, cio`e

x2+ 4x + 4 > (2x − 1)2= 4x2+ 1 − 4x ⇔ 3x2− 8x − 3 < 0. Poich`e gli zeri di 3x2_{− 8x − 3 sono facilmente −1/3 e 3 (verificarlo) abbiamo} che

p

Per quanto concerne il denominatore, 1 −p3 x2_{− 8 > 0 ⇔}p3 x2_{− 8 < 1} e quindi se e solo se x2− 8 < 1 ⇔ x2< 9 ⇔−3 < x < 3.

Assemblando i risultati si vede che la disuguaglianza richiesta `e verificata quando, per x ∈ D, numeratore e denominatore hanno segni discordi e cio`e

−3 +3

−1/3 +3

−3 +3

In figura, in linea continua, dall’alto verso il basso, dominio D = R\{−3, 3},

Esercizio Determinare il dominio di 4 p 2 − |x2_{− 3x|} Svolgimento.

Osserviamo che la radice quarta in questione `e ben definita se e solo se l’argomento `e non negativo e cio`e

2 − |x2− 3x| ≥ 0 ⇔ |x2− 3x| ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x2− 3x ≤ 2 o alternativamente, dopo facili conti



Studio x2_{− 3x − 2 ≤ 0. Visto che x}2_{− 3x − 2 = 0 se e solo se} x = (3 ±√17)/2 abbiamo che la disequazione `e verificata per −0.561552812808830 ≈ 3 − √ 17 2 ≤ x ≤ 3 +√17 2 ≈ 3.561552812808830.

Studio x2− 3x + 2 ≥ 0. Visto che x2_{− 3x + 2 = 0 se e solo se x = 1 o} x = 2 abbiamo che la disequazione `e verificata per

x ≤ 1 oppure x ≥ 2.

3−√17 2

3+√17 2

1 2

In figura, in linea continua, dall’alto verso il basso, regione in cui x2− 3x ≤ +2, cio`eh3−