18ottobre2016 AnnalisaCesaroni,PaolaMannuccieAlviseSommariva Introduzione

Introduzione

Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

18 ottobre 2016

Insiemi

Uninsieme`e una collezione di oggetti detti elementi.

Usualmente gliinsiemisi denotano con lettere maiuscolecome ad esempio A, B o X mentre gli elementi con lettere

minuscolecome ad esempio a, b o x .

La scrittura a ∈ A significa che l’elemento a appartiene

Insiemi

Un insieme pu`o essere rappresentato in manieradescrittiva

come ad esempio

A = {a, b, c}

cio`e l’insieme A contiene esclusivamente gli elementi a, b, c, oppure

N = {0, 1, 2, . . .}

cio`e l’insieme dei numeri 0, 1, 2, eccetera (ovvero l’insieme dei numerinaturali,

oppure comepredicato, come ad esempio D = {n ∈ N, n dispari}

cio`e l’insieme dei numeri naturali dispari, e quindi equivalente a

D = {1, 3, 5, 7, . . .}

Insiemi

L’insieme dei numeri naturali dispari pu`o essere rappresentato ovviamente in vari modi. Ad esempio:

D = {n ∈ N : ∃k ∈ N : n = 2k + 1}.

Si legge che D `e l’insieme dei numeri naturali n per cui esiste un numero naturale k tale che n = 2 · k + 1.

Infatti

Alcuni simboli e notazioni

a ∈ A: l’elemento a appartiene all’insieme A;

∀: per ogni; ∃: esiste; @: non esiste; ∃!: esiste ed `e unico; ⇒: implica; ⇔: se e solo se; ∈: appartiene; / ∈: non appartiene; =:: definizione; :: tale che; ∅: insieme vuoto.

Quale esempio, due insiemi A e B si dicono uguali, cio`e A = B se contengono gli stessi elementi. Con notazione matematica,

∀x ∈ A ⇒ x ∈ B e ∀x ∈ B ⇒ x ∈ A.

Alcuni simboli e notazioni.

A ⊆ B: A `e sottinsieme di B, cio`e ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B; A ⊂ B: A `e sottinsieme strettodi B, cio`e

∀x ∈ A ⇒ x ∈ B e ∃x ∈ B : x /∈ A.

Esempio

Operazioni insiemistiche.

A ∩ B := {x : x ∈ A e x ∈ B};

Figura : Intersezione di due insiemi A, B. .

Operazioni insiemistiche.

A ∪ B := {x : x ∈ A o x ∈ B};

Operazioni insiemistiche.

{X(A) = X \A := {x : x ∈ X e non x ∈ A};

∅: insieme vuoto, privo di elementi; ovviamente, qualsiasi sia l’insieme A, ∅ ⊆ A;

P(X ) := {sottinsiemi di X}: insieme delle parti di X . Esempio: X = {a, b, c}, allora

P(X ) = {∅, X , {a}, {b}, {c }, {a, b}, {a, c }, {b, c }}. Nel nostro caso X ha 3 elementi e P(X ) ha 23 elementi. In generale se X ha n elementi allora P(X ) ha 2nelementi.

Insiemi numerici.

N := {0, 1, 2, . . .}: numeri naturali;

Z := {0, 1, −1, −2, 2, . . .}: numeri interi (relativi); Q := {m_n, m, n ∈ Z, n 6= 0}: numeri razionali (frazioni); si possono scrivere in forma decimale e avere uno

p, α1α2. . . αn sviluppo decimale finito

oppure, posto α∗_n un numero finito di cifre,

p, α1α2. . . α∗n sviluppo decimale periodico.

R: numeri reali, con sviluppo decimale generico, anche infinito.

Ovviamente:

Insiemi numerici.

Esempio Il numero 3.98534 ` e un numero razionale. Il numero 3.3453476767676767676... ` e un numero razionale.

Il numero π = 3.141592653589793 . . . `e un numero reale, ma non razionale.

Prodotto cartesiano.

Siano A, B due insiemi. L’insieme

A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B)} si chiamaprodotto cartesiano.

Ha per elementi le coppie ordinate (a, b).

Ovviamente se a ∈ A, b ∈ B, allora (a, b) ∈ A × B mentre (b, a) /∈ A × B a meno che b ∈ A e a ∈ B.

Esempio di prodotto cartesiano.

Siano A = {0, 1}, B = {2, 3}. Allora A × B = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3)} B × A = {(2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)} e quindi A × B 6= B × A.

Se A = B allora si scrive A2 := A × A. Cos`ı , ad esempio:

R2 := R × R = {(x, y ) : x, y ∈ R)}.

Esempio di prodotto cartesiano.

Pi`u in generale si possono definire insiemi del tipo

A1× . . . × An= {(a1, . . . , an) : a1∈ A1, . . . , an∈ An}

come ad esempio

R3:= R × R × R = {(x, y , z) : x, y , z ∈ R)} o pi`u in generale

Operazioni su insiemi numerici.

Dato un insieme X , un’operazione ⊕ in X associa a ogni coppia ordinata (x , y ) ∈ X × X uno e un solo elemento di X . Un esempio su N, Z, Q, R sono le operazioni di somma + e prodotto ∗. Scriveremo con⊕ : X × X → X l’operazione in questione. Vediamo alcune possibili propriet`a.

Per ogni (x , y ) ∈ X × X si ha x ⊕ y = y ⊕ x (propriet`a commutativa);

Per ogni x , y ∈ X × X si ha (x ⊕ y ) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z) (propriet`a associativa);

Esiste un unico elemento detto zero tale che x ∈ X si ha x ⊕ 0 = x (propriet`a elemento neutro);

Per ogni x ∈ X × X esiste un unico elemento detto opposto, indicato con −x , tale che x ⊕ (−x ) = 0 (propriet`a inverso).

Operazioni su insiemi numerici.

Se in X sono definite due operazioni, diciamo ⊕ e ⊗ si dice che esse sono sono legate dallapropriet`a distributiva se

Operazioni su insiemi numerici: esempio.

Esempio

Relativamente all’operazione di somma + in Q:

Per ogni (x , y ) ∈ Q × Q si ha x + y = y + x (propriet`a commutativa);

Per ogni x , y ∈ Q × Q si ha (x + y ) + z = x + (y + z) (propriet`a associativa);

Esiste un unico elemento detto zero tale che x ∈ Q si ha x + 0 = x (propriet`a elemento neutro);

Per ogni x ∈ Q × Q esiste un unico elemento detto opposto, indicato con −x , tale che x + (−x ) = 0 (propriet`a inverso).

Operazioni su insiemi numerici: esempio.

Esempio

Similmente, relativamente al prodotto · in Q:

Per ogni x , y ∈ Q si ha x · y = y · x (propriet`a commutativa); Per ogni x , y ∈ Q si ha (x · y ) · z = x · (y · z) (propriet`a associativa);

Esiste un unico elemento detto unit`a e indicato con 1 tale che x ∈ Q si ha x · 1 = x (propriet`a elemento neutro); Per ogni x ∈ Q, x 6= 0 esiste un unico elemento detto reciproco, indicato con x−1, tale che x · x−1= 1 (propriet`a inverso).

Le operazioni di somma e prodotto in Q sono legate dallapropriet`a distributiva

Propriet`

a delle operazioni su insiemi.

Esempio (importante)

Se Y `e un insieme, dotiamo l’insieme dei suoi sottinsiemi X = P(Y ) di unione ∪,

intersezione ∩, complementare {XA.

Valgono le seguenti propriet`a.

A ∩ B = B ∩ A (simmetrica intersezione);

A ∩ (B ∩ C ) = (A ∩ B) ∩ C (associativa intersezione); A ∪ B = B ∪ A (simmetrica unione);

A ∪ (B ∪ C ) = (A ∪ B) ∪ C (associativa unione);

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) (distributiva, intersezione e unione); A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ) (distributiva, intersezione e unione); {X(A ∪ B) = {XA ∩ {XB

{X({XA) = A

Campi.

Definizione (Campo)

Un insieme si dicecampo se:

esistono due operazioni (che chiameremo in generale somma e prodotto);

sono verificate le propriet`a commutativa, associativa per ogni operazione;

vale la propriet`a distributiva; esiste l’elemento neutro;

esiste l’inverso di ogni elemento (ad eccezione dell’elemento neutro del prodotto).

Campi ordinati.

