Il modello matematico

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Il modello matematico

Per analizzare il comportamento sismico di una struttura reale occorre innanzitutto confezionare un apposito modello matematico in grado di cogliere le caratteristiche geometriche e meccaniche dell'edificio.

Quale ausilio di modellazione e calcolo si è scelto di utilizzare il software SismiCad v11.10 della Concrete s.r.l.

5.1 Il modello a telaio equivalente

La modellazione matematica della struttura deve poter essere conforme al tipo di analisi che si pensa di utilizzare. Nel caso della muratura, la CE n.617 suggerisce il metodo della pushover analysis perché più rappresentativo del comportamento ultimo dei maschi e, quindi, della risposta sismica globale dell'edificio34_.

L'ipotesi di comportamento lineare rappresenta un'approssimazione notevole per la muratura, il cui comportamento è spiccatamente non lineare in special modo quando non armata. Ne consegue che la modellazione scelta è quella a telaio equivalente con elementi deformabili. Le varie pareti costituenti l'edificio vengono studiate separatamente, ad ogni parete portante sarà associato un diverso telaio.

Se la geometria della parete e delle aperture è sufficientemente regolare, è possibile idealizzare una parete muraria mediante un telaio equivalente costituito da elementi maschio (ad asse verticale), elementi fascia (ad asse orizzontale) ed elementi nodo. Gli elementi maschio e gli elementi fascia vengono modellati come elementi di telaio (beam-column) deformabili assialmente e a taglio. Se si suppone che gli elementi nodo siano infinitamente rigidi e resistenti, è possibile modellarli numericamente introducendo opportuni bracci rigidi (offsets) alle estremità degli elementi maschio e fascia35_.

I vai telai non sono mai svincolati gli uni dagli altri, la presenza di solai più o meno rigidi e dei cantonali assicura il collegamento tra le parti e permette di realizzare il comportamento scatolare.

34 CE n.617, §C7.8.1.5.4 35 G. Magenes, 2000

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I legami costitutivi degli elementi maschio e fascia richiedono una formulazione tridimensionale. Considerando un sistema di riferimento x-y-z, orientato secondo gli assi principali di un elemento maschio, si assume che il comportamento deformativo relativo alla deformazione nel piano z-y sia indipendente da quello nel piano z-x e viceversa.

Il comportamento statico fuori dal piano di un muro viene modellato in analogia con il comportamento nel piano.

Pareti composte da muri intersecanti vengono scomposte in maschi semplici a sezione

75. G. Magenes, 2000: Schematizzazione a telaio equivalente di una parete caricata nel piano

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rettangolare. La continuità fra gli spostamenti verticali di due muri ortogonali può essere eventualmente imposta al livello dei solai mediante gli offset rigidi. Tale opzione consente di simulare in modo approssimato un eventuale buon ammorsamento fra i muri36_.

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5.2 Individuazione dei livelli di conoscenza e dei fattori di confidenza

Il modello per la valutazione della sicurezza deve essere definito e giustificato in ogni sua parte in relazione al comportamento strutturale attendibile della costruzione.

Il DM 2008, di concerto con la circolare n.617, stabilisce tre diversi livelli di conoscenza del fabbricato esistente, individuati in funzione delle operazioni conoscitive effettuate.

Ad ogni livello di conoscenza corrisponde un fattore di confidenza, ulteriore coefficiente parziale di sicurezza che tiene conto delle carenze nella conoscenza dei parametri del modello37_:

• LC3, si intende raggiunto quando siano stati effettuati il rilievo geometrico, verifiche in situ estese ed esaustive sui dettagli costruttivi, indagini in situ esaustive sulle proprietà dei materiali. FC = 1;

• LC2, si intende raggiunto quando siano stati effettuati il rilievo geometrico, verifiche in situ estese ed esaustive sui dettagli costruttivi ed indagini in situ estese sulle proprietà dei materiali. FC = 1,2;

• LC1, si intende raggiunto quando siano stati effettuati il rilievo geometrico, verifiche in situ limitate sui dettagli costruttivi ed indagini in situ limitate sulle proprietà dei materiali. FC = 1,35.

