50 Equazione generale delle coniche

50 Equazione generale delle coniche

Le curve piane studiate nel paragrafo precedente (la circonferenza, l’ellisse, l’iper- bole, la parabola) hanno in comune la propriet`a di essere rappresentate da equazioni algebriche di secondo grado. Le loro equazioni sono casi particolari della pi`u generale equazione di secondo grado in e
:

  







    

 



(50.1) Le curve piane, rappresentabili da equazioni di secondo grado in ,
del tipo di (50.1), sono dette coniche.

Alla conica (50.1) `e associata la matrice quadrata (simmetrica)

   



   



   



  





 

!" 

(50.2)

La conica `e detta singolare se il determinante della matrice<sup></sup> `e nullo; altrimenti la conica `e detta non singolare.

E possibile eseguire la classificazione metrica delle coniche utilizzando anche la` matrice



 (ottenuta dalla matrice



cancellando la terza riga e la terza colonna, in accordo con le notazioni del paragrafo 29):





$#

    

   

&%

 (50.3)

Si dimostra che vale il seguente schema di classificazione delle coniche in ellissi, iperboli o parabole, nel senso che `e possibile determinare un sistema cartesiano ortogo- nale rispetto al quale la curva (50.1) assuma una forma canonica (come quelle indicate nel paragrafo 49) del tipo di:

Ia. un’ellisse, se^'(*)



,+-

e^{./ 0 21 '3()}

54

 . Ib. un singolo punto, se^'(*)



,+-

e^{.6  71 '3()}



 .

Ic. l’insieme vuoto, se^'3(*)



 +8

e^{.  9  1 '3()}



+8 .

IIa. un’iperbole, se^{'3()   4 } e^{'(*) :} .

IIb. due rette non parallelle, se^{'(*)   4 } e^{'(*)  ;} . IIIa. una parabola, se^{'3()  ;} e^{'3() :} .

IIIb. una singola retta, se^{'3()  < '3(*)  =} e la caratteristica della matrice^ `e uguale a^> .

IIIcd. due rette parallelle oppure l’insieme vuoto, se^'3()



<

'(*)



? e la carat- teristica della matrice



`e uguale a . La distinzione tra questi due casi richiede un’ulteriore analisi [vedi la (50.27) e la (50.28)].

I casi (Ia), (IIa) e (IIIa) corrispondono alle cosiddette coniche non degeneri, cio`e coniche che non si riducono ad una retta, due rette, un singolo punto o l’insieme vuoto.

Ci`o ultimo accade ad esempio per l’equazione di secondo grado



@

>

?A

(50.4) che, essendo ^{
 > +B} , non `e soddisfatta da alcuna coppia <sup>.CA
1EDF </sup> ; cio`e corrisponde all’insieme vuoto. Questo `e un caso in cui vale la (Ic). Infatti,

GHHHHHH

IHHHHHHJ '3()



 

'(*),K

> 



>ML

 >

+8A

.  

 1 '3(*)



=

'3()

N >

O

 > 

O

>

!P

"

=E+-

(50.5)

Dimostriamo ora la suddetta classificazione delle coniche interamente. L’idea prin- cipale `e di ricondurre l’equazione generale (50.1) ad una forma canonica indicata nel paragrafo 49 tramite un’opportuna rotazione seguita da un’opportuna traslazione.

Cominciamo a trasformare l’equazione (50.1) con una rotazione del tipo

Q

RSTUWVX&Y

S

sen^X

;ZSsen^XR
S2T*UVX

(50.6)

Il primo membro di (50.1) diviene

[   







  \  

 

9 <

B]^T*UV_`Xa  3

 senX\T*UWVXR 

 sen^{2X`bc S}

0]3

 . T*UV`X&Y

sen^2X 1 .



Yd3

1senX\TUWVXebc

S
S

?] 

sen^ X&Yd   senXT*UVXR 



T*UWV  Xeb

S

0]3_`TUWVXa 9

 

sen^{Xebf S} 0]gYh3_

sen^{Xa 9} 

`T*UVX`b

S   

(50.7) L’equazione nelle variabili^ZS,
^S diviene di tipo

i  S i 
S

j 

S

0j  
S

  ;A

(50.8) dove

#

j _

j

  %

$#

T*UVX

sen^X

Y sen^{X TUWVX} % #  _

   % A

(50.9)

purch`e il coefficiente del coefficiente<sup>S
S</sup> sia nullo, cio`e purch`e

   . TUWV`XkY

sen^{X 1 .  Yl  1}senX\T*UVXl?

(50.10)

Dividendo per^{TUWV  X} abbiamo l’equazione di secondo grado in tg^X :

  .



