Successioni e limiti di successioni

Successioni e limiti di successioni

Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

visualizzata come

a0, a1, a2, . . . , an, . . .

e denotata come {an}n∈N.

Esempio

an= n2, per ogni n ∈ N, `e visualizzata come 0, 1, 4, 9, . . .;

an= 1/n, per ogni n ∈ N\{0}, `e visualizzata come

1, 1/2, 1/3, . . .;

an= 17 (costante), per ogni n ∈ N\{0}, `e visualizzata come

17, 17, 17, . . .;

Successioni.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Figura : Grafico della successione an= n2, ristretto ai valori 0, 1, . . . , 10.

Definizione (Limitata inferiormente)

La successione {an} `elimitata inferiormentese esiste m ∈ R tale che

an≥ m, per ogni n ∈ N.

Definizione (Limitata superiormente)

La successione {an} `elimitata superiormentese esiste M ∈ R tale che

an≤ M, per ogni n ∈ N.

Definizione (Limitata)

La successione {an} `elimitatase esistono m, M ∈ R tali che

Successioni: limitatezza (esempi)

Esempio

La successione an= n2 `e limitata inferiormente ma non

superiormente.

Esempio

La successione an= (−1)n`e limitata.

Esempio

La successione an= (−2)n non `e limitata (ne’ superiormente, ne’

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000 1200

Successioni

Definizione

Diremo che {an} possiede una certa propriet`adefinitivamentese esiste N ∈ N

tale che {an} ha quella propriet`a per ogni n ≥ N.

Esempio

La successione an= n2− 6n `e definitivamente positiva. Infatti abbiamo

n2− 6n = n(n − 6) per n > 6 e quindi l’asserto `e verificato.

Esempio

La successione an= 1/n `e definitivamente minore di 1/100. Infatti abbiamo

Definizione

Scriveremo che

lim

n→+∞an= L, L ∈ R

se per ogni  > 0 si ha che |an− L| ≤  definitivamente, cio`e esiste

N() ∈ N tale che per n ≥ N() si ha che L −  < an< L + .

Definizione (Convergenza)

Scriveremo che una successione {an} convergea L se

Successioni e limiti: note

Nota.

Si noti che la quantit`a N() dipende da ;

A volte scriveremo limnan= L al posto di limn→+∞an= L;

Esempio

Mostriamo che se an= 1/n allora

lim

n→+∞an= 0.

Dimostrazione.

A tal proposito, dalla definizione, basta mostrare che per ogni  > 0 esiste N() tale che se n ≥ N() allora

    1 n− 0     < . Osservato che essendo n ∈ N, |1n− 0| =

1

n basta mostrare che per n

Successioni e limiti: esempio 1

Se bmc `e la parte intera di un numero, postoN() = b1

c + 1

1

 < N() ⇒

1

N() <  (1)

si ha che per n ≥ N() necessariamente 1_n≤ 1

N() e quindi 1 n ≤ 1 N() < . Nota.

Dato un numero a = p, q1q2. . . poniamo con bac = p. Cos`ı,

Successioni e limiti: esempio 2

Esempio

Mostriamo che se an= 31/n allora

lim

n→+∞an= 1.

Dimostrazione.

A tal proposito, dalla definizione, basta mostrare che per ogni  > 0 esiste N() tale che se n ≥ N() allora

|31n − 1| < . Osservato che essendo n ∈ N, |31n − 1| = 3

1

Questo `e equivalente a mostrare che definitivamente si ha 3n1 < 1 +  ed essendo il log

3(x ) una funzione strettamente

crescente, ci`o `e vero se e solo se log₃(31n) < log

3(1 + )

ovvero, dalle propriet`a dei logaritmi (log₃3m= m per ogni m > 0) 1

Successioni e limiti: univocit`

a del limite

Teorema

Se {an} `e convergente, allora il limite `e unico.

Dimostrazione.

Supponiamo per assurdo che esistano due limiti distinti, L1, L2.

Allora

lim

n→∞an= L1, n→∞lim an= L2

e quindi per ogni  > 0 esistono

N1() tale che |an− L1| < , per ogni n ≥ N1();

Sia N = max{N1(()), N2(())}. Allora per ogni n > N

necessariamente |an− L1| <  e |an− L2| <  e quindi, per la

disuguaglianza triangolare |a + b| ≤ |a| + |b|, |L₁− L₂| = |L₁− a_n+ an− L2|

≤ |L1− an| + |an− L2| < 2

In definitiva |L1− L2| < 2 per ogni  > 0, il che implica che sono

Successioni e limiti: divergenti

Definizione (+∞)

Si dice che una successioneha limite +∞e si scrive lim

n→+∞an= +∞

se per ogni M > 0, esiste N(M) tale che se n > N(M) allora an> M (cio`e

an> M definitivamente).