Il primo passo per la corretta individuazione del sistema strutturale esistente è la ricostruzione del processo di realizzazione e l'individuazione delle modifiche subite nel tempo, di notevole importanza operativa per la modellazione meccanica globale dell'edificio. Questa fase è già ampiamente affrontata nei §1-3.

In secondo luogo, occorre procedere con le operazioni di rilievo architettonico e strutturale mirate a ricostruire la fisicità del manufatto ed a porne in luce i dettagli costruttivi più significativi. Nel caso in esame, il rilievo non è stato direttamente svolto, ma ci si è affidati al rilievo esistente in mano ai professionisti che si occupano del nuovo progetto di ampliamento. La norma richiede di esaminare con particolare attenzione i seguenti dettagli costruttivi:

• qualità del collegamento tra pareti verticali;

• qualità del collegamento tra orizzontamenti e pareti ed eventuale presenza di cordoli di piano o di altri dispositivi di collegamento;

• esistenza di architravi strutturalmente efficienti al di sopra delle aperture; • presenza di elementi ad elevata vulnerabilità;

• presenza di elementi strutturalmente efficienti atti ad eliminare le spinte eventualmente

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presenti;

• tipologia di muratura e sue caratteristiche costruttive.

Le verifiche in situ sui dettagli costruttivi suggerite dalla circolare n.617 sono di tipo:

• Limitato, rilievi visivi operati rimuovendo l'intonaco e saggi nella muratura che consentano di individuare le caratteristiche dell'apparecchiatura muraria, dell'ammorsamento tra muri ortogonali e dei solai nelle pareti. I collegamenti possono essere desunti da una conoscenza approfondita delle tipologie dei solai e della muratura; • Esteso ed esaustivo, rilievi visivi effettuati ricorrendo a saggi nella muratura che consentano di esaminare le caratteristiche sia in superficie che nello spessore murario e di ammorsamento tra muri ortogonali e dei solai nelle pareti. I collegamenti devono essere verificati in modo sistematico nell'intero edificio.

Come appare dal §4, le verifiche effettuate sono da considerarsi Limitate.

E' in ultimo importante caratterizzare i materiali di cui è composto l'organismo strutturale sulla base sia della documentazione storica, sia di verifiche in situ.

L'esame della qualità muraria ha come finalità principale quella di stabilire se la muratura in esame è capace di un comportamento strutturale idoneo a sostenere le azioni statiche e dinamiche prevedibili per l'edificio in oggetto, tenuto conto delle categorie di suolo. In quest'ottica sono di particolare importanza la presenza/assenza di elementi di collegamento trasversale, la forma, la tipologia dei blocchi, la tessitura, le giaciture e la qualità dei letti di malta.

Le indagini in situ che si possono svolgere si possono categorizzare come segue:

• Indagini Limitate, sono basate su esami visivi della superficie muraria, condotti dopo la rimozione di una porzione di intonaco della dimensione minima di 1m x 1m da eseguirsi preferibilmente negli angoli al fine di verificare le ammorsature tra le pareti; • Indagini Estese, le indagini sono svolte in maniera estesa e sistematica, con saggi

superficiali ed interni per ogni tipo di muratura presente. Sono opportune prove sulle murature, come quelle con il martinetto piatto e quelle di caratterizzazione della malta. Metodi non distruttivi possono essere impiegati solo a complemento delle prove semi-distruttive di cui sopra;

• Indagini Esaustive, oltre alle indagini estese si effettuano le prove sperimentali distruttive, come la prova di compressione diagonale su pannelli o le prove combinate di compressione verticale e taglio.

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Globalmente si è attinto il livello LC1, cui corrisponde FC=1,35.

Il rilievo degli aspetti costruttivi della muratura ha per scopo il riconoscimento della tipologia muraria e la categorizzazione in tipologie canonizzate nella circolare n.617. In base a questo riconoscimento ed al livello di conoscenza si procede ad identificarne le caratteristiche meccaniche.