Definizione (Relazione d’ordine)

Sia X un insieme. Si dice che su X `e definita una relazione d’ordine ≤ tra elementi di X se vale la propriet`a

riflessiva (cio`e a ≤ a);

antisimmetrica (cio`e se a 6= b, a ≤ b implica che non `e vero che b ≤ a);

transitiva (cio`e se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c).

Definizione (Insieme totalmente ordinato)

Un insieme X dotato di relazione d’ordine ≤ `etotalmente ordinato

se

∀a, b ∈ X , a ≤ b o b ≤ a.

I campi con relazione d’ordine si dicono ordinati.

Campi ordinati.

Esempio (1)

Si verifica facilmente che, relativamente alla classica relazione d’ordine, Q, R sonocampi ordinati e che anzi sono perfino

totalmente ordinaticio`e

Propriet`

a delle operazioni su insiemi.

Esempio (2)

Sia l’insieme R2= R × R e definiamo la relazione d’ordine ≤∗ col significato

(x1, y1)≤∗(x2, y2) se e solo se x1 ≤ x2, y1 ≤ y2

dove ≤ `e la classica relazione d’ordine di R.

Si verifica subito che ≤∗ `e una relazione d’ordine in R2, ma che relativamente a ≤∗, l’insieme R2 non `e totalmente ordinato, in quanto non sono paragonabili

(10, 35), (5, 137).

Logica elementare.

Nella maggior parte del corso discuteremo di proposizioni,

dimostrazioni e negazioni di proposizioni. Torna comodo discutere di notazioni.

Un esempio:

∀x ∈ A, p(x) ⇒ q(x)

dice che

Logica elementare.

Esempio

Verificare che

∀n ∈ N, n dispari ⇒ n2 dispari Con riferimento a quanto detto nell’esempio

∀x ∈ A, p(x) ⇒ q(x) si ha x ≡ n; A ≡ N; p(n) ≡ n dispari; q(n) ≡ n2 _dispari.

Usualmente si definisce la parte a sinistra di ⇒ comeipotesi, quella a destra cometesi.

Logica elementare.

Vogliamo mostrare che

∀n ∈ N, n dispari ⇒ n2 dispari

Dimostrazione

Essendo n un numero naturale dispari, sappiamo che n = 2 · k + 1 per un certo k ∈ N. Ma allora da (a + b)2 = a2+ 2ab + b2 si ha

n2 = (2k + 1)2 = 4k2+ 4k + 1

= 2(2k2+ 2k) + 1 (1)

Osserviamo che 2(2k2_{+ 2k) `e pari e quindi necessariamente}

Procedimento per assurdo.

Osserviamo che:

∀x ∈ A, p(x) ⇒ q(x) `e equivalente a

∀x ∈ A, non q(x) ⇒ non p(x) Quindi invece che provare l’asserto

∀x ∈ A, p(x) ⇒ q(x) si prova equivalentemente che

∀x ∈ A, non q(x) ⇒ non p(x) spesso detto informalmente per assurdo.

Nell’esempio precedente, quindi per provare che ∀n ∈ N, n dispari ⇒ n2 dispari

bastava provare, essendo non dispari equivalente a dire pari ∀n ∈ N, n2 _{pari ⇒ n pari.}

Nota (facoltativa)

Nota.

Dimostrare che

∀n ∈ N, n2 pari ⇒ n pari `e pi`u complicato che provare

∀n ∈ N, n dispari ⇒ n2 dispari. Essenzialmente se si fattorizza n in fattori primi

p1< p2< . . . < pm

allora

n = p1k1· . . . · pmkm ⇒ n2= p12k1· . . . · pm2km.

Ma se n2`e pari, si vede facilmente che da n = 2 · k per qualche k, necessariamente p1= 2 (vista l’unicit`a della fattorizzazione) e quindi

n = 2k1_{· . . . · p}

mkm

Procedimento per assurdo: esempio.

Teorema (Euclide)

Non esiste r ∈ Q tale che r2 = 2.

Dimostrazione.

Se per assurdo fosse vero esistesse r ∈ Q tale che r2 = 2, visto che si pu`o scrivere tale r come

r = n

m, n, m ∈ Z, m 6= 0, con n, m primi tra loro allora da r2 =n m 2 = n 2 m2 = 2,

avremo che n2 sarebbe pari in quanto n2 = 2m2.

Procedimento per assurdo: esempio.

Per quanto visto prima, se n2 `e pari abbiamo che pure n `e pari, e quindi esiste un k ∈ Z per cui n = 2k. Ma ricordiamo che

n2= 2m2 per cui semplificando

4k2= (2k)2= n2 = 2m2⇒ m2= 2k2

Controesempi.

I controesempi si usano per dimostrare la falsit`a di una implicazione del tipo

∀x ∈ A, p(x) ⇒ q(x).

Se trovo x ∈ A per cui vale p(x ) ma non vale q(x ), ho dimostrato la falsit`a dell’implicazione.

L’asserto

∀n ∈ N, n primo ⇒ n `e dispari

`e falso in quanto per x = 2 si ha che x = 2 `e primo ma non dispari. L’elemento x = 2 rappresenta un controesempio.

Negazione delle proposizioni.

La negazione della proposizione

∀x vale p(x) si scrive

∃x : non vale p(x). La negazione della proposizione

∀x vale p(x) e q(x) si scrive

Insiemi limitati.

Sia X un insieme totalmente ordinato (come ad esempio Q). Il sottoinsieme E ⊆ X `e limitato superiormentese esiste M ∈ X tale che x ≤ M per ogni x ∈ E . Tale M si dice

maggiorante.

Il sottoinsieme E ⊆ X `e limitato inferiormentese esiste m ∈ X tale che m ≤ x per ogni x ∈ E . Tale m si dice minorante. L’insieme E `e limitatose `e limitato superiormente e inferiormente cio`e

∃m, M : m ≤ x ≤ M, ∀x ∈ E .

Massimi e minimi.

Vediamo alcuni esempi

Esempio

E = {x ∈ Q : x < 5} `e superiormente limitato da 5.

Esempio

E = {x ∈ Q : −27 < x < 1} `e inferiormente e superiormente limitato risp. da −27 e 1 e quindi limitato.

Esempio

Massimi e minimi.

Definizione (Massimo)

Sia E ⊆ X , con X totalmente ordinato. L’elemento x `e massimo per E se

x ∈ E ;

x ≤ x per ogni x ∈ E .

Definizione (Minimo)

Sia E ⊆ X , con X totalmente ordinato. L’elemento x `e minimo per E se

x ∈ E ;

x ≤ x per ogni x ∈ E .

Massimi e minimi: esempi.

Esempio

E = [0, 1] = {x ∈ R, 0≤x≤1} ⊆ R ha massimo in x = 1 e minimo in x = 0. Esempio

E = (0, 1] = {x ∈ R, 0<x≤1} ⊆ R ha massimo in x = 1 ed `e limitato inferiormente ma non ha minimo.

Esempio

E = {x ∈ Q, x < −5} ⊆ R `e limitato superiormente ma non ha massimo e non `e limitato inferiormente.

Nota.

Osserviamo che

Se esiste il massimo di E allora E `e limitato superiormente;

Massimi e minimi.

Teorema (Unicit`a del massimo)

Sia E totalmente ordinato. Se esiste il massimo di E , questo `e unico.

Dimostrazione.

Supponiamo che per assurdo esistano due massimi di E, siano M1

e M2 con M16= M2. Dalle loro definizioni,

M1≤ M2 e M2≤ M1

il che, per la propriet`a antisimmetrica della relazione d’ordine ≤, implica M1= M2.

Teorema (Unicit`a del minimo)

Sia E totalmente ordinato. Se esiste il minimo di E , questo `e unico.

La dimostrazione `e analoga a quella del massimo.

Estremo superiore e inferiore.

Definizione (Maggiorante ed estremo superiore)

Sia E ⊆ X con X totalmente ordinato. Un elemento k ∈ X si dicemaggiorante di E, se x ≤ k per ogni x ∈ E . Si definisceestremo superioredi E (in X ), e lo si indica con sup(E ), il minimo dei maggioranti di E in X (se esiste).

Definizione (Minorante ed estremo inferiore)

Sia E ⊆ X con X totalmente ordinato. Un elemento k ∈ X si diceminorantedi E, se k ≤ x per ogni x ∈ E . Si definisceestremo inferioredi E (in X ), e lo si indica con inf(E ), il massimo dei minoranti di E in X (se esiste).

Nota.

Osserviamo che

Estremo superiore e inferiore: esempio 1.