Definizione (−∞)

Si dice che una successione ha limiteha limite −∞e si scrive lim

n→+∞an= −∞

se per ogni M > 0, esiste N(M) tale che se n > N(M) allora an< −M (cio`e

Definizione (Divergente)

Si dice che una successione `e divergente, se lim

n→+∞an= +∞

oppure

lim

Esempio Si dimostri che lim n→+∞n 2_{= +∞.} Dimostrazione.

Bisogna mostrare che per ogni M > 0, esiste N(M) tale che se n > N(M) allora n2 > M. Basta scegliere N(M) >√M affinch`e se n > N(M)

n2 > (N(M))2 > ( √

Successioni e limiti: esempio 2

Esempio Si dimostri che lim n→+∞log 1 n = −∞. Dimostrazione.

Bisogna mostrare che per ogni M > 0, esiste N(M) tale che se n > N(M) alloralog1_n < −M o equivalentemente, visto che elog (x )= x ed ex `e una funzione crescente, 1<sub>n</sub> < e−M, cio`e eM < n. Basta scegliere N(M) > eM affinch`e se n > N(M)

Definizione (Indeterminata)

Una successione {an} che non `e ne’ convergente, ne’ divergente, si

diceindeterminata(o irregolare). In tal caso si dice che il limite della successione non esiste.

Esempio

La successione an= (−1)n`e indeterminatain quanto assume

alternativamente valori −1 e 1.

Esempio

La successione an= (−2)n`e indeterminatain quanto assume

Successioni e limiti: esercizi da provare

Usando la definizione di limite verificare che

1 limn→∞n+1_n = 1; 2 limn→∞₃1n = 0;

Definizione (Limitata)

Una successione {an} `elimitata se e solo se esistono m, M ∈ R tali

che m ≤ an≤ M per ogni n ∈ N.

Teorema

Sia {an} una successione convergente. Allora {an} `e limitata.

Dimostrazione facoltativa.

Da {an} convergente, esiste L tale che limn→+∞an= L. Allora per

ogni  > 0 esiste N() ∈ N tale che se n ≥ N() allora L −  < an< L + . Siano m = min{a0, . . . , aN(), L − },

Successioni e limiti: limitatezza

Nota.

Una successione {an} limitata non `e necessariamente convergente.

Ad esempio an= (−1)n`e limitata in quanto

−1 ≤ a_{n ≤ 1, ∀n ∈ N}

ma come detto in precedenza non `e convergente (in quanto indeterminata). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Figura : Successione an= (−1)nper n = 0, 1, . . . , 10.

Teorema Supponiamo lim n→+∞an= a, n→+∞lim bn= b. Allora: limn→+∞(an+ bn) = a + b; limn→+∞(an− bn) = a − b; limn→+∞(an· bn) = a · b; se an

bn `e ben definita e b 6= 0 allora limn→+∞

an

bn =

a b;

Successioni e limiti: calcolo

Dimostrazione facoltativa.

Mostriamo che se limn→+∞an= a e limn→+∞bn= b allora

limn→+∞(an+ bn) = a + b.

Siccome an→ a allora per ogni ₂> 0 esiste N1(₂) tale che se n > N1(₂)

allora |an− a| ≤ ₂;

Siccome bn→ b allora per ogni ₂ > 0 esiste N2(₂) tale che se n > N2(₂)

allora |bn− b| ≤₂;

Sia N() = max{N1(₂), N2(₂)}. Allora per ogni n > N() abbiamo

|an− a| ≤ ₂ e |bn− b| ≤ ₂ da cui, per la disuguaglianza triangolare

|x + y | ≤ |x| + |y | per ogni x, y ∈ R ricaviamo

Dimostrazione facoltativa.

Mostriamo che se limn→+∞an= a e limn→+∞bn= b allora

limn→·∞(an· bn) = a · b. Siccome an `e convergente, `e pure limitata

e quindi esiste L tale che |an| ≤ L per ogni n ∈ N.

