ESERCIZIO E.1: Il circuito mostrato in figura 1 opera in regime sinusoidale. Nell’ipotesi in cui l’operazionale siaideale, si desidera: a)determinare la funzionedi reteH(jωωω)ω fra i fasori della corrente IK e della tensione del generatore ideale VS; b) determinare, nell’ipotesi in cui R1=R2=R, la relazione che deve sussistere fra i valori dei componenti induttanza L, capacità C e resistenza R affinché il numeratore della funzione di rete H(jωωωω), già calcolataal punto a) sia costituitodalnumeroreale1, qualunquesia lapulsazioneangolareωωωω>0; c) giustificarei valori di H(jωωωω) per ωωω=0 e ωω ωωω→→→→∞∞∞∞. (2ª Prova in Itinere 8 luglio 2011)
Il circuito di figura 1 può essere ridisegnato secondo lo schema mostrato in figura 1a col quale si intende chiaramente evidenziare che l’amplificatoreoperazionale, tramite il blocco costituito dal collegamento in parallelo della resistenza RF e del condensatore C, si trova reazionato negativamente e risulta connesso, poi, nella tipica configurazione differenziale.
Indicata con ZP l’impedenza equivalente del collegamento parallelo di cui sopra si è fatta menzione si perviene alla seguente scrittura:
C R j
C j
R
C R j
Z
F F
F P
ω ω
ω 1
1
+
=
=
1 = ⋅ + 1
= +
F F
F F
P
j CR
C j C
j R C
j CR j
C j
R
Z ω
ω ω
ω ω
ω
In conclusione si ottiene la relazione:
F F
P
j CR
Z R
ω
= +
1
, inoltre è:K K
K
R
I V r r
=
Il richiamo a quanto è stabilito dalla relazione costitutiva afferente l’operazionale connesso nella configurazione di amplificatore differenziale, consente di relazionare come di seguito viene esplicitato:
S P
S P K
P S
P
K
V
L j R
R R
V Z R V Z
R V V Z
R V Z
v r r
v r r
+ ⋅
⋅
+ +
⋅
−
⇒ =
⋅
+ +
⋅
−
=
+1
ω
1 2
2 2
2
1 1
Sostituendo all’impedenza equivalente parallelo ZP la sue espressione, si ottiene:
S F
F S
F F
K
V
L j R
R CR
j R
V R CR j
R V R
v r r
+ ⋅
⋅
+ + + + ⋅
⋅
−
= ω ω 1 ω
1 2
2
1 ( 1 )
1 1
Lo svolgimento dei necessari passaggi algebrici e delle dovute semplificazioni rendono esplicite le seguenti relazioni:
S F
F F
F
K
V
L j R CR
j R
CR j R
R R L j R V R
r r
+ ⋅
⋅ +
⋅
+ +
+ +
= −
) (
) 1
(
)]
1 ( [
) (
1 2
2 1
1
ω ω
ω ω
S F
F F
F F
K
V
R j L CR
j R
R
CR j R
R R R LR j R V R
r r
⋅
+
⋅ +
⋅
+ +
+
−
= −
1 2
1
2 1 1
1
1 ) 1
(
) 1
( ω ω
ω ω
+ + + +
−
−
−
− VS
R2
VK
− + + + +
RF
R1 RK
C
L
IK
(figura – 1)
++ ++
−
−
−
− VS
R2
VK
− + + + +
RF
R1 RK
C
L
IK
(figura – 1a)
+ + + +
−
−
−
− VS
S F
F S
F F
K V
R j L CR
j
R R C L R j V
R j L CR
j R
R
L R CR R j R V R
r r
r
⋅
+
⋅ +
−
+
=
⋅
+
⋅ +
⋅
−
= +
1 2 1
1 2
1