Esempio

Si consideri E = [0, 1]. Evidentemente max(E ) = 1 = sup(E );

min(E ) = 0 = inf(E );

Estremo superiore e inferiore: esempio 2.

Esempio

Si consideri E = (0, 1]. Evidentemente max(E ) = 1 = sup(E );

min(E ) non esiste;

inf(E ) = 0: i minoranti sono tutti i numeri x ≤ 0 e ovviamente il loro massimo, che `e inf(E ), `e x = 0.

Esempio

Si consideri E = {x ∈ Q : x < 5}. Evidentemente max(E ) non esiste;

min(E ) non esiste;

Estremo superiore e inferiore: esempio.

Esempio

Si consideri E = (0, 1]. Evidentemente max(E ) = 1 = sup(E );

min(E ) non esiste;

inf(E ) = 0: i minoranti sono tutti i numeri x ≤ 0 e ovviamente il loro massimo, che `e inf(E ), `e x = 0.

Esempio

Si consideri E = {x ∈ Q : x ≥ 0, x2 < 2}. Evidentemente max(E ) non esiste;

min(E ) = inf(E ) = 0;

sup(E ): non appartiene a Q ma esiste in R.

Facoltativo. Estremo superiore e inferiore.

L’insieme X ha lapropriet`a dell’estremo superiore se per ogni E ⊆ X , non vuoto e limitato superiormente, questo possiede sup in X .

Nota.

Facoltativo. Campo ordinato.

Teorema

L’insieme R `e un campo ordinato che ha la propriet`a dell’estremo superiore.

Facoltativo.

Si dimostra che in questo caso, la propriet`a dell’estremo superiore `e equivalente a dire che per ognisezione {A, B} di R, cio`e A, B tali che

A, B 6= ∅; A ∩ B = ∅; A ∪ B = R;

se a ∈ A, b ∈ B allora a < b,

esiste unico l’elemento separatore s (cio`e tale che a ≤ s ≤ b per ogni a ∈ A, b ∈ B).

Facoltativo. Campo ordinato: R.

Esempio Siano A = {x ∈ R : x2< 2} e B = {x ∈ R : x2 ≥ 2}.

Facoltativo. Campo ordinato.

Proposizione.

Sia E ⊆ R limitato superiormente. Sia L = sup (E ) il minimo dei maggioranti. Si ha che L = sup (E ) ⇔  i ) x ≤ L, ∀x ∈ E ii ) ∀ > 0∃x ∈ E tale che x > L − 

La condizione ii ) dice che L + non`e maggiorante di E.

Facoltativo. Campo ordinato.

Proposizione.

Sia E ⊆ R limitato inferiormente. Sia l = inf (E ) il massimo dei minoranti. Si ha che l = inf (E ) ⇔  i ) x ≥ l , ∀x ∈ E ii ) ∀ > 0 ∃x ∈ E t.c. x < l + 

Facoltativo. Alcuni esercizi.

Esempio (Facoltativo)

Si consideri

E = {x ∈ R : x = 1

n, n ∈ N, n 6= 0}. Si mostri che E `e limitato.

Dimostrazione.

Non `e difficile mostrare che max (E ) = 1. Infatti

1

n ≤ 1 per ogni n ∈ N, n 6= 0;

1 ∈ E in quanto per n = 1 si ha 1_n = 1.

Facoltativo. Alcuni esercizi.

Mostriamo ora che inf (E ) = 0. Infatti

1

n > 0 per ogni n ∈ N, n 6= 0;

Per ogni  > 0 esiste  > 0 tale che x < . Infatti se n > 1_ allora _n1 < .

Di conseguenza l’insieme

E = {x ∈ R : x = 1

Facoltativo. Esercizio per casa.

Sia

A = {x ∈ R : x = n

n + 1, n ∈ N}. Vediamo alcuni valori:

n = 0: x = _n+1n = ₀₊₁0 = 0; n = 1: x = _n+1n = ₁₊₁1 = 1₂ = 0.5; n = 2: x = _n+1n = 2₃ = 0.6666 . . .; n = 3: x = _n+1n = ₃₊₁3 = 0.75; n = 4: x = _n+1n = ₄₊₁4 = 0.8; n = 100000: x = _n+1n = _100000+1100000 = 0.9999900000999991 . . .; Si capisce intuitivamente che il valore di x = _n+1n `e positivo, cresce al crescere di n e tende a 1 pur essendo inferiore poich`e

n < n + 1 ⇒ n

n + 1 < 1.

Facoltativo. Esercizio per casa.

Esercizio (Facoltativo)

Dimostrare che

1 min(A) = inf(A) = 0 2 sup(A) = 1.

Facoltativo. Esercizio su max, min, sup, inf.

Esercizio (Facoltativo) Sia A = {x ∈ R : x = (−1) n n , n ∈ N, n 6= 0}. Determinare max e min.

Esercizio Sia A = {x ∈ R : x = 1 n + (−1) n , n ∈ N, n 6= 0}. Determinare max e min (se esistono), inf e sup (se esistono).

Valore assoluto (o modulo).

Definizione (Valore assoluto)

Sia a ∈ R. Si definiscevalore assoluto (o modulo), la quantit`a

|a| := 

a, se a ≥ 0 −a, se a < 0

Si mostra facilmente che |a| ≥ 0;

Valore assoluto (o modulo).

Teorema (Studio |x | ≤ b)

Sia b ∈ R.

1 Se b < 0 allora non esiste x ∈ R tale che |x| ≤ b; 2 Se b ≥ 0 allora |x | ≤ b se e solo se

−b ≤ x ≤ b.

Nota. (Studio |x | < b)

Dal precedente si vede in modo analogo che se b ∈ R allora

1 se b ≤ 0 allora non esiste x ∈ R tale che |x| < b; 2 se b > 0 allora |x | < b se e solo se

−b < x < b.

Valore assoluto (o modulo).

Svolgimento.

Se b < 0 allora non esiste x ∈ R tale che |x| ≤ b in quanto 0 ≤ |x | per ogni x ∈ R e quindi se fosse |x| ≤ b sarebbe

0 ≤ |x | ≤ b < 0 il che non `e possibile;

Se b ≥ 0 allora

Se x ≥ 0, allora |x | = x e quindi |x | ≤ b se e solo se x = |x | ≤ b;

Se x < 0, allora |x | = −x e quindi |x | ≤ b se e solo se −x = |x| ≤ b (cio`e x ≥ −b).

Raccogliendo i risultati si ha che per b ≥ 0 si ha

Valore assoluto (o modulo).

Teorema (Studio |x | ≥ b)

Sia b ∈ R.

1 Se b < 0 allora per ogni x ∈ R si ha che |x| ≥ b; 2 Se b ≥ 0 allora |x| ≥ b se e solo se

x ≤ −b oppure x ≥ b.

Nota. (Studio |x | > b)

Dal precedente si vede in modo analogo che se b ∈ R allora

1 se b < 0 allora per ogni x ∈ R si ha che |x| > b.

2 se b = 0 allora per ogni x ∈ R si ha che |x| > b = 0 per ogni x ∈ R eccetto x = 0.

3 se b > 0 allora|x| > bse e solo se x < −b oppure

x > b.

Valore assoluto (o modulo).

Svolgimento.

Se b < 0 allora |x | ≥ b `e sempre verificato in quanto |x| ≥ 0 > b per ogni x ∈ R;

Se b ≥ 0 allora

Se x ≥ 0, allora |x | = x e quindi |x | ≥ b se e solo se x ≥ b; Se x < 0, allora |x | = −x e quindi |x | ≥ b se e solo se −x ≥ b (cio`e x ≤ −b).

Dai risultati, per b ≥ 0 si ha che |x | ≥ b se e solo se

1 x ≥ b oppure 2 x ≤ −b

cio`e se e solo se

Valore assoluto (o modulo): disuguaglianza triangolare.

Teorema (Disuguaglianza triangolare)

Per ogni x , y ∈ R si ha che

|x + y | ≤ |x| + |y |.

Dimostrazione.

Per quanto visto, per ogni x , y ∈ R

−|x| ≤ x ≤ |x|, −|y | ≤ y ≤ |y | e quindi −|x| − |y | ≤ x + y ≤ |x| + |y |. Ora poniamob = |x | + |y | ≥ 0ez = x + y; osserviamo che −|x | − |y | = −(|x | + |y |) = −b.

Di conseguenza ci`o equivale a dire −b ≤ z ≤ b cio`e |z| ≤ b ovvero |x + y | = |z| ≤ b = |x| + |y |.