Yd 

1tg^{XmYl }  tg^{ Xdn} (50.11)

`e possibile impostare la risoluzione di tale equazione rispetto a tg^X (per poi ricavare

X ) soltanto se il discriminante dell’equazione `e non negativo:

o  .



Yd 

1 9pW 

,q

 (50.12)

Ovviamente la condizione (50.12) `e sempre soddisfatta, perch´e il<sup>o</sup> risulta somma di due quadrati. Perci`o `e sempre possibile ricavare tg^X in modo che valga la (50.11) e, in definitiva, in modo da trasformare l’equazione nella forma (50.8).

Osserviamo ora che risulta^{o ?} in (50.12) se e solo se

r?



A 



A

(50.13) che corrisponde al caso della circonferenza (si confronti con le (49.3); naturalmente deve essere soddisfatta la condizione (49.6)). In tal caso il coefficiente del termine

ZS

S

, indicato nella (50.10), `e nullo qualunque sia il valore dell’angolo di rotazione^X , concordemente con l’evidente fatto geometrico che, nel caso di una circonferenza con centro nell’origine degli assi, l’equazione resta canonica (il luogo geometrico rimane invariato rispetto agli assi) qualunque sia la rotazione.

Per ridurre la (50.8) ad una forma canonica senza termini proporzionali a^ZS,
^S bisogna richiedere che

i 

e

i  siano ambedue diversi da zero. Completando i quadrati otteniamo

i  # S

j

i  %  i  #
S

j

 

i  %  

j

_

i  j  

i 

Yl s

(50.14)

Abbiamo i sequenti casi:

a.

i 

,

i  hanno segni diversi e la parte a destra nella (50.14) non si annulla. In tal caso risulta un’iperbole. Se

i  tY

i  , questa iperbole `e rettangolare.

b. ^{i } ,ⁱ  hanno segni diversi e la parte a destra nella (50.14) si annulla. In tal caso risultano due rette non parallelle. Queste rette sono gli asintoti dell’iperbole descritta nella parte (a).

c. ^{i } ,ⁱ  hanno lo stesso segno, la parte a destra nella (50.14) non si annulla e ha lo stesso segno. In tal caso risulta un’ellisse con l’intersezione degli assi nel punto di coordinateuvwY&x

yz|{

} z ,
u<wY&x y[~{

} ~ 1. Per^{i   i}  risulta una circumferenza.

d. ^{i } ,ⁱ  hanno lo stesso segno e la parte a destra nella (50.14) si annulla. In tal caso risulta il singolo punto di coordinate ^{u tY x}

y2z€{

} z ,
^{u wY x}

y[~{

} ~ 1. e.

i 

,

i  hanno lo stesso segno, la parte a destra nella (50.14) non si annulla e ha il segno opposto. In tal caso risulta l’insieme vuoto, siccome la (50.14) non pu `o essere soddisfatta.

Nei casi (a)-(e) lo spostamento dell’origine al suddetto punto ^{. u A
u} 1, cio`e la traslazione delle coordinate

j

R

S j

_

i  A j


S j  

i  A

(50.15) conduce alla forma canonica

i  j  i  j

  i  A

(50.16) dove^{i sA i}  non si annullano.

Quando una delle costanti^{i } ,ⁱ  si annulla,¹risulta una parabola, un caso degenere della parabola o l’insieme vuoto. Perⁱ 

? e^{i  ?:} risulta l’equazione

j

Z 

j

 

i 
S  j



Y i

[ 

i  

(50.17)

In tal caso abbiamo una parabola se^j   :

‚ , due rette paralelle se ^j 

ƒ‚

e ^{j  +}

i   

, una singola retta se ^j   „

e ^{j _  i   } , e l’insieme vuoto se ^j   „

e

j



4 i   

. D’altra parte, se^{i  } eⁱ  :

 e quindi risulta l’equazione

j

 

j _

i  S 

j   Y i   

i 

 A

(50.18)

abbiamo una parabola se^{_j …:} , due rette paralelle se^_\…j e^{j }

  + i 

 

, una singola retta se^j; e^{j }

   i 

 

, e l’insieme vuoto se^_;j e^{j }

  4 i 

 

. Infine, osserviamo che

      

9



‡†

?ˆ



 #
% A

(50.19) dove



 `e la matrice (50.3). Scrivendo la trasformazione (50.6) in forma matriciale

#
%

?‰

.X 1 # ZS

S % A ‰ .X 1  #

T*UWVX Y

sen^X

sen^{X T*UWVX} % A

(50.20)

otteniamo

   0s 





  i  S i 
S A

(50.21) dove

# i  

 i  %

;‰

.

