Continuit`a di funzioni

Continuit`

a di funzioni

Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Universit`a degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica

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a.

Definizione (Continua in c)

Sia I un intervallo aperto, c ∈ I e f : I → R. La funzione f `e

continua in c se esiste

lim

x →cf (x )

e vale f (c).

Definizione (Continua in I aperto)

Sia I un intervallo aperto, f : I → R. La funzione f `econtinua in I

se e solo se `e continua in ogni c ∈ I .

Definizione (Continua in I chiuso)

Sia I = [a, b] un intervallo chiuso, f : I → R. La funzione f `e

continua in I se e solo se `e continua in ogni c ∈ I interno,

Continuit`

a.

Definizione

Si parla di continuit`a in c se e solo se `e definita in c.

Esempio

La funzione f (x ) = 1_x `e definita in R\{0} e quindi non si pu`o parlare di continuit`a in 0.

Esempio

Continuit`

a: esempio

Esempio

Si consideri la funzione f (x ) = segno(x ) dove

segno(x) =    1, x > 0 0, x = 0 −1, x < 0 Si verifica facilmente che

Da limx →3f (x ) = 1 = f (3), la funzione `e continua in 3.

Da limx →−3f (x ) = −1 = f (−3), la funzione `e continua in

−3.

Continuit`

a: esempio

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

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a: salti.

Definizione (Discontinuit`a di salto)

Sia f definita in x∗= c. Se lim_{x →c}−f (x ) = L₋, limx →c+f (x ) = L₊, L−6= L+,

allora si dice che f ha unadiscontinuit`a di salto in x = c, e salto uguale a

L+− L−= lim

Continuit`

a: salti.

Esempio

La funzione segno ha in x = 0 una discontinuit`a di salto, con salto di valore 2. Esempio La funzione f (x ) =  1, x > 0 0, x ≤ 0

ha in x = 0 una discontinuit`a di salto in quanto L+= 1, L−= 0,

con salto di valore 1.

Osserviamo che f non `e continua in x = 0 ma `e continua da sinistra in quanto

lim

Continuit`

a: discontinuit`

a.

Nota.

Siano f : X ⊆ R → R, e X sia un intervallo. La discontinuit`a pu`o essere di tre tipi

f ha unadiscontinuit`a eliminabile in x0 se esiste finito

limx →x0f (x ) ma

lim

x →x0

f (x ) 6= f (x0).

f ha unadiscontinuit`a di salto (o prima specie) in x0 se

esistono finiti lim_{x →x}+

0 f (x ), limx →x −

Continuit`

a: discontinuit`

a (eliminabile).

Esempio La funzione f (x ) =  1, x 6= 0 10, x = 0 ha una discontinuit`a eliminabile in x0= 0.

Svolgimento.

Essendo

lim

x →0f (x ) = 1 6= f (0) = 10.

la funzione ha una discontinuit`a eliminabile in x0 = 0. La si pu`o

Continuit`

a: discontinuit`

a (eliminabile).

Esempio La funzione f (x ) =  |x|, x 6= 0 3, x = 0 ha una discontinuit`a eliminabile in x0= 0

Svolgimento.

lim

x →0f (x ) = 0 6= f (0) = 3.

Continuit`

a: discontinuit`

a (seconda specie).

Esempio La funzione f (x ) =  1/x , x < 0 1, x ≥ 0 ha una discontinuit`a di seconda specie.

Svolgimento.

Osserviamo chelim_{x →0}−f (x ) = +∞,lim_{x →0}+f (x ) = 1. Essendo il limite sinistro di f infinito non pu`o essere di prima specie (salto), e neppure eliminabile, perche’ in x0= 0 i limiti sinistro e destro

Continuit`

a: discontinuit`

a (seconda specie).

Esempio La funzione f (x ) =  sin (1/x ), x 6= 0 1, x = 0

Continuit`

a: esempio

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10−3 −1 −0.5 0 0.5 1

Continuit`

a: discontinuit`

a

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −2 −1 0 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 2 4 6 8

Continuit`

a: esempi.

Teorema

Supponiamo f sia continua in x∗= c. Allora, per qualsiasi k ∈ R, la funzione k · f `e continua in x∗= c

Teorema

Supponiamo f e g siano continue in x∗ = c. Allora sono continue in x∗ = c pure f + g , f − g , f · g , f g (se g (c) 6= 0). Traccia.

Continuit`

a: esempi.

Teorema

Le funzioni elementari: polinomi,

potenze (ad esempio xα con α > 0), esponenziali (ad esempio ax con a > 0), logaritmi,

Continuit`

a: esempi.

Teorema (Formule di addizione)

Valgono le seguenti formula di addizione

sin (c + k) = sin (c) · cos (k) + cos (c) · sin (k)

cos (c + k) = cos (c) · cos (k) − sin (c) · sin (k).

Continuit`

a: esempi.

Teorema

Le funzioni sin (x ) e cos (x ) sono continue per ogni x ∈ R.