2 1 2
1
1 ) 1
( 1
1 ) 1
(
) (
ω ω
ω ω
ω ω
L’applicazione della legge di Ohm alla resistenza RK in riferimento ai versi coordinati di figura 1°
consente di definire la posizione seguente:
S F
F
K K K
K V
R j L CR
j
R R C L R j R
R I V
r r r
⋅
+
⋅ +
−
+
⋅
=
=
1 2 1
1 ) 1
( 1 1
ω ω
ω
Atteso quanto premesso, in ossequio alla definizione costitutiva di Funzione di Rete si relaziona come di seguito esplicitato:
S K
V j I
H
r
r
= )
( ω
⇒
+
⋅ +
−
+
⋅
=
1 2 1
1 ) 1
( 1 ) 1
(
R j L CR
j
R R C L R j j R
H
F F
K
ω ω
ω
ω
(1)Il calcolo analitico dei valori che la Funzione di Rete H(jωωωω), definita dalla relazione (1), assume in corrispondenza dei valori estremi della pulsazione ωωωω relativi all’intervallo 0 ≤≤≤≤ ωωω < ∞ω ∞∞∞ tipico della risposta in frequenza di una rete lineare, si effettua con le relazioni che di seguito si riportano:
K s rad F
F
s K
rad R
R j L CR
j
R R C L R j j R
H
1
1 ) 1
( 1 ) 1
(
) / 0 1 ( 2 1 )
/ 0
(
=
+
⋅ +
− +
⋅
=
=
=
ω ω
ω ω
ω ω
0 1
) 1
( 1 1 lim
1 ) 1
( 1 lim 1
) (
1 2 1
1 2 1 )
(
=
+
⋅ +
− +
=
+ +
− +
⋅
=
∞
→
∞
∞ →
→
R j L CR
j
R R C L R j R
R j L CR
j
R R C L R j j R
H
F F
K F
F
K
ω ω
ω ω
ω ω
ω
ω ω ωNell’ipotesi in cui risulti R1 =R2 =R, la relazione che deve sussistere fra i valori dei componenti Induttanza L, Capacità C e Resistenza R affinché il numeratore della funzione di rete H(jωωωω) sia costituito dal numeroreale 1, qualunque sia la pulsazione angolare ωωωω>0 e con la resistenza di reazione RF > 0, si determina mediante la procedura che di seguito si riporta:
+
⋅ +
−
+
⋅
=
+
⋅ +
− ⋅ +
⋅
=
=
=
R j L CR
j
R C L R j R
R j L CR
j
R R C L R j j R
H
F F
K F
F
K R R R
ω ω
ω ω
ω ω ω
1 ) 1
( 1 1
1 ) 1
( 1 1 )
(
2 )
( 1 2
da cui:
0 0
1 1
1
2 2 2 =
−
= ⇒
−
⇒ +
=
−
+
RC L R R
C L R R j
C L R
j
ω
F Imω
Fω
F , da cui:L R CR
C L
RF
= ⇒ =
−
20
2ω
, ovvero, anche:C R
=
LLa funzione di rete H#(jωωωω), in tale circostanza, assume la forma:
) 1
( ) 1
(
1 1
1 ) 1
( 1 ) 1
( )
(
22 2
)
# ( 2
CR j CR
j R
R j CR CR
j
R C CR R j j R
H j
H
F K
F F
K CR
L
ω ω
ω ω
ω ω
ω = ⋅ + ⋅ +
+
⋅ +
−
+
⋅
=
=
=Al fine di ottemperare alla richiesta espressa nella traccia di giustificarei valori che la Funzione di Rete H(jωωωω) assume in corrispondenza dei valori estremi della pulsazione ωωωω relativi all’intervallo 0 ≤≤≤ ω≤ωω < ∞ω ∞∞ tipico della risposta in frequenza di una rete lineare, è necessario esaminare le due reti ∞ equivalenti che si ottengono dal circuito di figura 1 considerando gli effetti dovuti, rispettivamente, a ωωωω=0 rad/sec e ωωωω→→→→∞∞∞∞.
