Esame di Matematica 3 (laurea in Matematica)
prova di accertamento del 16 giugno 2008 – Compito A
ESERCIZIO 1. Nel piano euclideo si considerino i punti P =1
2
e Q = 1
−1
e le rette r : 2x − y = 0 ed s : x + y = 0.
(a) [4 punti] Si determini l’equazione dell’iperbole equilatera,C , tangente ad r in P ed a s in Q.
(b) [4 punti] Si determinino asintoti centro ed assi di C e se ne scriva l’equazione canonica. Si tracci un disegno approssimativo della curva.
Svolgimento. (a) C appartiene al fascio di coniche bitangenti alle rette r ed s nei punti P e Q. L’equazione della generica conica del fascio `e quindiC(λ,µ): λ(2x − y)(x + y) + µ(x − 1)2= 0, e la conica `e un’iperbole equilatera se, e solo se, gli autovalori della sottomatrice A0sono opposti; ovvero se, e solo se, (2λ + µ) − λ = 0.
La conica cercata ha equazione affineC : x2+ xy − y2+ 2x − 1 = 0.
(b) Supponiamo lo spazio euclideo immerso nello spazio proiettivo nel modo consueto ed utilizziamo coor- dinate omogenee. La conica ha matrice
A =
−2 2 0
2 2 1
0 1 −2
con det A = 18 e quindi si tratta di una conica non degenere. Indicata con A0 la sottomatrice che si ottiene cancellando la prima riga e la prima colonna di A, si ha det A0= −5 e si conferma il fatto cheC `e un’iperbole.
I due punti impropri di C sono A =
0
√5−1 2
e B =
0
√ 5+1
−2
, che rappresentano due direzioni ortogonali.
Le polari di A e B sono gli asintoti e la loro intersezione `e il centro diC , ovvero
a : (√
5 − 5)X2+ 2√
5X1+ (2√
5 − 2)X0= 0, b : (√
5 + 5)X2+ 2√
5X1+ (2√
5 + 2)X0= 0 C =
5
−4
−2
.
La matrice A0ha i due autovalori ±√
5, e gli spazi di autovet- tori corrispondenti sono i due punti impropri P∞ =
0
√1 5−2
e P∞⊥=
0
√−1 5+2
. Si ha −det Adet A0 = 185 e quindi gli assi sono le rette
h1: (√
5 − 2)(x + 4
5) − (y +2
5) = 0 [asse focale], h2: (√
5 + 2)(x +4
5) + (y +2 5) = 0.
O
C
C
P
Q
L’equazione canonica diC `e 518√5(X2− Y2) = 1, nel riferimento ortonormale che ha gli assi come assi
coordinati.
ESERCIZIO 2. Nel piano proiettivo reale, si consideri il fascio di coniche di equazioni C(λ,µ): −2λX0X1− 6µX0X2+ λX12+ µX1X2+ 2µX22= 0 al variare dei parametri omogenei (λ, µ).
(a) [4 punti] Si determinino i punti base e le coniche degeneri del fascio. Al variare di (λ, µ), si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X1+ X2= 0.
1
2 MAURIZIO CANDILERA e FRANCESCO ESPOSITO
(b) [4 punti] Al variare di (λ, µ), si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X0 = 0. Ponendo su questo piano l’usuale metrica euclidea, si determinino eventuali cerchi o iperboli equilatere appartenenti al fascio.
(c) [4 punti] Si scriva l’equazione di una curva contenente i poli della retta X1+ X2= 0 rispetto a tutte le coniche (non degeneri) del fascio.
Svolgimento. (a) La generica conica del fascio ha matrice
A(λ,µ) =
0 −2λ −6µ
−2λ 2λ µ
−6µ µ 4µ
e det A(λ,µ)= −16λµ(λ + 3µ).
Dunque vi sono tre coniche degeneri distinte nel fascio, ovvero
C(0,1): X2(X1+2X2−6X0) = 0, C(1,0): X1(X1−2X0) = 0 C(3,−1): (X1−X2)(3X1+2X2−6X0) = 0.
I punti base del fascio sono P =
1
0 0
, Q =
1
2 0
, R =
1
0 3
, S =
1
2 2
.
Si conclude che tutte le coniche del fascio passano per il punto P , appartenente alla retta X1+ X2 = 0.