Siccome an→ a allora per ogni  > 0 esiste N1() tale che se

n > N1() allora |an− a| ≤ ;

Siccome bn→ b allora per ogni  > 0 esiste N2() tale che se

Successioni e limiti: calcolo

Sia N() = max{N1(), N2()}. Allora per ogni n > N() abbiamo |an− a| ≤ 

e |bn− b| ≤  da cui, siccome vale la disuguaglianza triangolare

|x + y | ≤ |x| + |y | per ogni x, y ∈ R ricaviamo

|an· bn− a · b| = |an· bn− an· b + an· b − a · b|

= |an(bn− b) + b · (an− a)|

≤ |an(bn− b)| + |b · (an− a)|

= |an||bn− b| + |b||an− a|

≤ |an| + |b| ≤ (L + |b|)

e quindi essendo {an} convergente `e limitata da un certo L e cos`ı

A questo punto fissato arbitrariamente ∗, si consideri  = _(L+|b|)∗ , e si ponga N∗(∗) = N(). Allora per ogni n > N∗(∗) si ha da (2) che

|a_n· b_n− a · b| ≤ (L + |b|) = (L + |b|) 

∗

(L + |b|) = 

∗

cio`e per definizione

lim

n→·∞(an· bn) = a · b.

Successioni e limiti

Teorema

Se limn→+∞an= a eC `e una costantealloralimn→+∞C · an= C · a.

Dimostrazione.

Basta scegliere bn= C per ogni n ∈ N e osservare che bn→ C . Per il teorema

precedente lim

n→+∞C · an=n→+∞lim bn· an=n→+∞lim bn· limn→+∞an= C · a.

Teorema

Se limn→+∞an= a eC `e una costantealloralimn→+∞an+ C = a + C.

Dimostrazione.

Basta scegliere bn= C per ogni n ∈ N e osservare che bn→ C . Per il teorema

precedente lim

Esercizio

Calcolare limn→+∞_n12.

Essendo limn→+∞ 1_n = 0, e se limn→+∞an= a, limn→+∞bn= b

Successioni e limiti: esempio 2

Esercizio Calcolare limn→+∞3 1 n − 1 n2 −87_n. Osserviamo che

da limn→+∞_n1= 0, e che se anbn `e ben definita e a > 0 allora

limn→+∞anbn= ab, ricaviamo che

Successioni e limiti: teorema di permanenza del segno

Teorema (Permanenza del segno)

Si supponga limn→+∞an= a.

Se a > 0 allora an> 0 definitivamente, cio`e esiste N tale che

se n > N allora an> 0;

Se a < 0 allora an< 0 definitivamente.

Dimostrazione facoltativa.

Per definizione, per ogni  > 0 esiste N() tale che se n > N() allora |an− a| ≤ . Se scelgo  tale che a −  > 0, ad esempio  = a/2 abbiamo che

esiste N() tale che se n > N() si ha |an− a| ≤  cio`e

− ≤ an− a ≤  ⇔ 0 < a −  ≤ an≤ a + ,

e quindi an> 0.

Nota.

Il teorema dice che se

an→ a, a>0

allora

an>0

definitivamente. Non `e vero che se

Successioni e limiti: teorema di permanenza del segno

Il teorema di permanenza del segno stabilisce che

Teorema

Si supponga limn→+∞an= a e a > 0 allora an> 0

definitivamente. Se invece a < 0 allora an< 0 definitivamente.

Un teorema complementare `e

Corollario

Si supponga limn→+∞an= a e an≥ 0 allora a ≥ 0.

Dimostrazione.

Per assurdo supponiamo a < 0. Allora an< 0 definitivamente, il

che `e assurdo.

Teorema Si supponga limn→+∞an= a, limn→+∞bn= b, an≥ bn definitivamente, allora a ≥ b. Dimostrazione facoltativa.

Da an≥ bn definitivamente, abbiamo che an− bn≥ 0. Inoltre

an− bn→ a − b. Allora per il Teorema 0.1 abbiamo che a − b ≥ 0

Successioni e limiti: teorema dei due carabinieri

Teorema (Dei due carabinieri o del confronto)

Supponiamo che sia an≤ bn≤ cn definitivamente e che an→ L,

cn→ L. Allora bn→ L.

Nota.

Si osservi che il teorema stabilisce che pure la successione bnrisulta

convergente (cosa a priori non ipotizzata). Dimostrazione facoltativa.