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Esempio

Fissato il parametro α ∈ R determinare quando |x + 3| < α. Svolgimento.

Se α ≤ 0, essendo 0 ≤ |x + 3|, ci`o non si realizza mai altrimenti 0 ≤ |x + 3| < α ≤ 0

che `e assurdo.

Se α > 0, da |y | < α se e solo se −α < y < α abbiamo pery = x + 3 −α < x + 3 < α

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Esempio

Fissato il parametro α ∈ R determiniamo quando |x + 3| > α. Svolgimento.

Se α < 0, essendo 0 ≤ |x + 3|, ci`o si realizza sempre in quanto α < 0 ≤ |x + 3|;

Se α > 0, da |y | > α se e solo y > α o y < −α abbiamo per y = x + 3 che ci`o si realizza se e solo

x + 3 > αoppureα < −(x + 3) da cui evidenziando il termine x

x > α − 3oppurex < −3 − α.

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Esempio (|f (x )| ≤ g (x ))

Se f , g sono due funzioni, vediamo quando |f (x )| ≤ g (x ) se g (x ) < 0, |f (x )| ≤ g (x ) non `e verificata; se g (x ) ≥ 0, |f (x )| ≤ g (x ) `e verificata se e solo se −g (x ) ≤ f (x ) ≤ g (x ); 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 −0.5 0 0.5 1 1.5

Figura : Grafico di f (x ) = sin (x ) − 0.5 (pois nero), g (x ) = x3_{− 2x + 0.75 (rosso), |f (x)| (verde), in [0, 1.6].}

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Esercizio

Determinare per quali x vale la disuguaglianza |6x2− 13x − 15| ≤ 3 − x. −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −10 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Figura : Grafico di f (x ) = |6x2_{− 13x − 15| (nero), g (x) = 3 − x (rosso).}

.

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Svolgimento.

Posto f (x ) := 6x2− 13x − 15, g (x) := 3 − x, per quanto visto se g (x ) < 0, allora |f (x )| ≤ g (x ) non `e verificata. Nel nostro caso g (x ) < 0 se e solo se 3 − x < 0, cio`e

x > 3.

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

se g (x ) ≥ 0, |f (x )| ≤ g (x ) `e verificata se e solo se −g (x) ≤ f (x) ≤ g (x)

.

Nel nostro caso g (x ) ≥ 0 se e solo se x ≤ 3 ed in tal caso la disuguaglianza `e verificata se e solo se

−(3 − x) = −g (x) ≤ f (x) = 6x2_{− 13x − 15 ≤ g (x) = 3 − x}

ossia



−(3 − x) ≤ 6x2_{− 13x − 15}

6x2− 13x − 15 ≤ 3 − x

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Visto che

−(3 − x) ≤ 6x2− 13x − 15⇔ 6x2− 14x − 12 ≥ 0 ⇔3x2− 7x − 6 ≥ 0 e

6x2− 13x − 15 ≤ 3 − x⇔ 6x2− 12x − 18 ≤ 0 ⇔x2− 2x − 3 ≤ 0.

basta sia verificato il sistema di disequazioni quadratiche 

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Osserviamo che per risolvere

3x2− 7x − 6 ≥ 0

basta calcolare gli zeri dell’equazione di secondo grado 3x2− 7x − 6 = 0

che sono x1 = −2/3 e x2 = 3, e osservare che la parabola

3x2− 7x − 6 assume valori non negativi per x ≤ −2/3 e x ≥ 3.

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Similmente, osserviamo che per risolvere x2− 2x − 3 ≤ 0

basta calcolare gli zeri dell’equazione di secondo grado x2− 2x − 3 = 0

che tramite la ben nota formula sono x1,2 = 1 ±

√

1 + 3 = 1 ± 2

cio`e x1 = −1, x2= 3 e osservare che esclusivamente tra x1 e x2 la

parabola x2− 2x − 3 assume valori negativi, per dedurre che x2− 2x − 3 ≤ 0 se e solo se −1 ≤ x ≤ 3.

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Raccogliendo i risultati, per x ≤ 3, la disuguaglianza |6x2_{− 13x − 15| ≤ 3 − x}

`e verificata per i valori di x per cui contemporaneamente −1 ≤ x ≤ 3

e

x ≤ −2/3 oppure x ≥ 3.

Visto che si supponeva x ≤ 3, e −2/3 = 0.6666 . . ., la disuguaglianza risulta verificata per

−1 ≤ x ≤ −2/3 oppurex = 3.

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Esempio (|f (x )| ≥ g (x ))

Se f , g sono due funzioni, studiamo quando |f (x )| ≥ g (x ): se g (x ) < 0, |f (x )| ≥ g (x ) `e sempre verificata;

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Esercizio

Determinare per quali x ∈ R si ha |x2− 3x + 1| ≥ 2x − 2.

Svolgimento.

Definiti f (x ) := x2− 3x + 1, g (x) := 2x − 2, si tratta di vedere quando |f (x )| ≥ g (x ).

Osserviamo che g (x ) < 0 se e solo se 2x − 2 < 0, cio`e x < 1. In questo caso la disugualianza `e sempre verificata.

Dal punto precedente se x ≥ 1 allora g (x ) ≥ 0 e l’asserto `e verificato qualora f (x ) ≤ −g (x ) oppure g (x ) ≤ f (x ) cio`e vale almeno una delle seguenti

x2− 3x + 1 ≤ −(2x − 2) cio`ex2− 5x + 3 ≥ 0,

x2− 3x + 1 ≥ 2x − 2 cio`e x2− x − 1 ≤ 0.

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

Con facili conti si vede che x2− 5x + 3 = 0 ha radici x1,2 = 5₂± √ 13 2 , cio`e x1 ≈ 0.6972 e x2 ≈ 4.3028. Di conseguenza x2_{− 5x + 3 ≥ 0 se e solo se x <} 5 2 − √ 13 2 oppure x > 5 2 + √ 13 2 .

Similmente si vede che x2− x − 1 ≤ 0 ha radici x_1,2∗ = 1₂ ±

√ 5 2 , cio`e x₁∗ ≈ 0.6180 e x₂∗≈ 1.6180. Di conseguenza x2_{− x − 1 ≤ 0 se} e solo se 1₂ − √ 5 2 ≤ x ≤ 1 2 + √ 5 2 .

Assemblando questi risultati, si vede facilmente che f (x ) ≤ −g (x ) oppure g (x ) ≤ f (x ) se e solo se x non appartiene a

(1₂+ √ 5 2 , 5 2 + √ 13

2 ). Ricordando che deve pure essere x ≥ 1,

concludiamo dicendo che l’asserto `e verificato nella regione

Valore assoluto (o modulo): alcuni esempi.

In conclusione:

se x < 1 l’asserto |x2− 3x + 1| ≥ 2x − 2 `e sempre verificato; se x ≥ 1, l’asserto |x2− 3x + 1| ≥ 2x − 2 `e verificato se e solo se x ∈ [1,1₂+ √ 5 2 ] ∪ [ 5 2+ √ 13 2 , +∞). −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 −10 −5 0 5 10 15 20

Figura : Grafico di |x2− 3x + 1| (in verde) e 2x − 2 (in rosso). Risolvere il problema |x2− 3x + 1| ≥ 2x − 2 `e equivalente a vedere quando il grafico della funzione in verde `e sopra quello della funzione in rosso.

Principio per induzione: esempi.

Il principio per induzione viene utilizzato quale tecnica per dimostrare asserti del tipo

∀n ∈ N, n ≥ n0 vale la propriet`a p(n).

Esempio

Per ogni n ∈ N, si dimostri che se n `e pari allora n2 `e pari. In questo casop(n)sta per se n `e pari allora n2 `e pari.

Esempio

Per ogni n ∈ N, si dimostri che 2n> n.

Principio per induzione.

Sia n0 ∈ N e supponiamo di dover dimostrare che p(n) `e verificata

per ogni n ≥ n0. Se si dimostra che 1 p(n) `e vera per n = n₀ (primo passo),

2 supponendo che p(n) allora p(n + 1) `e vera (passo induttivo),

allora p(n) `e vera per ogni n ≥ n0.

Principio per induzione: esempio risolto.

Teorema

Per ogni n ∈ N, si dimostri che

1 + 2 + . . . + n = n X k=1 k = n(n + 1) 2 Dimostrazione.