Dimostrazione.

Per prima cosa, mostriamo la continuit`a in x = 0 per entrambe. Da

−x ≤ sin (x) ≤ x, x ∈ [−π/2, π/2]

deduciamo che per il teorema del confronto lim

x →0sin(x ) = 0 = sin(0)

Continuit`

a: esempi.

Mostriamo ora che limx →0cos (x ) = 1 = cos (0) cio`e cos(x ) `e continua in x = 0. Infatti, essendo cos(x ), sin(x ) cateti di un triangolo rettangolo avente ipotenusa lunga 1

sin(x ) + cos (x ) ≥ 1, x ∈ [0, π/2] | sin(x)| + cos (x) ≥ 1, x ∈ [−π/2, 0] e quindi per x ∈ [−π/2, +π/2] abbiamo

1 − | sin (x )| ≤ cos (x ) ≤ 1

da cui per il teorema del confronto, limx →0cos (x ) = 1 in quanto

Continuit`

a: esempi.

Dimostriamo chesin (x ) `e continua in un punto arbitrario. Basta mostrare, in virt`u del teorema di addizione di sin(x )

lim

k→0sin (c + k) = sin (c).

In effetti, dal secondo Lemma si ha

lim

k→0sin (c + k) = k→0limsin (c) · cos (k) + cos (c) · sin (k)

= sin (c) lim

k→0cos (k) + cos (c) · limk→0sin (k)

Continuit`

a: esempi.

Dimostriamo checos (x ) `e continua in un punto arbitrario. Basta mostrare, in virt`u della formula cos(x ) = sin(π/2 − x )

lim

x →ccos (x ) = cos (c).

In effetti, dalla continuit`a di sin(x ) in un punto arbitrario c ∈ R

lim

x →ccos (x ) = x →climsin (π/2 − x )

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a: monotonia.

Teorema

Continuit`

a: monotonia.

Teorema

Sia I un intervallo aperto, x0∈ I , e sia f : I → Rmonotona decrescente. Allora lim x −x₀− f (x ) = inf {x∈I :x<x0} f (x ) ≥ f (x0) e lim x −x₀+ f (x ) = sup {x∈I :x>x0} f (x ) ≤ f (x0) Nota.

Dai teoremi precedenti si pu`o dimostrare che

le funzionimonotonehanno al pi`u uninsieme numerabile di punti di discontinuit`a.

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a: permanenza del segno.

Teorema (Permanenza del segno)

Sia I un intervallo aperto, e x0 ∈ I , e sia

f continua in x0 e definita in I ;

f (x0) > 0.

Allora esiste un intorno U di x0 tale che f (x ) > 0 per ogni x ∈ U.

Teorema

Sia I un intervallo apert, e x0 ∈ I , e sia

f continua in x0 e definita in I ;

f (x0) < 0.

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a: funzione composta.

Teorema (Continuit`a funzione composta)

Siano X , Y due intervalli aperti di R.

f : X ⊂ R → R continua in x0 ∈ X con Im(f ) ⊆ Y ;

g : Y ⊂ R → R continua in f (x0) ∈ Y .

Continuit`

a: teorema degli zeri.

Teorema (Degli zeri)

Siano f : [a, b] → R. Siano f continua in [a, b]; f (a) · f (b) < 0.

Allora esiste ξ ∈ (a, b) tale che f (ξ) = 0.

Nota.

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a: teorema degli zeri.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Continuit`

a: teorema degli zeri (applicazione).

Esercizio

Mostrare che il grafico della funzione g (x ) = x2interseca quello della funzione h(x ) = x3in almeno un punto di [−2, 2].

Svolgimento.

Il grafico della funzione g (x ) = x2interseca quello della funzione h(x ) = x3 in almeno un punto di [−2, 2], se e solo se esiste un punto per cui g (x ) = h(x ) ovvero per cui g (x ) − h(x ) = 0. La funzione continuaF (x ) = g (x ) − h(x )

(sottrazione di funzioni continue!) `e tale che

F (−2)= g (−2) − h(−2) = 4 − (−8) =12,

F (2)= g (2) − h(2) = 4 − 8 =−4,

e quindi per il teorema degli zeri, ha almeno un zero in [−2, 2].

In effetti x2_{− x}3_{= x}2_{(1 − x ) e quindi ha i soli zeri in 0 (doppio, cio`e il grafico}

Continuit`

a: teorema di Bolzano-Weierstrass.

Teorema (Bolzano-Weierstrass (1830-1860))

Siano f : [a, b] → R e f continua in [a, b]. Allora esiste M = max_[a,b]f (x );

Continuit`

a: teorema di Bolzano-Weierstrass.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Figura : Grafico della funzione continua f (x ) = sin4(x ) + cos4_{(x ) in}

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a: teorema dei valori intermedi.