Per definizione

∀ > 0, ∃N1() tale che n ≥ N1() ⇒ |an− L| ≤  (3)

∀ > 0, ∃N2() tale che n ≥ N2() ⇒ |cn− L| ≤  (4)

Allora per n ≥ N() abbiamo che |an− L| ≤ , |cn− L| ≤  e quindi

L −  ≤ an≤ bn≤ cn≤ L + .

Cos`ı ,

L −  ≤ an≤ bn≤ cn ≤ L + 

e quindi per ogni  > 0 esiste N() tale che se n ≥ N() allora L −  ≤ bn≤ L + 

Successioni e limiti: teorema dei due carabinieri, corollario

Corollario

Supponiamo che γn→ 0, e |βn| ≤ γn. Allora βn→ 0.

Dimostrazione.

Basta ricordare che da |βn| ≤ γn abbiamo −γn≤ βn≤ γn.

L’asserto segue dal fatto che −γn→ 0, γn→ 0.

Esercizio

Mostrare che sin2_n(n) → 0.

Sia an→ 0. Allora la successione {an} si dice infinitesima.

Il prodotto di una successione infinitesima per una successione limitata, `e una successione infinitesima.

Corollario (Infinitesima per limitata fa infinitesima)

Supponiamo che bn→ 0, e |cn| ≤ K (cio`e che la successione cn sia

limitata). Allora cn· bn→ 0.

Dimostrazione facoltativa.

Osserviamo che se bn→ 0, pure Kbn→ 0. Ma abbiamo

Successioni e limiti: successioni infinitesime

Esempio

La successione sin n_n `e infinitesima.

Dimostrazione facoltativa.

La successione an= sin (n) `e limitata. La successione bn= <sub>n</sub>1 `e

infinitesima. Allora per il precedente corollario al teorema dei Due Carabinieri, la successione sin n_n `e infinitesima.

Nota.

Una facoltativa simile si ottiene applicando il teorema dei due carabinieri, dopo aver osservato che

Per quanto riguarda le successioni divergenti, valgono i seguenti teoremi del confronto.

Teorema

Si supponga che αn≥ βn, e βn→ +∞. Allora αn→ +∞.

Teorema

Successioni e limiti: sulle successioni divergenti

Esempio

Mostrare che la successione an= n2(1 + sin2(n)) diverge.

n an bn 100 10000 12564.06162496497 200 40000 70505.92677285073 300 90000 179956.0565474808 400 160000 275850.2010573994 500 250000 304702.6154636621 600 360000 360702.7519466155 700 490000 634992.9258412301 800 640000 1151476.308414404 900 810000 1616445.213302237 1000 1000000 1683729.774550416 10000 100000000 109340015.4695540 20000 400000000 535482505.2774224 30000 900000000 1479844630.411332 40000 1600000000 3033499714.988887 50000 2500000000 4999201009.297766

Successioni e limiti: algebra dei limiti con successioni

divergenti

Teorema Se an→ a ∈ (−∞, +∞) e bn→+∞ allora an+ bn→ +∞; an− bn→ −∞. Teorema Se an→ a ∈ (−∞, +∞) e bn→−∞ allora an+ bn→ −∞; an− bn→ +∞. Nota.

Successioni e limiti: algebra dei limiti con successioni

divergenti

Definizione (Funzione segno)

La funzionesegno(a)vale 1 se a > 0, 0 se a = 0, −1 se a < 0.

Teorema

Se an→ +∞ o an→ −∞, allora _a1_n → 0.

Esempio

Mostrare che la successione bn= _n2_(1+sin1 2_(n)) `e infinitesima.

Dimostrazione.

Abbiamo mostrato prima che

an= n2(1 + sin2(n)) → +∞.

Successioni e limiti: algebra dei limiti con successioni div.

n an bn 500 0.000003281888468 3.3e − 06 1000 0.000000593919532 5.9e − 07 1500 0.000000223581475 2.2e − 07 2000 0.000000134050164 1.3e − 07 2500 0.000000112464923 1.1e − 07 3000 0.000000106017577 1.1e − 07 3500 0.000000076364047 7.6e − 08 4000 0.000000042598801 4.3e − 08 4500 0.000000026072011 2.6e − 08 5000 0.000000020242119 2.0e − 08 5500 0.000000020140242 2.0e − 08 6000 0.000000023481905 2.3e − 08 6500 0.000000023621263 2.4e − 08 7000 0.000000016236479 1.6e − 08 7500 0.000000010308333 1.0e − 08 8000 0.000000007829369 7.8e − 09 8500 0.000000007551207 7.6e − 09 9000 0.000000008954095 9.0e − 09 9500 0.000000010750078 1.1e − 08 10000 0.000000009145782 9.1e − 09 50000 0.000000000200032 2.0e − 10 100000 0.000000000099872 1.0e − 10 250000 0.000000000008032 8.0e − 12 500000 0.000000000003877 3.9e − 12

Teorema Sia α ∈ R. Allora lim n n α ₌    +∞, α > 0 1 α = 0 0, α < 0 Dimostrazione facoltativa.