YhX

1 

 ‰ .X 1 

(50.22)

Siccome i determinanti delle matrici di rotazione^{‰ .YhX 1} e^{‰ .X 1} sono uguali ad ^> , risulta dalla (50.22)

i  i  

'3()



s

(50.23)

1Non si annullano tutti e due, poich`e avremmo per la (50.1) l’equazione lineareŠ[‹sŒ|[Ž^<Š[‹2‘*’Z‹2“6”

•

.

In altre parole, il determinante della ^ `e uguale al prodotto ^  delle costanti ^,

i  . Inoltre, si vede facilmente che

i



i 

;6 



 (50.24)

Dalla (50.9) e dalla (50.22) si ottiene facilmente l’uguaglianza

T*UVX

sen^{X }

Y sen^{X TUWVX }

  > !"  

T*UVX Y

sen^{X }

sen^{X T*UVX }

  > !"   i   j _

 i 

j

 

j _ j    

!" A

(50.25) dove ^ `e la matrice (50.2). Siccome i determinanti delle due matrici di rotazione (intorno all’asse^– ) sono uguali ad^> , risulta

'3()

  i  i 

 hY i  j 

_

Y i

j

  A

(50.26) che `e il determinante della matrice della parte a destra della (50.25).

Ritorniamo alla classificazione nel caso^{i  i}  :

? dopo la (50.14). Prima vediamo che la parte a destra della (50.14) vale ^{Y '3(*) ;— .i  i}  1. Con l’aiuto delle (50.23) e (50.24) dimostriamo i casi (Ia)-(Ic) e (IIa)-(IIb) della classificazione delle coniche.

Se

i  :

˜ e

i 

˜ , allora ^{'3(*)  ™Y}

i  j

 

[vedi la (50.26)]. In tal caso la matrice nella parte a destra della (50.25) si riduce ad una matrice di ordine^š con la seconda riga e la seconda colonna nulle; cancellando questa riga e questa colonna si ottiene la matrice^›m

# i  j

j _  

% 

(50.27)

Dall’altra parte, se

i  t

e

i  :

B , allora^'3(*)



œY i  j

_ [vedi la (50.26)]. In tal caso la matrice nella parte a destra della (50.25) si riduce ad una matrice di ordine^š con la prima riga e la prima colonna nulle; cancellando questa riga e questa colonna si ottiene la matrice^›m

# i 

j

 

j



 

% 

(50.28)

Ora si vede facilmente che la conica consiste in due rette parallelle se il determinante della (50.27) o della (50.28) `e negativo, in una singola retta se questo determinante si annulla, e nell’insieme vuoto se questo determinante `e positivo. Quindi abbiamo ottenuto i casi (IIIa)-(IIId) della classificazione delle coniche.

Esempi. Classifichiamo le seguenti coniche:

1. ^{ 9p
 YMpW 0p
š> ?} [ellisse, caso Ia];^.žYŸ 1

Ÿp

.€

š 1 

  .

2. ^{ žp
 Y\pW ¡sp
žpW,;} [singolo punto, caso Ib];^{.rY¢ 1  ¢p .€
š 1 ;} .

3. ^{ £p
 Y¢p  asp
£pW v} [l’insieme vuoto, caso Ic];^{.<Y¡ 1  £p .|
š 1  }

Yh  .

4.   ^{ YRp
 Ym¤p ¥Ya¦
l§¨¥?} [iperbole, caso IIa];  ^{.¥Y š 1  Y£p .€
> 1   >} .

5.   ^{ Ylp
 YŸ¤sp žYŸ¦
-§ §E©} [2 rette non parallelle, caso IIb];  ^{.žY š} 1  Y

p

.€

> 1 ?

.

6. ^{ Y > s¢Y
ŸpWpª;} [parabola, caso IIIa];^.žYd¤ 1 
š .

7. ^{ &p
&p
} lv &p

>

; [singola retta, caso IIIb];^{.v l
>} 1 ;

.

8. ^{ vp
,p
 ¥` vp
Y š </sup> [due rette parallelle, caso IIIc];<sup>.` ¥
>} 1

p .

9. ^{ ,pW
¥p
 Ee ,p
ª¤,?} [l’insieme vuoto, caso IIId];^{.e ª
>} 1

«Yrp

.

La seguente tabella contiene i valori di^'3(*)



 , di^'3(*)



e della caratteristica di



per i nove esempi.

Esempio 1 2 3 4 5 6 7 8 9

'3(*)



 p p p Y š ¨ Y š ¨    

'3(*)

 Y š ¨  š ¨ Y >

p p  Y > — p   

car^{ š  š š  š >}