a) per ωωωω=0rad/s, come chiaramente evidenziato in figura 1b, il condensatore C offre nei riguardi della sorgente sinusoidale vS(t) una reattanza capacitiva XC =[1/(jωωC)]ωω →→→→∞∞∞∞ e può, pertanto, essere modellato con il bipolo circuito aperto mentre l’induttore L manifesta una reattanza induttiva XL =jωωωLω =0ΩΩ che consente di modellarlo con il bipolo corto circuito. ΩΩ
Inossequioalprincipioditraslazionedelpotenziale,assicuratodalla reazione negativa operata dalla resistenza RF sull’operazionale, si esplicitano le seguenti relazioni:
V
+= V
−−−−= V
S→ → → I →
S= (V
S– V
S)/R
2= 0 V → → → → I
F= I
S= 0 A → → → V →
K= V
S.Pertanto, l’applicazione della legge di Ohm alla resistenza RK consente di relazionare come di seguito indicato:
1 0
0
) 1
(
−=
=
= = Ω
= ⇒
= ⇒
K S
K K
S K K
K
K
V R
j I R H
I V R
I V
ω
ω
ωb) per ωωωω→→→→∞∞, come chiaramente evidenziato in figura 1c, il condensatore C offre nei riguardi ∞∞ della sorgente sinusoidale vS(t) una reattanza capacitiva XC =[1/(jωωωωC)]→→→→0ΩΩΩΩ e può, pertanto, essere modellato con il bipolo corto circuito mentre l’induttore L manifesta una reattanza induttiva XL =jωωωLω →→→→ ∞∞∞∞ che consente di modellarlo con il bipolo circuito aperto.
Inossequioalprincipioditraslazionedelpotenziale,assicuratodalla reazione negativa operata sull’operazionale dal parallelo della resistenza RF con il bipolo corto circuito modellante la già citata reattanza capacitiva XC, si esplicitano le seguenti relazioni:
V
+= V
−−−−= 0 V → → → I →
S= (V
S/R
2) → → V → →
K= (R
F·I
F) = 0 V → → I → →
F= (V
K/R
F) = 0 A.
Pertanto, l’applicazione della legge di Ohm alla resistenza RK consente di relazionare come di seguito riportato:
0
1) 0
(
−∞
→
∞
→
= = = Ω
= ⇒
K S
K K
K
K
V R
j I R H
I V
ω
ω
ω+ + + +
−
−
−
− VS
R2
VK
− + + + +
RF
R1 RK
IK
(figura – 1b)
+ + + +
−
−
−
− VS
ω ω ω
ω = 0
rad/sec+ + + +
−
−
−
− VS
R2
VK
− + + + +
RF
R1 RK
IK
(figura – 1c)
+ + + +
−
−
−
− VS
ω ω ω ω → → → → ∞ ∞ ∞ ∞
IS=0
IF=0
IS
IS
IF=0
ESERCIZIO E.2: La rete lineare mostrata in figura 2 opera in regime sinusoidale. Sapendo che i(t)=4·cos(106t) [A], si vuole determinare: a) il fasore della tensione v(t) ai capi del generatore e la sua espressione temporale; b) la potenza attiva P e reattiva Q erogata dal generatore ideale di corrente i(t); c) il fasore della tensione vL(t) ai morsetti dell’induttore L e la sua espressione nel dominio temporale. Sono assegnati: R=1ΩΩΩΩ; C=1µF; L=1µµµµH. (2ª Prova in Itinere 8 luglio 2011)
(Nota Bene: come modulo del fasore si assuma il valore di picco o ampiezza della sinusoide) Si tratta di una rete lineare operante in regime sinusoidale, alimentata da un generatore ideale dicorrentedipulsazione,ofrequenza angolare, ω
ω ω
ω = 106 rad/sec. Nel dominio dei fasori la rete immagine corrispondente è quella riportata in figura 2a in cui si sono evidenziate le reattanze dei bipoli reattivi condensatore e induttore.
In particolare si considerano le scritture:
j j j
C
Z
Cj = = −
⋅
⋅
= ⋅
= 1
10 1 10
1 1
6
1
ω
6j j C Z
Cj
2 1 10
10 2
1 2
1
6 6
2
= −
⋅
⋅
= ⋅
=
−ω
j j
L j
Z
L= ω = ⋅ 10
6⋅ 1 ⋅ 10
−6=
= 1
= R Z
RDall’analisi della rete e dei collegamenti fra i diversi bipoli si evince quanto segue:
• l’impedenza puramente induttiva ZL = jωωωL è posta in parallelo con l’impedenza puramente ω ohmica ZR = R; sia Z1 l’impedenza equivalente parallelo;
• l’impedenza puramente capacitiva ZC1 = [1/(jωωωC)] è connessa in parallelo con l’impedenza ω puramente ohmica ZR = R; sia Z2 l’impedenza equivalente parallelo
• le impedenze equivalenti Z1 =(ZR//ZC1) e Z2 =(ZR//ZL) dei blocchi posti in parallelo sono fra loro connesse in serie; sia ZS =(Z1 +Z2) l’equivalente impedenza serie.