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5.3 Caratterizzazione meccanica della muratura

Come già evidenziato, la struttura è stata costruita in fasi alterne e la muratura impiegata ha caratteristiche molto diverse da fase a fase (v.§4). Di queste murature si è cercato il corrispondente nelle tipologie canonizzate dalla circolare n.617.

Alla prima fase costruttiva (in arancio in fig.77) corrisponde una muratura esterna dal paramento caotico e dallo spessore notevole di 55cm. Con buona approssimazione la si può considerare appartenente alla tipologia normata muratura a conci sbozzati con paramento di limitato spessore e nucleo interno.

Alla seconda fase costruttiva, rimaneggiata in epoche recenti, (in verde in fig.77) corrisponde una muratura esterna di spessore circa 40cm in laterizi organizzati in filari ordinati. La tipologia scelta è la muratura in mattoni pieni e malta di calce.

Alla terza fase costruttiva (in blu in fig.77) corrisponde una muratura molto simile a quella

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della prima fase costruttiva, ma listata.

Negli ultimi due ampliamenti la muratura non è stata osservata direttamente per mancanza di saggi, con buona approssimazione è anch'essa in mattoni pieni e malta di calce consolidata in tempi recenti con la tecnica del betoncino armato.

La muratura interna è di spessore variabile e non si può in nessun caso osservare direttamente. La categorizzazione è quindi effettuata per analogia. Laddove ha spessore confrontabile con quella esterna, la caratterizzazione per analogia rimane la stessa.

Nei corpi blu ed arancio (fig.77), quando lo spessore diminuisce si sceglie la tipologia muratura in pietrame disordinata (ciottoli, pietre erratiche e disordinate).

In funzione delle diverse tipologie murarie, la CE n.617 stabilisce i valori di riferimento minimi

78. CE n.617, §C8A.2: valori di riferimento dei parametri meccanici (minimi e massimi) e dei pesi specifici medi per le diverse tipologie di muratura

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e massimi di resistenza media a compressione, resistenza media a taglio, valore medio dei moduli di elasticità normale e tangenziale e peso specifico nell'ipotesi di malta con caratteristiche scarse, assenza di listature, paramenti semplicemente accostati o mal collegati, muratura non consolidata, tessitura a regola d'arte (nel caso di blocchi regolari).

Oltre a questo, fornisce i coefficienti correttivi per alcuni casi ricorrenti e la metodologia di calcolo del valore di riferimento meccanico delle suddette caratteristiche.

79. CE 2009, § C8.A.2, Coefficienti correttivi dei parametri meccanici

80. CE 2009, §C8.A.1.A.4: Livelli di conoscenza in funzione dell'informazione disponibile e conseguenti valori dei fattori di confidenza per edifici in muratura

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Si ottiene in definitiva:

Tabella 3: Caratterizzazione della muratura per l'edificio in esame, elaborazione personale

Caratterizzazione della muratura

1. muratura in mattoni pieni e malta di calce

Rif. Norme Denominazione Valore Confronto

§C8A.1.A.4 Livello di conoscenza LC1

Fattore di confidenza FC 1,35

Muratura non consolidata

§C8A.2

Resistenza media a compressione 240

400 240 tab. C8A.1.1

Resistenza media a taglio 6,0

9,2 6,0 tab. C8A.1.1 Modulo elastico normale medio 1200

1800 1500 tab. C8A.1.1 Modulo di elasticità tangenziale medio 400

600 500 tab. C8A.1.1

Peso specifico medio w 18 kN/mc

Muratura consolidata con intonaco armato

§C8A.2 Coefficiente correttivo β 1,5

Modulo elastico normale medio E 2250 Modulo di elasticità tangenziale medio G 750

2. muratura a conci sbozzati, con paramento di limitato spessore e nucleo interno

