Istituzioni di Analisi Matematica, 2015-16 A. Cesaroni, P. Mannucci, A. Sommariva

Istituzioni di Analisi Matematica, 2015-16 A. Cesaroni, P. Mannucci, A. Sommariva

Integrali Impropri 1. Dato l’integrale:

Z +∞

0

1 e ^x + 1 dx.

• Dimostare che converge.

• Calcolarne il valore.

2. Determinare per quali α ∈ IR esiste finito:

Z +∞

1

log(x) + 3

x ^{α } 1 + 7 log(x) + 12 log ² (x) ^ dx.

Calcolare una primitiva della funzione integranda per α = 1.

3. Determinare per quali α ∈ IR esiste finito:

Z π/2 0

sin x log (1 + √

x) (e ^x

− 1) dx.

4. Determinare per quali a > 0 esiste finito:

Z 7/2 3

sin[(x − 3) ^α ](x − 4) (x − 3) ² log[(x − 3) ² ] dx.

(suggerimento: effettuare la sostituzione x − 3 = t) 5. Determinare per quali α > 0 esiste finito:

Z 1 0

x arctan(x) x ^α dx, e per quali α ∈ IR esiste finito

Z +∞

1

x arctan(x) x ^α dx.

Calcolare il primo integrale per α = 0.

1