Pertanto, con riferimento alla figura 2b, si esplicita quanto segue:
CR j
R CR
j C j C j
R C
j CR j
C j
R
C R j
C j
R Z
Z
Z
R Cω ω
ω ω
ω ω ω ω
ω
= +
⋅ + + =
= +
=
= ( ) 1 1 1 1
1 1
Sostituendo i valori forniti dalla traccia ai dispositivi di specifico interesse si ottiene:
) 1 2 ( 1 1 1 1 ) 1 ( ) 1 (
1 1
1 ) 1
(
11
j j
j j
j j
CR j Z R
Z
Z
R C= ⋅ −
+
= −
−
⋅ +
= −
= +
= +
= ω
R C i(t)
vL(t) R
L
v(t) 2C R
(figura – 2)
R
I 1/jωωωωC
VL
R
j
ω ωL ω ω
R V 1/jωωω2C ω
(figura – 2a)
I R V
1/jωωωω2C
(figura – 2c) ZS
I
VL
R V 1/jωωωω2C
(figura – 2b) Z1
Z2
) 1 2 ( 1 1 1 ) 1 ( ) 1 (
) 1 ( 1
1 ) 1
(
2
2
j j j
j j
j j
j j LR j
LR Z j
Z
Z
R L= ⋅ +
+
= −
−
⋅ +
−
= ⋅ +
= ⋅
= +
= ω
ω
Con riferimento alla figura 2c si posiziona quanto segue:
2 1 2 1 2 2 ) 1 1 2 ( ) 1 1 2 ( 1 1
2
1
1
= ⋅ − + ⋅ + = − + + =
+ +
= + +
= j j
j LR j
j LR j CR j Z R
Z Z
Sω ω ω
Si constata il verificarsi, alla pulsazione ωωωω=106rad/sec imposta dal generatore ideale di corrente, del fenomeno della risonanza serie che si esprime mediante la natura puramente resistiva della impedenza equivalente serie ZS.
Atteso quanto premesso, l’ammettenza equivalente YG sentita dal generatore ideale di corrente è definita dal parallelo delle tre impedenze ZS, ZR e ZC2; ricordando che l’ammettenza equivalente di più ammettenze connesse fra loro in parallelo è data dalla somma delle ammettenze, si ottiene:
2 ) 2
2 ( 1 1 1 1 2
1 1
1 1
2
2
j
C j Z j
Z Z
Z Y Z
Y Y Y
R S C
R S C
R S
G
= +
+ − +
= +
+
= +
+
= + +
= ω
Per la determinazione del fasore associato alla sinusoide corrente del generatore ideale indipendente di corrente i(t) = 4·cos(106t) [A], con ωωωω = 106 rad/sec, basta considerare la relazione costitutiva che di seguito si esplicita:
] 4
Re[
)]
0 10 sin(
4 ) 0 10 cos(
4 Re[
) 10 cos(
4 )
( t = ⋅ 6t =
6t + ° + j
6t + ° = ⋅ e
j( t+0°)
i
ω , ovvero:] Re[
] 4
Re[
) 10 cos(
4 )
( t 6t e
j0 e
j t I e
j t
i = ⋅ = ⋅
° ω= ⋅
ωr
, con:
I = 4 ⋅ e
j0°= 4 r
Dall’applicazione della legge duale di Ohm all’ammettenza equivalente totale YG sentita dalla sorgente ideale di corrente I si ottiene la seguente relazione:
G
G
V V I Y
Y I
r r r
r
⇒ =
⋅
=
Sostituendo i valori numerici finora determinati, si ottiene quanto segue:
j j j
j j j
Y V I
G
−
− =
= ⋅
− +
⋅
−
= ⋅
= +
= 1
2 ) 1 ( 2 ) 1 )(
1 ( 2
) 1 ( 4 2
2 4 r r
Pertanto, la forma polare del fasore associato alla sinusoide tensione ai capi dell’ammettenza YG è:
4 /
45
2
2
; 45 )
1 1 ( ];
[ 2 1
1 V ϑ arctag V e
je
jπV r = + = = − = − ° ⇒ v = ⋅
− °= ⋅
−L’espressione nel dominio del tempo della tensione v(t) associata al fasore è, pertanto:
−
=
°
−
=
⋅