Muratura senza listature

§C8A.2

300 200 tab. C8A.1.1

480 410 tab. C8A.1.1

Muratura listata

§C8A.2 Coefficiente correttivo β 1,2

3. muratura in pietrame disordinata (ciottoli, pietre erratiche e irregolari)

§C8A.2

180 100 tab. C8A.1.1

350 290 tab. C8A.1.1

fm min N/cm2 f_{m max} _N/cm2 τ0 m in N/cm2 τ_{0 m ax} _N/cm2 E m in N/mm2 E _{m ax} _N/mm2 G min N/mm2 G _max _N/mm2 f_m _N/cm2 τ₀ _N/cm2 N/mm2 N/mm2 f_{m min} N/cm2 f_{m max} _N/cm2 τ_{0 m in} N/cm2 τ_{0 m ax} _N/cm2 E _{m in} N/mm2 E m ax N/mm 2 G _min N/mm2 G max N/mm2 fm N/cm2 τ0 N/cm2 f_{m min} N/cm2 fm max N/cm 2 τ_{0 m in} N/cm2 τ0 m ax N/cm 2 E _{m in} N/mm2 E _{m ax} N/mm2 G min N/mm 2 G _max N/mm2

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5.4 SismiCad v11.10

SismiCad è il software per il calcolo strutturale con modellazione agli elementi finiti (FEM) utilizzato per lo svolgimento del presente lavoro di tesi. Tale software consente la modellazione tridimensionale e la progettazione automatica di strutture in cemento armato, acciaio, muratura e legno schematizzabili attraverso un modello unico spaziale composto da elementi mono o bidimensionali.

L'iter procedurale per la modellazione ed il calcolo della struttura previsto da SismiCad prevede le seguenti fasi:

• definizione spaziale della geometria della struttura utilizzando anche strumenti tipici della progettazione architettonica;

• modellazione automatica agli elementi finiti;

• calcolo FEM.

Grazie alla capacità di interfacciarsi con il Cad, è possibile introdurre i disegni architettonici direttamente nell'ambiente di lavoro ed utilizzarli quale base per la costruzione del modello tridimensionale.

Il menu Database - Materiali consente la definizione della muratura in base al DM 2008 ed alla CE n.617, mentre grazie allo strumento Disegna - Parete in muratura è possibile introdurre elementi tridimensionali dalle dimensioni desiderate fino ad ottenere la fisicità cercata.

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Ci sono elementi, quali ad esempio le volte, che il SismiCad non è pronto a gestire. In questi casi, data la grande importanza che rivestono le spinte orizzontali dovute proprio a questi, si è optato per il calcolo di tali spinte con il software SAP2000 v14.

Elaborato il modello tridimensionale con delle piastre, il modello è stato caricato con i pesi verticali e quindi sono state calcolate le spinte come reazioni sui vincoli di base.

I carichi orizzontali così ricavati sono stati introdotti in SismiCad come carichi lineari applicati all'altezza dell'imposta della volta stessa.

Si ricorda che gli archi ogivali della Chiesa non hanno funzione portante, ma sono portati da travi in cemento armato nascoste alla vista, pertanto si considera che quegli archi non producano spinte.

Caricata la struttura, SismiCad elabora automaticamente il modello matematico con schema a telaio. Si possono osservare quattro diversi elementi:

• i maschi murari (ad asse verticale), identificati con delle aste di colore rosso. Sono modellati come elementi monodimensionali a comportamento bilineare elastico perfettamente plastico deformabili assialmente e a taglio;

• le fasce di piano (ad asse orizzontale), identificate con delle aste di colore rosso. Sono modellati come elementi monodimensionali a comportamento bilineare elastico perfettamente plastico deformabili assialmente e a taglio;

• i nodi rigidi, identificati con due quadratini concentrici, rosso e giallo.

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• Le membrane semirigide, modellazione dei solai metallici, che appaiono nel modello quali piani di colore blu a collegare i nodi. Viene mantenuto un collegamento tra i nodi del piano connessi a vertici degli elementi di solaio e lo sforzo normale nelle aste è limitato dalla resistenza a trazione degli elementi metallici.