Successioni e limiti: algebra dei limiti, esercizi

Esercizio Si calcoli lim n n1/2+ n2+ 8 n3/2_{+ n}5 Svolgimento.

Successioni e limiti: algebra dei limiti, esercizi

Esercizio Si dimostri che  3 −1 n  n3 → +∞. Esercizio

Ricordando che −_n1 ≤ sin (n)_n ≤ 1_n, si dimostri che sin (n)

Esercizio

E’ vero che

Successioni e limiti: algebra dei limiti, nota

Nota.

Non sono determinabili i limiti nei seguenti casi an→ +∞, bn→ +∞, allora an− bn=?;

an→ 0, bn→ ±∞, allora an· bn=?;

an→ 0, bn→ 0, allora a_bn_n =?;

an→ ±∞, bn→ ±∞, allora a_bn_n =?.

Esercizio

Calcolare limn(n3− n2+ 5 − n). Suggerimento: raccogliere n3.

Svolgimento.

A priori non possiamo dedurre il risultato perch`e in parte

sottrazione di infiniti di segno opposto. Tuttavia, raccogliendo n3 abbiamo n3− n2_{+ 5 − n = n}3  1 −1 n + 5 n3 − 1 n2 

Successioni e limiti: esercizi

n an an 500 124749505.00 1.2e + 08 1000 998999005.00 1.0e + 09 1500 3372748505.00 3.4e + 09 2000 7995998005.00 8.0e + 09 2500 15618747505.00 1.6e + 10 3000 26990997005.00 2.7e + 10 3500 42862746505.00 4.3e + 10 4000 63983996005.00 6.4e + 10 4500 91104745505.00 9.1e + 10 5000 124974995005.00 1.2e + 11 5500 166344744505.00 1.7e + 11 6000 215963994005.00 2.2e + 11 6500 274582743505.00 2.7e + 11 7000 342950993005.00 3.4e + 11 7500 421818742505.00 4.2e + 11 8000 511935992005.00 5.1e + 11 8500 614052741505.00 6.1e + 11 9000 728918991005.00 7.3e + 11 9500 857284740505.00 8.6e + 11 10000 999899990005.00 1.0e + 12 50000 124997499950005.00 1.2e + 14 100000 999989999900005.00 1.0e + 15 250000 15624937499750004.00 1.6e + 16 500000 124999749999500000.00 1.2e + 17

Tabella : Divergenza della successione an= n3− n2+ 5 − n. La terza

Esercizio Calcolare limn( √ n −√n + 1). Suggerimento: razionalizzare la frazione. Svolgimento.

A priori non possiamo dedurre il risultato perch`e in parte sottrazione di infiniti di segno opposto, in quanto

Successioni e limiti: esercizi

n an |0 − an| 500 −0.022349510601494 2.2e − 02 1000 −0.015807437428958 1.6e − 02 1500 −0.012907793546866 1.3e − 02 2000 −0.011178942694286 1.1e − 02 2500 −0.009999000199947 1.0e − 02 3000 −0.009127948692736 9.1e − 03 3500 −0.008450938951903 8.5e − 03 4000 −0.007905200106293 7.9e − 03 4500 −0.007453145884341 7.5e − 03 5000 −0.007070714293818 7.1e − 03 5500 −0.006741692198005 6.7e − 03 6000 −0.006454703308918 6.5e − 03 6500 −0.006201498219482 6.2e − 03 7000 −0.005975929628235 6.0e − 03 7500 −0.005773310254639 5.8e − 03 8000 −0.005589995261857 5.6e − 03 8500 −0.005423101947159 5.4e − 03 9000 −0.005270316373341 5.3e − 03 9500 −0.005129756770373 5.1e − 03 10000 −0.004999875006249 5.0e − 03 50000 −0.002236056797273 2.2e − 03 100000 −0.001581134877256 1.6e − 03 250000 −0.000999998999987 1.0e − 03 500000 −0.000707106427626 7.1e − 04

Tabella : Convergenza a L = 0 della successione an=

√

Calcolare limnn

5_{+sin (n)}

2n5₊1 n

. Suggerimento: raccogliere n5 tanto a numeratore, quanto a denominatore.