In questo caso p(n) sta per 1 + 2 + . . . + n =Pn

k=1k = n(n+1) 2 . n = 0: per definizioneP0 k=1k = 0 ed facilmente 0(0+1) 2 = 0,

Principio per induzione: esercizi.

supponiamo che sia per un certo n valga p(n)

1 + 2 + . . . + n = n X k=1 k = n(n + 1) 2

e dobbiamo dimostrare che vale pure p(n + 1) cio`e

1 + 2 + . . . + n + (n + 1) = n+1 X k=1 k = (n + 1)((n + 1) + 1) 2 = (n + 1)(n + 2) 2 . (4)

Principio per induzione: esercizi.

Esercizio

Per ogni n ∈ N si ha che n2+ n `e pari.

Esercizio

Per ogni n ∈ N, n ≥ 3 si ha che 2n + 1 < n2.

Principio per induzione: disuguaglianza di Bernoulli.

Teorema (Bernoulli)

Per ogni x > −1, x ∈ R, n ∈ N si ha (1 + x )n≥ 1 + xn.

Dimostrazione.

Nel nostro caso la proposizione p(M) consiste in

per ogni x > 1 si ha (1 + x )M ≥ 1 + xM.

Proviamo l’asserto per induzione, osservando che l’induzione `e in n (e non in x ).

Principio per induzione: disuguaglianza di Bernoulli.

supponiamo valga l’ipotesi induttiva p(n) (1 + x )n≥ 1 + xn e mostriamo che vale pure p(n + 1) cio`e

(1 + x )n+1≥ 1 + x(n + 1). In effetti, essendo 1 + x > 0, dall’ipotesi induttiva

(1 + x )n≥ (1 + xn) ⇔(1 + x )(1 + x )n≥ (1 + x)(1 + xn) e da x2n ≥ 0

(1 + x )n+1 = (1 + x )(1 + x )n≥ (1 + x)(1 + xn)

= 1 + xn + x + x2n ≥ 1 + xn + x = 1 + x (n + 1).

Sommatorie.

Per fare la somma di molti numeri, spesso si usa il simboloP. Cos`ı

n

X

i =n0

ai := an0+ an0+1+ an0+2+ . . . + an

In questo caso, i si dice indice di sommatoria. Se n < n0 si

suppone che la sommatoria sia nulla.

Progressione geometrica.

Definizione (Progressione geometrica) La sommatoria

n

X

k=0

qk= 1 + q + . . . + qn `e nota comeprogressione geometricadi ragione q. Esempio n X k=0 3k= 1 + 3 + 32+ . . . + 3n. Teorema

Per q 6= 1 (attenzione al denominatore a secondo membro!)

n X k=0 qk= 1 + q + . . . + qn=q n+1_{− 1} q − 1 , altrimenti n X k=0 1k= 1 + 1 + . . . + 1n= n + 1.

Sommatorie e coefficienti binomiali.

Per esempio, nel caso q = 3 si ha che da

Sommatorie e coefficienti binomiali.

Teorema Per q 6= 1 si ha che n X k=0 qk = 1 + q + . . . + qn= q n+1_{− 1} q − 1 = 1 − qn+1 1 − q Dimostrazione. Osserviamo che (1 − q)(1 + q + . . . + qn) = 1 + q + q2+ . . . + qn −q − q2− . . . − qn+1 = 1 − qn+1 (5) abbiamo (1 − q)(1 + q + . . . + qn) = 1 − qn+1 da cui l’asserto, osservando chePn

k=0qk = 1 + q + . . . + qn e

dividendo ambo i membri per 1 − q 6= 0.

Coefficienti binomiali e binomio di Newton.

L’intenzione `e quella di calcolare, fissati a, b, n, la quantit`a (a + b)n.

Esempi:

n = 0: (a + b)0= 1; n = 1: (a + b)1= a + b;

Fattoriale.

Definizione (Fattoriale)

Si definisce il fattoriale di n ∈ N, la quantit`a n! := 1 · 2 · . . . · n Esempio 0! = 0 (per definizione); 1! = 1; 2! = 1 · 2; 3! = 1 · 2 · 3 = 6; 8! = 1 · 2 · . . . · 8 = 40320; 10! = 1 · 2 · . . . · 10 = 3628800.

Fattoriale.

Teorema

Il fattoriale corrisponde al numero di permutazioni di n oggetti distinti.

Siano a, b, c e consideriamo le loro permutazioni:

1 (a, b, c); 2 (a, c, b); 3 (b, a, c); 4 (b, c, a); 5 (c, a, b); 6 (c, b, a).

Coefficienti binomiali.

Siano n, k ∈ N, con k ≤ n.

Si definisce coefficiente binomiale Cn,k di n e k, la quantit`a

Cn,k =  n k  = n! k!(n − k)! Alcuni esempi, ricordando che 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2:

C2,1=  2 1  = 2! 1!(2−1)! = 2! 1!1!= 2; C0,0=  0 0  = 0! 0!(0−0)! = 0! 0!0!= 1; Cn,0=  n 0  = n! 0!(n−0)! = n! 0!n! = 1; Cn,n=  n n  = n! n!(n−n)! = n! n!0! = 1; Cn,n−1=  n n  = n! (n−1)!(n−(n−1))! = n! (n−1)!1!= (n−1)!n (n−1)! = n.

Formula del binomio di Newton.

Teorema (Binomio di Newton)

Definito con Cn,k =  n k  = n! k!(n − k)! si ha per n ∈ N (a + b)n= (a + b) · . . . · (a + b) | {z } nvolte = n X k=0 Cn,kakbn−k

Per esempio, nel caso n = 2, essendo C2,0 = 1, C2,1= 2, C2,2 = 1,

Triangolo di Tartaglia.

I coefficienti Cn,k = _k!(n−k)!n! si calcolano col Triangolo di Tartaglia.

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

Il valore Cn,k `e il (k + 1)-simo elemento della (n + 1)-sima riga.

Cos`ı, dalla formula del binomio di Newton

(a + b)5 = a5+ 5a4b + 10a3b2+ 10a2b3+ 5ab4+ b5.

Potenze e radici n-sime.

Teorema

Siano y ∈ R, y ≥ 0, n ∈ N, n ≥ 1. Allora esiste un unico x ≥ 0, x ∈ R tale che xn= y

Usualmente tale x si denota con y1/n _oppure √n_{y e si chiama}

radice n-sima di y ;

Potenze e radici n-sime.

Esempio √ 4 = 2 Esempio Per ogni x ∈ R si ha √ x2 _{= |x |.}

in generale √n_{y = x `e definita solo se y ≥ 0;}

se n `e dispari e y < 0, √n_{y = −}√n_{−y . Esempio:}

−2 =√3

−8 = −_{p−(−8) = −}3 √3

8

Potenze a esponente razionale.

Definizione Supposto r =m_{n ∈ Q, y ∈ R, y > 0, si definisce} yr = ymn = (ym) 1 n Nota.

Alcune propriet`

a delle potenze.

Si supponga a, b ∈ R, a, b > 0, r , s ∈ Q ar +s = ar · as_; (ab)r = ar · br_; (a)r ·s = (ar)s; a−r = _a1r; ar > 0;        ar > 1 se a > 1, r > 0; ar > 1 se a < 1, r < 0; ar < 1 se a < 1, r > 0; ar < 1 se a > 1, r < 0; r < s ⇒  ar _{< a}s _{se a > 1;} ar > as se a < 1; 0 < a < b ⇒  ar < br se r > 0; ar > br se r < 0; ∀a 6= 1, ar _{= a}s _{⇒ r = s.}

Alcune propriet`

a delle potenze (facoltativa).

Nota.

Per ogni a > 1 r ∈ R, si supponga che sia (in decimali) r = p, α1. . . αn. . .

con p ∈ Z e αk ∈ {0, 1, . . . , 9} per ogni n ∈ N Si definisce

ar := asup {p,α1...αn,n∈N}.

Logaritmo.

Definizione (Logaritmo)

Sia a > 0, a 6= 1, y > 0. Esiste un solo x ∈ R tale che ax = y . Tale x si chiamalogaritmoin base a di y e si scrive x := log_ay Dalla definizione, se x = log_ay necessariamente

alogay _{= a}x _{= y .}

Logaritmo: propriet`

a.