=
⋅
=
− − °10 4 cos 2 ) 45 10
cos(
2 ] 2
Re[
] 2
Re[
)
(
π 4 ω (ω 45 ) 6 6π
t t
e e
e t
v
j j t j tLa potenza Attiva P e la potenza Reattiva Q erogate dal generatore ideale di corrente i(t) sono determinate dalla seguente relazione:
VAR
CQ W P j
j j
I V
A = ( 1 2 ) ⋅ ⋅
*= ( 1 2 ) ⋅ ( 1 − ) ⋅ 4 = 2 ⋅ ( 1 − ) = 2 − 2 ⇒ = 2 = − 2 r
r
Dalla figura 2b si evince, poi, che il calcolo del fasore della tensione VL ai capi dell’impedenza Z2
si esplicita nell’applicazione della legge del partitore resistivo di tensione; si ottiene infatti:
) 10 cos(
1 ) ( 1
2 1 1 1 1
2
) 1 ( ) 1
(
0 62 2 1
2
j j e v t t
Z V Z Z Z
V
V Z
j LS
L
= + = = ⋅ ⇒ = ⋅
⋅
−
⋅
= +
= ⋅ +
= ⋅
°r r r
Come verifica della correttezza dei risultati conseguiti, si osservi che:
1 2 2 1
1
( 1 2 1 ) 1
2 1 1
) 1 ( ) 1 ( 2
1
jπC S
C
j j j j V e
Z V Z Z Z
V
V Z = ⋅ = − ⋅ − = ⋅ − − = − ⇒ = ⋅
−+
= ⋅
r r r r
Dunque, resta proprio verificato quanto già ricavato, cioè:
V = V
L+ V
C= ( 1 − j ) = 2 ⋅ e
−jπ 4r
r r
IV
(figura – 2d) YG
ESERCIZIO E.3: L’interruttore S è aperto da lungo tempo e nell’istante to=0 secondi viene chiuso. Si desidera determinare: a) l’espressione analitica della corrente iL(t), delle tensioni vL(t) e vS(t) e tracciarne i relativi grafici correlati per t>−−−−10µµs; µµ b)l’energia accumulata nell’induttore all’istante t=0s e in t→→→→∞∞. Sono assegnati: I∞∞ S =100mA; R=50ΩΩΩΩ; rm =200ΩΩ; LΩΩ =1mH.
Si richiede di determinare l’andamento temporale della tensione vL(t),dellacorrente iL(t)aimorsetti dell’induttanza L, cioè il transitorio caratteristico della rete lineare, mostrata nella figura 3, relativo alla commutazione dallo stato di aperto allo stato di chiuso dell’interruttore S.
La corrente iL(t) che circola nell’induttanza L è una variabile di stato e, pertanto è una funzione temporalmente continua definita dalla relazione costitutiva di seguito esplicitata:
τ )
)]
(( ) ( [ ) ( )
(
L L L O t tOL
t i i i t e
i = ∞ − ∞ − ⋅
−in cui sono presenti le grandezze iL(tO), iL(∞∞∞) e ττττ, il cui significato fisico di seguito si richiama: ∞
• iL(tO) è il valore della corrente iL nell’induttanza L all’istante iniziale tO del transitorio, noto anche come valore iniziale o valore della corrente di precarica dell’induttore;
• iL(∞∞∞) è il valore di regime conseguito dalla corrente a transitorio esaurito, ovvero quando alla ∞ induttanza L può essere sostituito l’equivalente bipolo corto circuito;
• ττττ è la costante di tempo definita dalla relazione costitutiva ττττ = L/RTH, in cui RTH definisce la Resistenza equivalente di Thevenin sentita dalla induttanza L ai suoi morsetti.
