Programma del corso di Analisi Matematica 1 Ingegneria Meccanica – Canale 2 – docente G. Colombo
Anno Accademico 2020/2021
Legenda: dove compare (D) si intende che la dimostrazione del risultato `e ri- chiesta a tutti; dove compare (d) si intende che la dimostrazione del risultato `e facoltativa e sar`a richiesta solo agli studenti ammessi alla prova orale con un voto maggiore o uguale a 25. Le dimostrazioni restanti non sono richieste. Tutte le de- finizioni e gli enunciati qui elencati sono richiesti, insieme agli esempi fondamentali che li illustrano.
Elementi introduttivi
Proposizioni, connettivi logici, quantificatori. Leggi di De Morgan. Principio di induzione.
Il fattoriale, il coefficiente binomiale ed il binomio di Newton (dim. non richieste).
Unione, intersezione, differenza, complementazione e prodotto cartesiano.
Numeri razionali. Propriet`a di Archimede, numerabilit`a, rappresentazione deci- male. Irrazionalit`a di √
2 (d).
Numeri reali. Definizione. Teorema di completezza. Intervalli. I simboli −∞ e +∞
e la retta reale estesa. Modulo o valore assoluto. Disuguaglianza triangolare (d).
Insiemi limitati, superiormente ed inferiormente limitati. Maggioranti, minoranti, massimo e minimo di un insieme. Definizione di estremo superiore, di estremo inferiore e loro caratterizzazione (D). Propriet`a di Archimede. Densit`a di Q in R (d). Radicali e potenze ad esponente reale. Logaritmi.
Funzioni.
Definizione di funzione. Grafico di una funzione. Immagine e controimmagine di un insieme. Composizione di funzioni. Funzioni iniettive. Funzione inversa.
Funzioni pari e dispari. Funzioni monotone. Funzioni periodiche. Funzioni limi- tate e illimitate. Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione. Potenze ad esponente intero e radici. Potenze ad esponente reale. Espo- nenziale e logaritmo. Funzioni trigonometriche e loro inverse. Funzioni iperboliche e loro inverse. Grafici di queste funzioni.
Limiti di funzioni di una variabile reale
Intorni sferici. Propriet`a di separazione degli intorni (D). Definizione di punto di accumulazione e di punto isolato.
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Limiti e loro calcolo. Definizione di limite. Teorema di unicit`a del limite (D).
Limiti destro e sinistro. Esistenza dei limiti destro e sinistro ed esistenza del limite (d). Teorema della permanenza del segno (D). Teorema del confronto. Teorema dei due Carabinieri (D). Il limite fondamentale di (sin x)/x per x → 0 (D). Limiti di funzioni monotone (D). Teorema del cambio di variabile. Limiti della somma (D), del prodotto e del quoziente di due funzioni. Limiti fondamentali derivanti da quello di (sin x)/x per x → 0 (d). Numero di Nepero, il limite di (1+1/n)nper n →
±∞ (D) e limiti fondamentali conseguenti (d). Forme indeterminate. Il simbolo
“o” piccolo: definizione e sua algebra; il simbolo “∼”. Sviluppo asintotico di una funzione composta. Principio di sostituzione degli infinitesimi e degli infiniti (D).
Confronto fra infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e infinitesimo. Gerarchia degli infiniti tra le funzioni elementari (d).
Successioni e serie numeriche
Successioni. Definizione di limite per una successione. Successioni convergenti, divergenti, indeterminate. Gerarchia degli infiniti (d). Limite di successioni mo- notone. Progressione geometrica. Caratterizzazione del limite di funzioni con le successioni (d). Sottosuccessioni e teorema di Bolzano-Weierstrass (d).
Serie. Definizione di somma parziale e di serie convergente, divergente, indeter- minata. Carattere e somma di una serie geometrica (D). Carattere della somma di serie convergenti e del prodotto di una serie per una costante (d). Resto parzia- le n-esimo. Limite del termine generale di una serie convergente (D). Carattere della serie armonica (D) e della serie armonica generalizzata (d). Carattere di una serie a termini definitivamente non negativi (D). Definizione di convergenza assoluta e sua relazione con la convergenza semplice (D). Criterio del confronto (D). Criterio asintotico del confronto (D). Criterio del rapporto e corrispondente criterio asintotico. Criterio della radice (D) e corrispondente criterio asintotico (D). Criterio di Leibniz (D).
Funzioni continue di una variabile reale
Definizione di funzione continua. Continuit`a della somma, del prodotto e del quoziente di funzioni continue. Continuit`a della composizione di funzioni conti- nue. Sviluppo asintotico della composizione di funzioni. Discontinuit`a di prima e seconda specie. Discontinuit`a eliminabile e prolungamento per continuit`a. Teore- ma di Weierstrass (D). Teorema di Bolzano o degli zeri (D). Teorema dei valori intermedi (D). Continuit`a delle funzioni elementari.