Svolgimento. Osserviamo che n5_{+ sin (n) = n}5_{1 +}sin (n) n5  ; 2n5+1_n = n5 2 +_n16
.

Tanto il numeratore quanto il denominatore divergono e quindi nulla si pu`o dire a priori. Tuttavia per quanto visto

Successioni e limiti: esercizi

n an |0.5 − an| 20 0.500000138741444 1.4e − 07 40 0.500000003577213 3.6e − 09 60 0.499999999798647 2.0e − 10 80 0.499999999847391 1.5e − 10 100 0.499999999974432 2.6e − 11 200 0.499999999998632 1.4e − 12 300 0.499999999999794 2.1e − 13 400 0.499999999999958 4.2e − 14 500 0.499999999999993 7.5e − 15

Tabella : Convergenza a L = 0.5 della successione an=

n5_{+sin (n)}

2n5₊1 n

Successioni e limiti: monotonia crescente

Definizione (Monotona crescente)

Una successione {an} `e monotona crescente se an≤ an+1 per ogni

n ∈ N.

Definizione (Monotona strettamente crescente)

Una successione {an} `e monotona strettamente crescente se

Definizione (Monotona decrescente)

Una successione {an} `e monotona decrescentese an≥ an+1 per

ogni n ∈ N.

Definizione (Monotona strettamente decrescente)

Una successione {an} `e monotona strettamente decrescentese

Successioni e limiti: esempi monotonia

Esempio La successione

an= n2

`e strettamente crescente. Si vuole mostrare che an< an+1 per ogni n ∈ N, ed `e

banalmente vero perch`e n2< (n + 1)2. Esempio

La successione

an=

1 n

`e strettamente decrescente. Si vuole mostrare che an> an+1 per ogni n ∈ N, ed

`e banalmente vero perch`e 1_n >_n+11 . Esempio

La successione costante an= 17 `e crescente e decrescente.

Esempio

La successione an= (−1)n non `e monotona crescente o decrescente, in quanto

La successione an= sin (n) non `e decrescente o crescente. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Dimostrazione facoltativa.

Mostriamo che la successione `e monotona strettamente

Successioni e limiti: monotonia e convergenza

Teorema

Sia {an} una successione

monotona crescente, limitata superiormente.

Allora {an} `e convergente e limnan= sup {an: n ∈ N}.

Teorema

Sia {an} una successione

monotona decrescente, limitata inferiormente.

Dimostrazione facoltativa.

Mostriamo il primo asserto. Il secondo si dimostra similmente (per casa). Se la successione `e limitata superiormente, allora esiste

Λ = sup {an: n ∈ N}.

Devo mostrare che limnan = Λ, cio`e che per ogni  > 0 esiste N()

tale che se n > N() allora |an− Λ| ≤ .

Per definizione di estremo superiore, essendo il minore dei maggioranti, per ogni  > 0, si ha che

Successioni e limiti: monotonia e convergenza

Essendo Λ il minimo maggiorante, necessariamente per ogni  > 0, esiste N() ∈ N tale che aN()> Λ − .

Ma essendo la successione monotona crescente

aN() ≤ aN()+1≤ . . . ci`o implica che per ogni n > N(), in virt`u

anche di (5),

Λ −  < an≤ Λ ≤ Λ + , n ∈ N

cio`e per ogni  > 0 esiste N() t.c. se n > N() allora |an− Λ| ≤ ,

Successioni e limiti: monotonia e convergenza, esempi

Esempio

La successione an= n2 `e strettamente crescente e illimitata

superiormente. Quindi an→ +∞.

Esempio

La successione an= 1_n `e strettamente decrescente e

inf {an: n 6= 0} = 0. Quindi an→ 0.

Esempio

La successione geometrica an= qn per q ∈ (1, +∞) `e strettamente

Esempio

La successione geometrica an= qn per q ∈ (0, 1) `e strettamente

decrescente e limitata inferiormente, essendo inf {an: n ∈ N} = 0.

Quindi an→ 0.

Esempio

La successione geometrica an= qn per q = 1 `e ovviamente tale

che an→ 1.