Si supponga a, b, x , y ∈ R, a, b, x, y > 0, a 6= 1, b 6= 1 alogax _{= x ;}

log_axy = log_ax + log_ay ; log_ax1 = − log_ax ;

log_ax_y = log_ax − log_ay ;

log_axγ = γ log_ax per ogni γ ∈ R; log_ax = _log1 xa = − log1ax ; log_ax = logbx logba; x > y > 0 ⇒  log_ax > log_ay se a > 1; log_ax < log_ay se 0 < a < 1; log_a1 = 0; log_aa = 1; log_a 1_a = −1;

Per ogni γ ∈ R, γ 6= 1, si ha

1 ∀x 6= 0 : log_ax2_{= 2 log}

a|x|;

Logaritmo: propriet`

a.

Esempio

Mostrare che log_ax = _log1

xa = − log1ax . Dimostrazione. Se β = log_ax e γ = _log1 xa, dalla definizione aβ = x exγ= a implica che x = aβ = (xγ)β = xβγ

e quindi βγ = 1 da cui β = 1_γ. Essendo per definizione, β = log_ax ,

γ = _log1

xa

concludiamo che log_ax = _log1

xa.

Logaritmo: propriet`

a.

Similmente, dalle definizioni se τ = log1 ax allora ( 1 a) τ _{= x,} se φ = log_xa allora xφ= a, da cui, essendo x = 1 a τ = a−τ si ricava x = a−τ = (xφ)−τ = x−φτ

e quindi −φτ = 1 ovvero −τ =_φ1 per cui, dalle definizioni 1

log_xa = 1

Funzioni.

Definizione (Funzione)

Siano A, B insiemi. Lafunzionef `e una legge che ad ogni elemento di A associauno e uno solo elemento di B, e si scrive f : A → B.

Usualmente si dice f `e definita da A a B;

Se x ∈ A, con f (x ) si indica il valore di B associato a x mediante f .

A volte si scrive f : x → f (x ) ∈ B. La variabile x si chiama

variabile indipendente.

L’insieme A si chiama dominio di f , mentre l’insieme B si chiama codominio di f .

Funzioni: esempi.

Esempio

Sia X = {1, 2, 3} e Y = {a, b, c, d , e}. Sia f : X → Y la funzione per cui f (1) = a, f (2) = c, f (3) = d . Osserviamo che non tutti gli elementi del codominio sono funzione di qualche elemento del dominio.

Funzioni: esempi.

Esempio

Sia f : R → R, definita da f (x) = x4. In questo caso, il dominio `e R e il codominio R.

Esempio

Sia A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} e sia f : A → B definita da f (x ) = x + 1.

Esempio

Sia R+= {x ∈ R, x > 0}. Sia f : R+→ R definita da f (x ) = log₁₀(x ).

Funzioni: immagine.

Definizione (Immagine)

Sia f : A → B. Si diceimmaginedi A attraverso f , il sottinsieme di B definito da

f (A) = Im(f ) = {y ∈ B : ∃x ∈ A : y = f (x )}.

Esempio

Sia f : R → R, definita da f (x) = x4. In questo caso, il dominio `e R e il codominio R. L’immagine di f `e R+.

Esempio

Funzioni: immagine e grafico.

Esempio

Sia f : R2→ R, definita da f (x, y) = x + y. In questo caso, il dominio `e R2 <sub>e il codominio R. L’immagine di f `e R.</sub>

Esempio

Sia f : R → R2_{, definita da f (x ) = (x , 2 · x ). In questo caso, il}

dominio `e R e il codominio R2. L’immagine di f `e una retta di R2 (cio`e y = 2 · x ).

D’ora in poi, qualora non detto esplicitamente, sar`a f : A ⊆ R → R.

Definizione (Grafico)

Sia f : A ⊆ R → R. Si dicegrafico di f , il sottinsieme di R2 graf(f ) = {(x , y ) ∈ R2 : y = f (x ), x ∈ A}.

Funzioni: grafico.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Funzioni: grafico.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura : Un esempio che non `_{e grafico di funzione da [0, 1] ⊂ R in R. Ad} esempio in 0 assume due valori, −1 e +1

.

Funzioni: sul dominio.

Di seguito consideremo, a meno di specificazioni, f : D ⊆ R → R con D dominio naturale di f , ci`e tutti gli x per i quali ha senso scrivere f (x ).

Esempio

Sia f (x ) =√x . Allora D = {x ∈ R : x ≥ 0}.

Esempio

Funzioni: sul dominio.

Le funzioni si possono rappresentare con pi`u formule.

Esempio Sia f (x ) =  x se x > 0 −x se x ≤ 0 Che funzione nota `e f ?

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Figura : Grafico di f nell’intervallo −5 e +5.

Funzioni: sul dominio.

Le funzioni si possono rappresentare con pi`u formule.

Esempio Sia f (x ) =  1 se x ∈ Q 0 se x ∈ R\Q

Funzioni: successioni.

Definizione (Successione)

Si dicesuccessione ogni funzione f in cui il dominio `e N. In particolare ogni funzione f : N → R si chiamasuccessione reale.

Esempio

La funzione f : N → R definita da

f (n) := fn:=

n − 1 n + 1

`e una successione. In particolare f0 = −1, f1= 0, f2 = 1/3, etc. Si

verifica facilmente che fn< fn+1 essendo n−1_n+1 < _n+2n (risolvere una

disequazione di secondo grado!).

Funzioni: limitate superiormente.

Definizione (Funzione limitata superiormente)

Sia f : D ⊆ R → R. Tale funzione `elimitata superiormente se esiste M ∈ R tale che

f (x ) ≤ M, ∀x ∈ D. o equivalentemente

Definizione (Funzione limitata superiormente)

Sia f : D ⊆ R → R. Tale funzione `elimitata superiormente se l’insieme immagine Im(f ) di f `e limitato superiormente.

Esempio

Funzioni: limitate superiormente.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −100 −90 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0

Figura : Grafico di f (x ) = −x2nell’intervallo −10 e +10 .

Funzioni: limitate inferiormente.

Definizione (Funzione limitata inferiormente)

Sia f : D ⊆ R → R. Tale funzione `elimitata inferiormente se esiste m ∈ R tale che

f (x ) ≥ m, ∀x ∈ D. o equivalentemente

Definizione (Funzione limitata inferiormente)

Sia f : D ⊆ R → R. Tale funzione `elimitata inferiormente se l’insieme immagine Im(f ) di f `e limitato inferiormente.

Esempio

La funzione f (x ) = x2 ha il grafico che consiste in una parabola ed assume esclusivamente valori positivi. In questo caso si pu`o

Funzioni: limitate inferiormente.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Figura : Grafico di f (x ) = x2nell’intervallo −10 e +10 .

Funzioni: limitate.

Definizione (Funzione limitata)

Sia f : D ⊆ R → R. Tale funzione `elimitata se `e limitata superiormente e inferiormente, cio`e esistono m, M ∈ R tali che

m ≤ f (x ) ≤ M, ∀x ∈ D che `e equivalente a dire che esiste k ∈ R tale che

Funzioni: limitate, esempi.

Esempio

Sia f (x ) = x3, f : R → R. Si vede subito che Im(f ) = R e quindi la funzione non `e limitata n`e inferiormente, n`e superiormente.

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10 6

Figura : Grafico di f (x ) = x3 _{nell’intervallo −100 e +100. Attenzione}

che `e in scala 1 milione sull’asse y ! .

Funzioni: limitate, esempi.

Esempio

Sia f (x ) = _1+x1 2, f : R → R. Si vede subito che Im(f ) = (0, 1] e

quindi la funzione `e limitata (scegliere m = 0 e M = 1 nella definizione). −100 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figura : Grafico della funzione di Runge f (x ) = _1+x12 nell’intervallo −10

Funzioni: simmetriche.

Definizione (Funzione pari)

Sia f : D ⊆ R → R con D dominio simmetrico rispetto a 0. La funzione f si dicepari se

f (x ) = f (−x ) −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0 20 40 60 80 100 120

Figura : Grafico della funzione pari f (x ) = x4+x_1+x2+1002 in [−10, +10].

Funzioni: simmetriche.

Definizione (Funzione dispari)

Sia f : D ⊆ R → R con D dominio simmetrico rispetto a 0. La funzione f si dicedisparise

f (x ) = −f (−x ) −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

Funzioni: simmetriche, esempio.

Proposizione. (Rapporto di funzioni dispari con funzioni pari)

Sia f : D ⊆ R → R con D dominio simmetrico rispetto a 0. Se F (x) =f (x )g (x )

con f , g : D ⊆ R → R, f pari e g dispari (mai nulla!) allora F `e dispari. Dimostrazione.