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Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale
Definizioni e prime propriet`a. Definizione di derivata, di approssimazione del prim’ordine e di retta tangente. Continuit`a di una funzione derivabile (D). Deri- vate destra e sinistra. Legame tra derivabilit`a e derivabilit`a da destra e da sinistra (d). Derivata della somma (D), del prodotto (D) e del quoziente di funzioni de- rivabili. Derivata della funzione inversa di una funzione derivabile. Derivata della composizione di funzioni (D). Calcolo delle derivate delle principali funzioni ele- mentari (d). Derivata del modulo di una funzione (D). Classificazione dei punti di non derivabilit`a: punto angoloso, flesso a tangente verticale, cuspide. Funzione derivata e derivate successive. Derivate successive, funzioni di classe Cn e di classe C∞.
Propriet`a delle funzioni derivabili. Teorema di Fermat (D). Teorema di Rolle (D). Teorema di Lagrange (D). Teorema di Cauchy. Costanza delle funzioni con derivata nulla (D). Legame tra monotonia e derivata prima (D). Teorema di De L’Hˆopital ((d) solo nel caso 00). Teorema sul limite della derivata (d). Esercizi sul numero degli zeri di funzioni con metodi di calcolo differenziale. Definizione di funzioni convesse e concave. Teorema sulla monotonia della derivata prima in una funzione convessa. Legame tra convessit`a e segno della derivata seconda.
Punti di flesso. Legame tra punti di flesso e zeri della derivata seconda. Asintoto orizzontale, verticale e obliquo e studi di funzione.
Formula di Taylor. Polinomio di Taylor e di MacLaurin. Formula di Taylor con il resto di Peano (D). Sviluppi delle funzioni elementari pi`u comuni (D); calcolo di limiti mediante gli sviluppi asintotici. Formula di Taylor con il resto di Lagrange.
Calcolo integrale per funzioni di una variabile reale
Integrale di Cauchy-Riemann. Partizioni e partizioni puntate di un intervallo. Am- piezza di una partizione. Somme di Cauchy. Definizione di funzione integrabile e di integrale. Integrale come area (con segno) del sottografico. Integrabilit`a delle funzioni costanti.
Classi di funzioni integrabili. Non integrabilit`a della funzione di Dirichlet. Inte- grabilit`a delle funzioni continue a tratti.
Propriet`a degli integrali. Linearit`a dell’integrale. Additivit`a rispetto all’interval- lo di integrazione. Monotonia. Disuguaglianza sul modulo dell’integrale di una funzione integrabile. Teorema della media (D).
Calcolo di integrali. Il concetto di primitiva di una funzione. Legame tra primitive di una stessa funzione su un intervallo (D). Definizione di funzione integrale.
Teorema fondamentale del calcolo, versione Teor. 7.13 (D) e versione Teor. 7.8 ((D) nell’Osservazione 7.20 a p. 494). Metodi di integrazione: integrali immediati
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o ad essi riconducibili, integrazione per parti (d), integrazione per sostituzione (d).
Sostituzioni classiche trigonometriche e iperboliche per alcuni integrali irrazionali.
Integrali di alcune classi di funzioni razionali fratte o integrali ad esse riconducibili.
Integrali generalizzati. Definizione di integrabilit`a in senso generalizzato e di in- tegrale generalizzato (o improprio). Assoluta integrabilit`a. Integrabilit`a in senso improprio delle funzioni assolutamente integrabili. Criterio del confronto (D). Cri- terio asintotico del confronto. Criterio dell’integrale per le serie (d). Integrabilit`a di 1/xα in [0, 1] e in [1, +∞[ (D) e di 1/(xα(log x)β) in [2, +∞[ (D). Convergenza delle serie P∞
n=11/nα (D) e P∞
n=21/(nα(ln n)β) (D).
Metodi risolutivi per alcuni tipi di equazioni differenziali
Equazioni lineari del primo ordine: integrale generale; problema di Cauchy; esi- stenza e unicit`a della soluzione di un problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili: metodo di risoluzione, problema di Cauchy. Equazioni lineari del se- cond’ordine a coefficienti costanti: struttura dell’integrale generale, metodo dei coefficienti indeterminati.
Testo adottato: A. Marson, P. Baiti, F. Ancona, B. Rubino, Analisi Matema- tica 1, Teoria e applicazioni, Carocci, Roma 2010.
E disponibile una dispensa a cura di G. Colombo, edita dalla CUSL (via Belzoni` 162, Padova), contenente temi d’esame svolti.
Giovanni Colombo [email protected]
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