Dunque, nel piano affine che si ottiene mandando all’infinito la retta x1+ X2= 0, si ha un fascio di iperboli, con l’eccezione di una parabola, costituita dalla conica tangente in P alla retta data (trovarla!).
(b) Nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X0= 0, il tipo di conica `e determinato dal segno del det2λ µ
µ 4µ
= µ(8λ−µ). La situazione `e descritta nel diagramma a fianco, ove la zona ombreggiata rappresenta i valori (λ, µ) per cui si ottengono ellissi, mentre la zona bianca, rappresenta i valori per cui si ottengono iperboli. Le linee tratteggiate corrispondono alle due parabole del fascio, una delle quali `e degenere. Le altre coniche degeneri coincidono con gli assi coordinati (le coppie di rette reali non parallele possono essere pensate come iperboli degeneri).
Imponendo il passaggio diC(λ,µ)per uno dei punti ciclici, si verifica che non ci sono cerchi nel fascio.
8λ−µ µ=0
λ µ
Ricordando che le iperboli equilatere hanno i coefficienti dell’equazione canonica opposti tra loro, si osserva che tali coniche si hanno per valori di (λ, µ) per cui la sottomatrice A0(λ,µ) abbia autovalori opposti e quindi traccia nulla. Si ha trA0(λ,µ) = 2λ + 4µ e quindi vi `e un’unica iperbole equilatera (non degenere)nel fascio ed `e la conicaC(2,−1).
(c) Al variare di (λ, µ) (per valori corrispondenti a coniche non degeneri) il polo della retta X1+ X2= 0 `e la soluzione,
x0 x1
x2
, del sistema
2λX1+ 6µX2= 0
(−2λX0+ 2λX1+ µX2) − (−6µX0+ µ)X1+ 4µX2) = 0. Dunque, per tali valori il sistema
λx1+ 3µx2= 0
λ(−2x0+ 2x1) + µ(6x0− x1− 3x2) = 0 ha soluzioni non banali nelle incognite (λ, µ). Deve quindi aversi
det
x1 3x2
2x1− 2x0 6x0− x1− 3x2
= 6x0x1− 6x0x2− x21− 9x1x2= 0
Matematica 3 – Compitino del 16 giugno 2008 – Compito A 3 che ci da l’equazione di una conica contenente i poli della retta data rispetto alle coniche (non degeneri) del
fascio.
ESERCIZIO 3. In P3(R), si consideri la quadrica
Q : 4X0X2+ X12− 4X1X3− X22= 0.
(a) [4 punti] Si classifichi la quadrica in P3(R) e nello spazio affine che si ottiene togliendo il piano X0= 0.
Posta la consueta metrica euclidea, si determinino l’equazione canonica e gli assi diQ.
(b) [4 punti] Si determini l’equazione del cono, V , tangente a Q ed uscente dal centro o dal vertice di Q, a seconda che si tratti di una quadrica a centro o di un paraboloide. Si determinino le eventuali rette contenute nel supporto diQ e si dica se qualcuna di queste rette `e contenuta nel piano improprio.
(c) [4 punti] Sia t : X1− X2= 0
X2+ X3= 0 e si determinino i punti P1 e P2 di intersezione tra t ed il supporto di Q. Indicate con r1 ed s1 le rette sulla quadrica passanti per P1 e con r2 ed s2 quelle passanti per P2, siano P3= r1∩ s2e P4= r2∩ s1. Determinare le equazioni cartesiane della retta u = P3∨ P4e dire che relazioni ha con t.
Svolgimento. (a) La quadrica ha matrice
A =
0 0 2 0
0 1 0 −2
2 0 −1 0
0 −2 0 0
e det A = 16.
Si tratta quindi di una quadrica non degenere, a punti iperbolici (dato che vi sono dei punti reali, ad esempio
t(1, 0, 0, 0)). Si ha det A0 = 4 e quindi nel piano affine `e un iperboloide iperbolico. Il centro `e il punto C =
1 0 2 0
! .
Il polinomio caratteristico det(A0− λ13) = (λ + 1)(λ2− λ − 4) e quindi gli autovalori sono −1, 1−
√17 2 ,
1+√ 17
2 , che determinano le direzioni degli assi, ovvero P1=
0 0 1 0
!
, P2=
0 1+√
17 0
−4
!
, P3=
0 1−√
17 0
−4
! .