La conoscenza dei tre parametri sopra richiamati consente di definire compiutamente il transitorio.
a) rete valida per t = 0−−−−, ovvero −−−−10µµµµs < t < 0s. Poiché l’interruttore S è aperto da lungo tempo, quindi da un tempo certamente maggiore del tempo di assestamento TA = 5ττττ, si deve lecitamente ritenere che l’induttanza L si sia completamente scaricata tramite la resistenza R; quindi, come si evincedallafigura3a,sonogiustificatele posizioni diseguitoindicate,ancheperispezionediretta:
S X
L
L
A v V i I
i ( 0
−) = 0 ; ( 0
−) = 0 ; ( 0
−) = −
Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia che coinvolge sia il generatore ideale di corrente IS, sia il generatore pilotato di tensione comandato dalla corrente ix(t), si perviene alla scrittura nella rete
) 0 ( 2 ) 0 ( )
0
(
−−
m X −= −
X −S
r i Ri
v
, da cui si ha:S m S
m S
X m
S
R r i v R r I R r I
v ( 0
−) = ( − 2 + ) ⋅ ( 0
−) ⇒ ( 0
−) = ( − 2 + ) ⋅ ( − ) = ( 2 − ) ⋅
Sostituendo i dati forniti dalla traccia si desume quanto segue:
A I
r R
v
S( 0
−) = ( 2 −
m) ⋅
S= [( 2 ⋅ 50 ) − 200 ] ⋅ 100 ⋅ 10
−3= − 100 ⋅ 10
−1= − 10
b) rete valida per t→→→→∞∞.∞∞ All’istante t=tO =0s l’interruttore S si porta nella posizione relativa allo stato chiuso ed ivi permane indefinitamente; consegue che dopo un intervallo di tempo maggiore del tempo di assestamento TA = 5ττττ, attesa la stabilità della rete mostrata in figura 3b, l’induttanza L avrà conseguito un nuovo stato di regime e potrà, quindi, essere modellata col bipolo equivalente corto circuito, come chiaramente mostrato nella citata figura 3b. Per ispezione diretta, inoltre, si evincono le condizioni che di seguito si esplicitano:
A R v
i V v
v V
v
L( ∞ ) = 0 ;
S( ∞ ) =
L( ∞ ) = 0 ;
R( ∞ ) =
L( ∞ ) = 0
L’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia centrale fornisce la scrittura:
A i
i R r
Ri i
r
m X( ∞ ) = 2
X( ∞ ) ⇒ (
m− 2 ) ⋅
X( ∞ ) = 0 ⇒
X( ∞ ) = 0
2R
r
mi
XI
SS
v
L R+
+ + +
−
−
−
− L
i
Xi
Lv
S(figura 3)
2R rmiX(0-)
I
SS
vL(0-) R
+ + + +
− −
− −
iX(0-)iL(0-) vS(0-)
(figura 3a – rete valida a t = 0−−−−)
Con l’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al supernodo ΣΣΣΣ si perviene alla relazione che di seguito si riporta:
) ( ) ( )
( ∞ + ∞ = ∞
−
X L RS
i i i
I
Tenendo in considerazione quanto già stabilito per lecorrenti iX(∞∞∞∞)e iR(∞∞∞∞),la precedenterelazione al supernodo ΣΣΣΣ assume la forma:
mA I
i i
I
S+
L( ∞ ) = 0 ⇒
L( ∞ ) = −
S= − 100
Ai fini del tracciamento dei grafici richiesti per le grandezze elettriche di interesse è utile sintetizzare i risultati conseguiti:
mA i
A i
A
i
X( ∞ ) = 0
R( ∞ ) = 0
L( ∞ ) = − 100
c) Determinazione della Resistenza equivalente RTH. La rete che bisogna esaminare perilcalcolo della resistenza equivalente di Thevenin RTH sentita dall’induttanza L è riportata in figura3c dalla