Esempio

La successione geometrica an= qn per q ∈ (−1, 0) ha segno

Successioni e limiti: monotonia e convergenza, esempi

Esempio

La successione geometrica an= qnper q ∈ (−∞, −1] assume valori di segno

alterno sempre pi`u grandi in modulo e quindi `e indeterminata.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 x 105

Figura : La successione an= (−2)n, per n = 0, 1, . . . , 20. Si osservi il

n

convergente. Per definizione, si pone limn 1 +1_n

n = e

con e = 2.718281828459046 noto comenumero di Nepero o

numero di Eulero.

La non semplice dimostrazione sulla convergenza di an si basa sul

provare che an`e monotona crescente e 2 ≤ an< 4.

Esercizio Mostrare che lim n  1 + 1 −n −n = e. Dimostrazione facoltativa.

Successioni e limiti: alcuni limiti

Ma dall’algebra dei limiti,

Successioni e limiti: alcuni limiti

Pi`u in generale si mostra il seguente teorema

Teorema Se an→ +∞, allora limn  1 +_a1 n an = e. Cos`ı Esempio

Si mostra che limn 1 +_n12
n2

Successioni e limiti: alcuni limiti

Esercizio Calcolare lim n  1 − 3 n2_{+ 5} −n2+5 3 . Svolgimento.

Osserviamo che per an = −n

2₊₅ 3 ,  1 − 3 n2_{+ 5} −n2+5₃ =  1 + 1 an an

e quindi da an→ −∞ abbiamo che limn



1 −_n23₊₅ −n2+5₃

Successioni e limiti: alcuni esercizi

Esercizio

Mostrare che se α 6= 0 allora lim n  1 +α n _αn = e. Mostrare che se α 6= 0 allora

lim n  1 +α n n = eα.

Mostrare che limn 1 −1_n

Esercizio Calcolare lim n  n + 1 n 3n .

Ricordiamo che se limnan= γ, con γ ∈ R, allora limnaαn = γα e

Successioni e limiti: alcuni esercizi

Esercizio Calcolare lim n  1 +1 n n2 +7_2n+1 . Osserviamo che  1 +1 n n2 +7_2n+1 =  1 +1 n n1_nn2 +7_2n+1 =  1 +1 n nn2 +7 2n2 +n .

Ricordiamo che se an→ α, bn→ β, con α, β ∈ R allora anbn → αβ. Quindi da n2₊₇

2n2_+n → 1

2 ricaviamo che la successione tende a e

Confronti e stime asintotiche

Ricordiamo che

Definizione (Infinitesima)

Se an→ 0 la successione si diceinfinitesima.

Definizione (Infinita)

Supponiamo an→ ±∞, bn→ ±∞. Consideriamo lim n an bn . Se

vale 0 allora {bn} `e un infinito di ordine superiorerispetto a

{an} (e quindi {an} `e un infinito di ordine inferiore rispetto a

{b_n});

vale L, con −∞ < L < +∞, L 6= 0 allora {an} e {bn} sono infiniti dello stesso ordine;

vale ±∞ allora {an} `e uninfinito di ordine superiore rispetto

a {bn} (e quindi {bn} `e uninfinito di ordine inferiore rispetto

Confronti e stime asintotiche: esempio 1

Esempio

La successione an= n5+ 3 ha ordine superiore rispetto bn= n.

Dimostrazione.

Esempio

La successione an= 3n2 ha lo stesso ordine rispetto

bn= 3n2+1_n+ sin (n).

Dimostrazione.

Confronti e stime asintotiche: esempio 3

Esempio

La successione an= n3 ha ordine superiore rispetto bn= n2+ 1.

Dimostrazione.

Esempio

La successione an= n3n ha ordine superiore rispetto bn= n2n.

Dimostrazione.