Teorema (Dei valori intermedi)

Siano f : [a, b] → R e f continua in [a, b]. Siano Im(f ) = {f (x ), x ∈ [a, b]}

m = min(Im(f )); M = max(Im(f ));

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a: teorema dei valori intermedi, esempio.

Esempio

Mostrare che la funzione f (x ) = x + ex assume in [0, 1] tutti i valori tra (1, 2).

Svolgimento.

La funzione x + ex essendo somma di due monotone crescenti continue `e monotona crescente e continua. Quindi

m = f (0) = 1;

M = f (1) = 1 + e > 2;

L’asserto deriva dal teorema dei valori intermedi, essendo

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a: alcuni teoremi.

Teorema (Connessione)

Siano f : [a, b] → R e f continua in [a, b]. Allora

Im(f ) := {y ∈ R : y = f (x), per qualche x ∈ [a, b]} `e un intervallo.

Teorema (Funzione inversa)

Siano f : X → R, f continua in X e invertibile. Se X `e un intervallo oppure,

X `e un insieme chiuso e limitato, allora f−1: f (X ) → X `e continua.

Nota.

Continuit`

a: esempio

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 0 1 2 3 4 5 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −2 0 2 4 6 8 10

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a: esempio 1.

Esercizio

Determinare per la funzione

f (x ) = 1 x il dominio naturale e dove risulta continua. Svolgimento.

La funzione ha per dominio naturale l’insieme

dom(f ) = R\{0}.

In tale insieme sono soddisfatte le ipotesi del teorema dell’algebra delle funzioni continua, in quanto

1 `e continua,

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a: esempio 2.

Esercizio

Determinare per la funzione

f (x ) = x

5_{+ 3x}2_{+ x − 1}

x4_{− 1}

il dominio naturale e dove risulta continua. Svolgimento.

La funzione ha per dominio l’insieme

dom(f ) = R\{±1} in quanto x4− 1 = 0 esclusivamente per x = ±1.

In tale insieme sono soddisfatte le ipotesi del teorema dell’algebra delle funzioni continua, in quanto

x5_{+ 3x}2_{+ x − 1 `e continua,}

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a: esempio 3.

Esempio

Siano Pn, Qm rispettivamente due polinomi di grado n e m. Sia

Zero(Qm) = {x ∈ R : Qm(x ) = 0}.

Ricordiamo che i polinomi sono funzioni continue. La funzione f (x ) = Pn(x )

Qm(x )

ha per dominio l’insiemedom(f ) = R\Zero(Qm) in quanto

Qm(x ) = 0 esclusivamente per x ∈ Zero(Qm).

In tale insieme sono soddisfatte le ipotesi del teorema dell’algebra delle funzioni continue, in quanto

Pn`e continua,

Continuit`

a: esempio 4.

Esercizio

Determinare per la funzione

f (x ) = log(cos4(x ) + sin4(x ))

il dominio naturale e dove risulta continua.

Svolgimento.

Osserviamo che siccome non esiste x∗per cui cos(x∗) = sin(x∗) = 0, necessariamente

cos4(x ) + sin4(x ) > 0 per ogni x ∈ R e quindidom(f ) = R.

La funzione f (x ) `e la composta delle funzioni

g (x ) = cos4(x ) + sin4(x ) continua con Im(g ) ⊆ R+\{0}. h(x ) = log(x ) che ha per dominio R+_{\{0} = Im(g ).}

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a: esempio 5.

Esercizio

Determinare per la funzione

f (x ) = 

2 − x2, se x ≤ 1 x , se x > 1. il dominio naturale e dove risulta continua.

Svolgimento.

Evidentemente il dominio corrisponde con R. Osserviamo inoltre che per x < 1 la funzione `e continua in quanto localmente coincide col polinomio 2 − x2;

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a: esempio 6.

Esercizio Per α ∈ R+ , β ∈ R, sia f (x ) =  1−cos(xα₎ x2 , se x < 0 x2_{+ β, se x ≤ 0}

Determinare dove `e continua, al variare di α, β.

Svolgimento.

Non `e difficile vedere che la funzione `e sicuramente continua in R\{0}. Inoltre f (0) = lim

x →0−f (x ) = β.

Di conseguenza la funzione `e continua in 0 per α ∈ R+, β ∈ R tali che lim

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a: esempio 6.

Ma lim x →0+f (x ) = _{x →0}lim+ 1 − cos(xα₎ x2 = lim x →0+ 1 − cos(xα₎ x2α · x2α x2 = 1 2· limx →0+x 2α−2 . Ora L = lim x →0+x 2α−2 =    0, se α ∈ (1, +∞) 1, se α = 1 +∞, se α ∈ (0, 1) e quindi la funzione `e continua quando β = (1/2)L ovvero per



β = 0 e α ∈ (1, +∞), β = 1/2, e α = 1,

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a: esercizi.

Esercizio

Fissati α ∈ R+, β, γ ∈ R, stabilire per

f (x ) = (

e−2x₋₁

x√α , se x > 0 β + γx + x2_{, se x ≤ 0}