quale si evince lo stato di chiusura dell’interruttoreSnonché l’annullamentodel generatore indipendente di corrente IS. L’applicazione della legge di Ohm alla resistenza R consente di relazionare come segue:
i
R(t) = V
TX/R
.Con l’applicazione della legge di Kirchhoff delle tensioni alla maglia costituita dal generatore dipendente di tensione rmiX
pilotato dalla corrente iX(t) , dalla resistenza 2R e da ultimo dall generatore test VTX, si perviene alla seguente scrittura:
) ( ) 2 ( )
( 2
)
( t R i t V r R i t
i r
V
TX−
m X= − ⋅
X⇒
TX=
m− ⋅
X)
2 ) (
( r R
t V i
m TX
X
= −
L’applicazione della legge di Kirchhoff delle correnti al nodo αα
αα consente di esplicitare la relazione seguente:
TX m
TX m
TX TX
TX R
X
TX
V
R r
I R R
r V R
I V t
i t i
I ⋅
− −
⇒ =
− −
⇒ =
=
+ ( 2 )
1 1
) 2 ) (
( ) (
Svolgendo i necessari e dovuti passaggi algebrici si conclude con le scritture di seguito esplicitate:
TX m
m TX
TX m
m TX
TX m
m
TX
I
R r
R r
V R R V
r R
R I r
R V r
R
R R
I r ⋅
−
−
= ⋅
⋅ ⇒
−
⋅
= −
⋅ ⇒
−
⋅
−
= −
) 3 (
) 2 ( )
2 (
) 3 ( )
2 (
) 2
(
In ossequio alla definizione costitutiva di resistenza equivalente di Thevenin RTH si ottiene:
) 3 (
) 2 1 (
) 3 (
) 2 (
0
r R
R r
R I
R r
I R r
R I
R V
m m TX
m
TX m
A TX I TX TH
S
−
−
= ⋅
− ⋅
⋅
−
= ⋅
=
=
Sostituendo i dati forniti dalla traccia si determina il valore di RTH; si ha, infatti:
Ω
⋅ =
− =
= ⋅
⋅
−
⋅
−
= ⋅
−
−
= ⋅ 100
50 100 50 150 200
100 50 )
50 3 ( 200
)]
50 2 ( 200 [ 50 )
3 (
) 2 (
R r
R r
R R
m m TH
Nota la resistenza equivalente RTH resta determinata la costante di tempo ττττ specifica del transitorio;
si relazione, infatti, come segue:
s R
L
THµ
τ = = ( 1 ⋅ 10−3) 100 = 10
−5 = 10 ⋅ 10
−6 = 10
L’evoluzione temporale caratteristica del transitorio della corrente e della tensione dell’induttanza è determinata dalle relazioni costitutive di seguito esplicitate, in cui si è già considerato tO =0s:
) 1
( 100 )
0 100 ( 100 )]
0 ( ) ( [ ) ( )
(
L L L t t10 5 105tL
t i i i e e e
i = ∞ − ∞ − ⋅
− τ= − − − −
− −= − −
− [mA]2R rmiX(∞∞∞∞)
I
SS
vL(∞∞∞∞) R
+ + + +
− − −
−
iX(∞∞∞∞)iL(∞∞∞∞) vS(∞
∞ ∞ ∞)
(figura 3b – rete valida a t→→→→∞∞) ∞∞ iR(∞∞∞∞)
∑
∑
∑ ∑
2R rmiX(t)
S
VTX
R
+ + + +
−
−
−
−
iX(t)ITX
(figura 3c) (rete valida per RTH)
iR(t)
α α α α
+ + + +
− − −
−
1
] [ 10
) 0 10 100 ( 100 )]
0 ( ) ( [ )
( t R i i e
3e
10 5e
105V
v
L=
TH⋅
L∞ −
L⋅
−tτ= ⋅ − ⋅
−−
−t −= − ⋅
− tCome chiaramente evidenziato dalla figura 3b, per ogni 0<t<∞∞∞∞, si verifica che vS(t)=−−−−vL(t); per cui si conclude con la relazione seguente:
] [ 10
) 10
( ) ( )
( t v t e
105e
105V
v
S= −
L= − − ⋅
− t= ⋅
− tNella figura 3d sono riportati i grafici di interesse, richiesti dalla traccia; la corrente iL(t) è espressa in mA, mentre le tensioni vL(t) e vS(t) sono espresse in V.