Confronti e stime asintotiche

Definizione (Ordini di infinitesimi)

Supponiamo an→ 0, bn→ 0. Consideriamo lim n an bn . Se

vale 0 allora {an} `e uninfinitesimo di ordine superiore rispetto

a {bn} (e quindi {bn} `e uninfinitesimo di ordine inferiore

rispetto a {an});

vale L, con −∞ < L < +∞, L 6= 0 allora {an} e {bn} sono infinitesimi dello stesso ordine;

vale ±∞ allora {bn} `e uninfinitesimo di ordine superiore

rispetto a {an} (e quindi {an} `e uninfinitesimo di ordine inferiorerispetto a {bn});

Definizione (Successioni asintotiche) Supponiamo an→ 0 e bn→ 0 oppure an→ ±∞ e bn→ ±∞. Se lim n an bn = 1

si dice che an e bn sono successioniasintotiche e scriveremo

Gerarchia degli infiniti

Si vede che limnlog_a(n) = +∞, se a > 1. limnnα= +∞, se α > 0. limnan= +∞, se a > 1. limnn! = +∞. lim nn= ∞

Gerarchia degli infiniti: esempio 1

Esercizio Calcolare L = lim n log₃(n) + n2+ en n100_{+ n!} . Svolgimento.

A numeratore, l’ordine superiore di infinito `e quello di en. A denominatore l’ordine superiore di infinito `e n!. Quindi, essendo n! di ordine superiore rispetto en

Calcolare L = lim n n! + e5n n · sin(n) − e6n. Svolgimento.

Anumeratore, l’ordine superiore di infinito `e quello din!. Adenominatore

l’ordine superiore di infinito superioresembra −e6n ma devo osservare che n · sin(n) non diverge visto il segno di sin(n) (`e indeterminata!). Si osservi che

lim n n · sin (n) e6n = lim_n n e6n · sin (n) = 0

in quanto sin(n) `e limitata e n/e6n_{infinitesima.}

Quindi, essendo n! di ordine superiore rispetto −e6n L = lim n! + e

5n

n · sin (n) − e6n = lim

n! + e5n

e6n_{(n · sin (n)/e}6n_{− 1)}= lim

n!

Criterio del rapporto

Teorema

Sia {an} una successione positiva, cio`e an> 0 per ogni n ∈ N. Se

esiste L = lim n an+1 an allora se L < 1 si ha che an→ 0; se L > 1 o L = +∞ si ha che an→ +∞;

se L = 1 non si pu`o dire niente.

Nota.

Dimostrazione facoltativa.

Mostriamo solo il casoL < 1. Per ipotesi, per ogni  > 0 esiste N() tale che se n ≥ N() allora

L −  < an+1 an

< L + .

Scelgo un  cosicch`e L +  < 1 e sia N := N(). Allora 0 < aN+1 ≤ (L + )aN

0 < aN+2≤ (L + )aN+1≤ (L + )(L + )aN = (L + )2aN

Criterio del rapporto

0 < aN+4≤ (L + )aN+3≤ (L + )2aN+2≤ (L + )3aN+1≤ (L + )4aN

e iterando il procedimento, posto αk= aN+k

0 < αk= aN+k≤ (L + )aN+k−1≤ . . . ≤ (L + )kaN

cio`e

0 < αk≤ (L + )kaN

Visto che se (L + ) < 1 allora limk(L + )kaN= 0, e che per il Teorema dei 2

Carabinieri si ha che la successione αk→ 0

0 = limkαk= limkaN+k

Supposto b > 0, quanto vale lim n bn n! Svolgimento. Sia an=b n n! > 0. Allora an+1 an = bn+1 n+1! bn n! = b n + 1→ 0 e quindi per il criterio del rapporto

Nota.

Questa tecnica non porge sempre buoni risultati. Quali esempi si considerino il calcolo di

lim

n

log (n) n per cui posto an= log (n)_n si ha

lim n an+1 an = lim n log (n+1) n+1 log (n) n = lim n log (n + 1) log (n) n n + 1 = 1

Esercizi riassuntivi.

Esercizio

Calcolare al variare di α il limite lim

n

αn+1_{+ n}2_{+ (−1)}n+1

πn_{− 2n}3_{− 2 sin (n)}

Svolgimento.

A numeratore il termine dominante, al variare di α, `eαn+1_{+ n}2_{mentre a}

Osserviamo che γα= α π n =        +∞, se α > π 0, se |α| < π 1, se α = π indefinito se α ≤ −π. da cui facilmente il limite

L = lim

n

αn+1_{+ n}2_{+ (−1)}n+1

πn_{− 2n}3_{− 2 sin (n)} = α · γα

per α > −π altrimenti `e indefinito. In definitiva

Esercizi riassuntivi.

Utilizzando il criterio del rapporto mostrare che 1 limnb n n! = 0; 2 limnnn!n = 0; 3 se b > 1 allora limnn α bn = 0;

Calcolare utilizzando le gerarchie dei limiti o il criterio del rapporto (se applicabile con successo)