Ricordando le definizioni, sappiamo che f (x ) = −f (−x ), ovvero f (−x ) = −f (x ), g (x ) = g (−x ), e di conseguenza F (−x ) = f (−x ) g (−x ) = −f (x) g (x ) = − f (x ) g (x )= −F (x ), cio`e F `e dispari in quanto F (x ) = −F (−x ).

Di conseguenza, la funzione f (x ) =3x5−1000x3

1000+10x4 `e un esempio di funzione dispari,

in quanto il numeratore `e una funzione dispari e il denominatore `e una funzione pari.

Funzioni: simmetriche, esempi.

Con dimostrazione simile alla precedente, di vede facilmente che

Proposizione. (Rapporto di funzioni pari con funzioni pari)

Sia f : D ⊆ R → R con D dominio simmetrico rispetto a 0. Se F (x ) =_{g (x )}f (x ) con f , g : D ⊆ R → R, f pari e g pari (mai nulla!) allora F `e pari.

Nota. (Facoltativo)

Sia f : D ⊆ R → R con D dominio simmetrico rispetto a 0. Se f : D ⊆ R → R, `e dispari allora f (0) = 0. Infatti, da

Funzioni: simmetriche, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) = x2 `e pari. Infatti

f (−x ) = (−x )2 = x2 = f (x ).

Esempio

La funzione f (x ) = x3 `e dispari. Infatti

f (−x ) = (−x )3 = −x3 = −f (x ). Esempio La funzione f (x ) = xn, n ∈ N `e  dispari se n `e dispari pari se n `e pari

Funzioni: simmetriche, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) = x − x3− x17 _{`e dispari.}

Esempio

La funzione f (x ) = x − x3+ 1 non `e n`e pari n`e dispari. Ad esempio f (2) = −5, f (−2) = 7 6= ±5 = ±f (2).

Nota.

Osserviamo che una funzione

pari ha un grafico simmetrico rispetto l’asse y ;

Funzioni: monotone.

Sia f : D ⊆ R → R.

Definizione (Monotona crescente)

La funzione f `e monotona crescentese

∀x1, x2 ∈ D, se x1 < x2 allora f (x1) ≤ f (x2).

Definizione (Monotona strettamente crescente)

La funzione f `e monotona strettamente crescente se ∀x₁, x2 ∈ D, se x1 < x2 allora f (x1) < f (x2).

Funzioni: monotone.

Definizione (Monotona decrescente)

La funzione f `e monotona decrescentese

∀x₁, x2 ∈ D, se x1 < x2 allora f (x1) ≥ f (x2).

Definizione (Monotona strettamente decrescente)

Funzioni: monotone, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) = x3, f : R → R, `e strettamente crescente.

Esempio

La funzione f (x ) = 1, f : R → R, `e crescente e decrescente.

Esempio

La funzione f (x ) = _1+x1 2, f : R → R, non `e n`e crescente n`e

decrescente. −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 106 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Figura : Grafico di f (x ) = x3, f (x ) = _1+x12.

Funzioni: monotone, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) = x2, f : R+→ R, `e strettamente crescente. La funzione f (x ) = x2, f : R−→ R, `e strettamente decrescente.

Funzioni: periodiche.

Definizione (Periodica)

La funzione f : D ⊆ R → R `eperiodicadi periodo T > 0 se T `e il pi`u piccolo numero reale tale

f (x + T ) = f (x ), ∀x ∈ D, x + T ∈ D.

Nota.

Usualmente D = R o pi`u raramente D = R\X con

X = {x : x = x0+ kT , k ∈ Z} per un certo x0∈ R dove la funzione f non `e

definita (si pensi alla tangente!). Esempio

La funzione f (x ) = sin (x ), f : R → R `e periodica con periodo 2π in quanto `e noto che

sin (x + 2π) = sin (x ), ∀x ∈ R.

Funzioni: monotone, esempi.

−15 −10 −5 0 5 10 15 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Funzioni: periodiche.

Esempio

La funzione f (x ) = cos (x ), f : R → R `e periodica con periodo 2π in quanto `e noto che

cos (x + 2π) = cos (x ), ∀x ∈ R.

Nota.

Se f `e periodica con periodo T , basta conoscere il grafico in un intervallo di ampiezza T per conoscere il grafico su tutto il dominio.

Funzioni: monotone, esempi.

−15 −10 −5 0 5 10 15 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Funzioni: elementari.

Definizione (Potenza)

La funzione f : D ⊆ R → R definita da f (x) = xα, α ∈ R `e nota come funzionepotenza.

Si riconosce subito che f (1) = 1;

Im(f ) = [0, +∞) se α ∈ N `e pari; Im(f ) = R se α ∈ N `e dispari;

se α ∈ N `e dispari allora f `e crescente;

se α = 1/n con n ∈ N, n ≥ 1 allora Im(f ) = [0, +∞) se n `e pari;

se α = 1/n con n ∈ N, n ≥ 1 allora Im(f ) = R se n `e dispari; se α ∈ R allora R+\{0} ⊆ Im(f );

se α ∈ R+ allora R+⊆ Im(f );

Funzioni: monotone, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) = x−1 = 1_x, f : R\{0} → R, `e una iperbole, `e dispari non `e monotona.

Esempio

La funzione f (x ) = x−2 = _x12, f : R\{0} → R, `e pari ma non `e

Funzioni: monotone, esempi.

−3 −2 −1 0 1 2 3 −150 −100 −50 0 50 100 150 −3 −2 −1 0 1 2 3 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Figura : Grafico di f (x ) = x−1 e f (x ) = x−2 in [−3, +3].

Funzioni: monotone, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) =√x = x1/2, f : R+→ R, `e monotona crescente. Esempio

La funzione f (x ) =√3x2_{= x}2/3

, f : → R, `e pari ma non `e monotona.

Funzioni: monotone, esempi.

Esempio

La funzione f (x ) =√x = x1/2, f : R+ → R, `e monotona crescente.

Esempio

La funzione f (x ) =√3x2 _{= x}2/3_{, f : → R, `e pari ma non `e}

monotona.

Funzioni: monotone, esempi.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Figura : Grafico di f (x ) = x2 _{in rosso, f (x ) = x in nero, f (x ) = x}1/2 _in

Funzioni: esponenziali.

Definizione (Esponenziale)

Sia α ∈ R+\{0}. La funzione f (x) = αx_{, f : R → R si chiama}

funzione esponenzialein base α. Si osservi che il dominio `e R; Im(f ) = (0, +∞); f (0) = 1 per ogni α −3 −2 −1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Figura : Grafico di f (x ) = 2x _{in rosso, f (x ) = 1}x _{in nero, f (x ) = 1/2}x

in verde in [−3, 3].

Funzioni: logaritmi.

Sia D := R+_{\{0} e a ∈ R}+_{\{0, 1}. Sia f (x) = log}

ax . Allora

Il dominio di f `e D = R+\0; Im(f ) = R;

f (1) = 0 per ogni scelta di a; Si ha che y = log_a(x ) ⇔ ay = x ;

Se a = 1 allora il logaritmo non `e definito.

Sia e := 2.718281828459046 . . . il numero di Nepero. Allora log_ex = ln(x ) = log(x )

`

e noto comelogaritmo naturale; a = eln (a);

Funzioni: logaritmi.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5

Figura : Grafico di f (x ) = log_e(x ) in (0, 10].

Funzioni trigonometriche.

Si supponga

Ω sia il disco di raggio 1 centrato nell’origine (disco unitario); siano A = (1, 0), B = (0, 1);

sia P un punto sulla circonferenza, e si supponga che l’angolo A ˆOP misuri x radianti (orientato antiorario!);

sia Q la proiezione di P sull’asse delle ascisse;

sia T il punto sulla retta r contenente O e P la cui proiezione sull’asse dell’ascisse sia A.

Allora

l’ascissa di Q si denota cos (x ) (cosenodi x); l’ordinata di P si denota sen(x) (seno di x); l’ordinata di T si denota tg(x) (tangente di x);

Funzioni trigonometriche.

Figura : Funzioni trigonometriche sul cerchio unitario.

Funzioni trigonometriche.