(figura 3d – curve caratteristiche del transitorio)
(Andamento temporale della corrente iL(t) nell’induttanza L per −−−−100µµµµs<t<∞∞) ∞∞ (Andamento temporale della tensione vL(t) ai morsetti dell’induttanza L per −−−−100µµµµs<t<∞∞∞∞)
(Andamento temporale della tensione vS(t) ai morsetti del generatore IS per −−−−100µµsµµ <t<∞∞∞∞)
ESERCIZIO E.4: Nell’ipotesi che il valore della permeabilità magnetica µµµµ=105·µµµµO del materiale ferromagnetico sia da ritenersi, in pratica, come infinita nei confronti del traferro, si determini la matrice dei coefficienti di auto e di mutua induttanza dei due avvolgimenti. Si determini, inoltre, l’induttanza L del bipolo che si ottiene collegando in serie i due avvolgimenti. (8 luglio 2011)
L’ipotesi del valore di permeabilità magnetica µµµµ=105·µµµµO del materiale ferromagnetico giustifica il fatto di ritenere trascurabile la riluttanza ℜ
ℜ ℜ
ℜ del circuito magnetico di figura 4 nei confronti della riluttanza ℜℜℜℜO
dei traferri presenti nel già citato circuito magnetico. Se si definisce con ℜℜℜℜO la riluttanza del traferro avente spessore δδδδ, risultano allora evidenti le seguenti posizioni:
S
S
O OO
O
µ
δ µ
δ 2
2 ℜ =
= ⇒ ℜ
S
S
OO O
µ δ µ
δ
2 1 2
2 = =
ℜ
L’equivalente circuito elettrico al quale fare riferimento per l’analisi della struttura magnetica di figura 4 è riportata in figura 4a, in cui si fa corrispondere, rispettivamente alla forza magnetica NiIi
un generatore ideale di tensione pari a NiIi e alla riluttanza ℜℜℜℜ una resistenza elettrica dello stesso valore ℜℜℜ; nel circuito di riferimento, inoltre, al flusso Φℜ ΦΦΦ si fa corrispondere la corrente.
Per ladeterminazionedei due flussi ΦΦΦΦ1 e ΦΦΦΦ2 benesi presta l’utilizzo del Principio di Sovrapposizione degli Effetti, di cui di seguito si esplicita l’applicazione.
a) Agisce N1I1 con N2I2 =0Asp.
Il circuito equivalente di riferimento da esaminare viene riportato in figura 4b in cui si evince lo spegnimento della tensione magnetica N2I2 e le due componenti di interesse dei flussi magnetici, in particolare giova precisare che:
ΦΦ
ΦΦ11 è il contributo al flusso ΦΦΦΦ1 dovuto alla tensione N1I1; ΦΦ
ΦΦ21 è il contributo al flusso ΦΦΦΦ2 dovuto alla tensione N1I1. L’applicazione della legge Ohm ai capi della riluttanza equivalente nei confronti del generatore N1I1 consente di relazionarecome segue:
) 2 ( 2
) 2 ( 2 2 2
1 1 1
1 11
O O
O O O O
O O
I N I
N
ℜ + ℜ
ℜ + ℜ
ℜ
=
ℜ
ℜ + ℜ
= Φ
Da cui, svolgendo i necessari passaggi algebrici si ottiene:
O O
O
I N I
N
= ℜ ℜ
+
= ℜ
Φ 7
5 ) 5 2 (
1 1 1
1 11
Inoltre l’applicazione della legge del partitore resistivo di corrente fornisce la scrittura che di seguito si riporta:
O O
O O O
O O
O O
O
N I N I N I
− ℜ ℜ =
ℜ
− ℜ ℜ =
⋅ ℜ
− ℜ ℜ =
+ ℜ Φ ℜ
−
=
Φ 5 7
2 2 7
5 ) 2 5 (
) 2 (
7 5 ) 2 ( 2
2
1 1 1 1 1 111 21
b) Agisce N2I2 con N111 =0Asp. Il circuito equivalente di riferimento da esaminare è riportato in (figura – 4)
−
−
−
− + + + +
+ + + +
ı Φ
Φ Φ Φ
2N
2I
2N
1I
1Φ Φ Φ Φ
1ℜ ℜ ℜ ℜ
Oℜ ℜ ℜ ℜ
O/2 2 ℜ ℜ ℜ ℜO
(figura – 4a)
+ + + +
ı Φ
Φ Φ Φ
21N
1I
1Φ Φ Φ Φ
11ℜ ℜ ℜ ℜ
Oℜ ℜ ℜ ℜ
O/2 2 ℜ ℜ ℜ ℜO
(figura – 4b)