Gli assi hanno quindi equazioni affini h1: x = 0
z = 0, h2: y − 2 = 0 4x + (1 +√
17)z = 0, h3: y − 2 = 0 4x + (1 −√
17)z = 0. Infine, l’equazione canonica `e 14X2+
√17−1 8 Y2−
√17+1
8 Z2 = 1 nel riferimento ortonormale che ha le rette, h1, h2, h3, come assi coordinati.
(b) Il cono asintotico (cono tangente uscente dal centro) ha equazione omogenea V : (4X0)2− 4(4X0X2+ X12− 4X1X3− X22) = 0.
L’equazione omogenea diQ si pu`o scrivere nella forma
Q : (4X0− X2)X2+ X1(X1− 4X3) = 0 Dunque le due schiere di rette sulla quadrica sono
r(a,b):
b 4X0− X2 − aX1= 0 aX2+ b X1− 4X3 = 0
s(c,d): d 4X0− X2 − c X1− 4X3 = 0
cX2+ dX1= 0 .
Se un piano contiene una di queste rette, la sua intersezione conQ `e una conica degenere. Dunque, essendo Q un iperboloide, nessuna di queste rette `e contenuta nel piano improprio.
(c) Si ha P1=
1 0 0 0
! e P2=
1
−1
−1 1
!
. La retta u `e la polare di t = P1∨ P2(perch´e?) e quindi `e l’intersezione dei piani polari dei due punti, P1e P2. Le equazioni cartesiane son quindi
u :
tP1AX = 0
tP2AX = 0, ovvero X2= 0
−2X0− 3X1+ 3X2+ 2X3= 0
ed i due punti sono P3=
1 0 0 1
! , P4=
−5 4 0 1
!
.
Esame di Matematica 3 (laurea in Matematica)
prova scritta del 16 giugno 2008 – Compito B
ESERCIZIO 1. Nel piano euclideo si considerino i punti P =1
2
e Q =−2
2
e le rette r : 2x − y = 0 ed s : x + y = 0.
(a) [4 punti] Si determini l’equazione dell’iperbole equilatera,C , tangente ad r in P ed a s in Q.
(b) [4 punti] Si determinino asintoti centro ed assi di C e se ne scriva l’equazione canonica. Si tracci un disegno approssimativo della curva.
ESERCIZIO 2. Nel piano proiettivo reale, si consideri il fascio di coniche di equazioni C(λ,µ) : −3λX0X1− µX0X2+ λX12+ 2(λ + µ)X1X2− 2µX22= 0 al variare dei parametri omogenei (λ, µ).
(a) [4 punti] Si determinino i punti base e le coniche degeneri del fascio. Al variare di (λ, µ), si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X1+ X2= 0.
(b) [4 punti] Al variare di (λ, µ), si classifichino le coniche del fascio nel piano affine che si ottiene togliendo la retta X0 = 0. Ponendo su questo piano l’usuale metrica euclidea, si determinino eventuali cerchi o iperboli equilatere appartenenti al fascio.
(c) [4 punti] Si scriva l’equazione di una curva contenente i poli della retta X1+ X2= 0 rispetto a tutte le coniche (non degeneri) del fascio.
ESERCIZIO 3. In P3(R), si consideri la quadrica
Q : 2X0X2− 2X0X3+ X12+ 4X1X3− 2X22+ 4X32= 0.
(a) [4 punti] Si classifichi la quadrica in P3(R) e nello spazio affine che si ottiene togliendo il piano X0= 0.
Posta la consueta metrica euclidea, si determinino l’equazione canonica e gli assi diQ.
(b) [4 punti] Si determini l’equazione del cono, V , tangente a Q ed uscente dal centro o dal vertice di Q, a seconda che si tratti di una quadrica a centro o di un paraboloide. Si determinino le eventuali rette contenute nel supporto diQ e si dica se qualcuna di queste rette `e contenuta nel piano improprio.
(c) [4 punti] Sia t : X1= 0
X3= 0 e si determinino i punti P1 e P2 di intersezione tra t ed il supporto diQ.
Indicate con r1 ed s1 le rette delle due schiere sulla quadrica passanti per P1 e con r2 ed s2 quelle passanti per P2, siano P3 = r1∩ s2 e P4 = r2∩ s1. Determinare le equazioni cartesiane della retta u = P3∨ P4 e dire che relazioni ha con t.