Poich`e i triangoli OPQ e OAT sono simili, sia ha che

tg (x ) = sen(x ) cos(x ),

Si definisce poicotangentela funzione ctg (x ) = cos(x )

sen(x ). Inoltre `e facile osservare che

cos (0) = 1, sin (0) = 0; cos (2π) = 1, sin (2π) = 0;

dal teorema di Pitagora, essendo il disco unitario,

Funzioni trigonometriche.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

Figura : La funzione sin (x ). La funzione sin (x )

`

e periodica con periodo 2π; `

e dispari:sin (−x ) = − sin (x )

ha dominio R ma immagine Im(sen(x))=[-1,1], (quindi | sin (x)| ≤ 1).

Funzioni trigonometriche.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

Figura : La funzione cos(x). La funzione cos(x)

`

e periodica con periodo 2π; `

e pari: cos (−x ) = cos (x );

ha dominio R ma immagine Im(cos (x)) = [−1, 1] (quindi | cos (x)| ≤ 1);

Funzioni trigonometriche.

Figura : La funzione tan(x). La funzione tan(x)

`

e periodica con periodo π; `

e dispari: tan(−x ) = − tan(x ) ;

non `e definita nei punti xk= kπ con k ∈ Z;

ha dominio R\{x : x =π

2 + kπ, k ∈ Z} e immagine Im(tan (x)) = R.

Funzioni trigonometriche: propriet`

a.

radianti 0 π₆ π₄ π₃ π₂ π 3π₂ 2π sin(x ) 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 0 −1 0 cos(x ) 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 −1 0 1 tan(x ) 0 √ 3 3 1 √ 3 − 0 − 0 ctg(x ) − √3 1 √ 3 3 0 − 0 −

Alcune propriet`a importanti: sin(−a) = sin(a); sin(π/2 − a) = cos(a);

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b); cos(−a) = cos(a);

cos(π/2 − a) = sin(a);

Funzioni trigonometriche: esercizio.

Esercizio

Qual’`e il periodo di f (x ) = sin (3x )?

Da f (x + T ) = f (x ) abbiamo per y = 3x

f (x + T ) = sin(3(x + T )) = sin(3x + 3T ) = sin(y + 3T ) (8) f (x ) = sin (3x ) = sin (y ). (9) Il pi`u piccolo ˆT per cui sin(y + ˆT ) = sin(y ) `e ˆT = 2π, per cui il pi`u piccolo T per cui

f (x + T ) = sin(y + 3T ) = sin (y ) = f (x ) `e 3T = ˆT = 2π da cui

T = 2π/3.

Con una dimostrazione simile si mostra che per ω > 0, f (x ) = sin (ωx ) `e periodica con periodo T = 2π/ω.

Funzioni iperboliche.

Definizione (Seno iperbolico)

Si definisceseno iperbolicola quantit`a

Sh(x ) = sinh (x ) := e

x_{− e}−x

2 .

Definizione (Coseno iperbolico)

Si definiscecoseno iperbolico la quantit`a

Ch(x ) = cosh (x ) := e

x_{+ e}−x

Funzioni iperboliche.

Definizione (Tangente iperbolica)

Si definiscetangente iperbolicala quantit`a

Th(x ) = tanh (x ) := sinh(x ) cosh(x ) =

ex − e−x ex _{+ e}−x.

Definizione (Tangente iperbolica)

Si definiscecotangente iperbolica la quantit`a

Cth(x ) = coth (x ) := cosh(x ) sinh(x ) =

ex+ e−x ex_{− e}−x.

A volte sinh (x ) si denota senh(x); A volte tanh (x ) si denota tgh(x);

Funzioni iperboliche: sinh.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −30 −20 −10 0 10 20 30

Figura : La funzione sinh(x ) in [−4, 4].

La funzione sinh(x ) `

e dispari: sinh(−x ) = − sinh(x ) (verificarlo) ; ha dominio R e immagine Im(sinh (x)) = R; `

Funzioni iperboliche: cosh.

−40 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 10 15 20 25 30

Figura : La funzione cosh(x ) in [−4, 4]. La funzione cosh(x )

`

e pari: cosh(−x ) = cosh(x ) (verificarlo) ;

ha dominio R e immagine Im(cosh (x)) = [1, +∞) (cio`e cosh(x) ≥ 1); `

e strettamente decrescente per x ≤ 0 e strettamente crescente per x ≥ 0; similmente alla (7) vale cosh2(x ) − sinh2(x ) = 1.

Funzioni iperboliche: tanh.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura : La funzione tanh(x ) in [−10, 10]. La funzione tanh(x )

`

e dispari: tanh(−x ) = − tanh(x ) (verificarlo) ;

ha dominio R e immagine Im(tanh (x)) = (−1, 1) (cio`e tanh(x) `e limitata);

`

Funzioni iperboliche: coth.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 −150 −100 −50 0 50 100 150

Figura : La funzione coth(x ) in [−10, 10]. La funzione coth(x )

`

e dispari: coth(−x ) = − coth(x ) (verificarlo) ;

ha dominio R\{0} e immagine Im(coth (x)) = R\{0} (cio`e coth(x) `e illimitata);

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual `e il grafico di y = f (x ) + a?

Risposta: Si trasla verticalmente di a il grafico di f (x ).

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual `e il grafico di y = f (x + a)?

Risposta: Si trasla orizzontalmente di −a il grafico di f (x ).

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Figura : Grafico di y = sin (x + 1) (rosso), y = sin (x ) (nero) e y = sin (x − 1) (verde).

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual `e il grafico di y = −f (x )? Risposta: Si simmetrizza il grafico di f (x ) rispetto l’asse x.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual `e il grafico di y = k · f (x )? Risposta: Si stira o si contrae di un fattore k il grafico di f (x ) (rispetto l’asse y). −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Figura : Grafico di y = sin (x ) (nero), y = 2 sin (x ) (rosso) e y = 0.5 · sin (x ) (verde).

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual `e il grafico di y = f (kx )? Risposta: Si stira o si contrae di un fattore 1/k il grafico di f (x ) (rispetto l’asse x). −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual `e il grafico di y = |f (x )|? Risposta: Se f (x ) ≥ 0 non si fa niente, altrimenti lo si riflette sull’asse x.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.5 0 0.5 1 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.5 0 0.5 1

Figura : Grafico di y = sin (x ) (nero), y = | sin (x )| (rosso).

Operazioni sui grafici.

Domanda: Si conosce il grafico di f (x ). Qual `e il grafico di y = f (|x |)? Risposta: Si riflette il grafico della parte in cui x ≥ 0 rispetto l’asse y.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.5 0 0.5 1 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.5 0 0.5 1

Operazioni sui grafici.

Nota. (Sugli zeri (facoltativa))

Si supponga di conoscere che f (x∗) = 0. Allora

posto g (x ) := f (x + a), y∗= x∗− a, si ha facilmente che g (y∗

) = 0 e viceversa se g (y ) = 0 si ha che f (y − a) = 0;

posto g (x ) := −f (x ), si ha che g (x∗) = 0 e viceversa se g (y ) = 0 si ha che f (y ) = 0;

posto g (x ) := k · f (x ) (con k ∈ R), si ha che g (x∗) = 0 e viceversa se g (y ) = 0 si ha che f (y ) = 0;

posto g (x ) := f (k · x ) (con k ∈ R\{0}), si ha che g (x∗/k) = 0 e viceversa se g (y ) = 0 si ha che f (yk) = 0 con yk= k · y ;

posto g (x ) := |f (x )| si ha che g (x∗) = 0 e viceversa se g (y ) = 0 si ha che f (y ) = 0;

posto g (x ) := f (|x |), se x∗≥ 0 e y∗

= x∗si ha che g (y∗) = 0 e viceversa se g (y ) = 0 con y > 0 si ha che f (y ) = 0.

Funzioni composte.

Definizione (Funzione composta)

Sia f : E → R, g : F → R tale che Im(f ) ⊆ F . La funzione h = g ◦ f tale che h(x ) = (g ◦ f )(x ) = g (f (x ))

si chiamafunzione composta.

Funzioni composte.

Nota.

Si noti che:

E’ fondamentale che Im(f ) ⊆ F ; In generale f ◦ g 6= g ◦ f ;

Si possono comporre pi`u funzioni

((f ◦ g ) ◦ τ ) (x ) = f (g (τ (x ))) = f ◦ (g ◦ τ ) (verificarlo!).

Funzioni composte: generalizzazione.

La definizione, pi`u generale consiste in

Definizione (Funzione composta (def. generale))

Siano X , Y , V , W insiemi. Siano f : X → Y , g : V → W tali che Im(f ) := f (X ) ⊆ V . Allora si pu`o definire la funzione h = g ◦ f tale che