FUNZIONI LIMITATE E FUNZIONI CONTINUE

(1)

FUNZIONI CONTINUE E

FUNZIONI LIMITATE

(2)

Una funzione reale di variabile reale è continua se si può disegnare senza staccare la matita dal foglio.

FUNZIONI CONTINUE

(3)

𝒇 𝒙 = 𝒙^𝟑

𝟐𝟎 − 𝟑 𝟐

È una funzione continua

(4)

Non è una funzione continua

(5)

diciamo che y = f(x) è continua in x

₀

se:

allora risulta

(6)

Consideriamo una funzione reale di variabile reale

y = f(x)

Prendiamo un punto

x

₀ appartenente al dominio di

f(x)

x

₀

∈ D

(7)

2. i due limiti sinistro e destro coincidono tra loro, e in particolare coincidono con la valutazione della

funzione

f

nel punto x₀:

Diciamo che f(x) è continua in x

₀

se

1. esistono, e sono finiti, i due limiti sinistro e destro

= 𝑓 𝑥

₀

=

(8)

Un altro modo per dire che la funzione

y = f(x)

è continua:

se poniamo

x = x

₀

+h

^{, con}

h

variabile, allora la condizione di continuità si può esprimere In questo modo

(9)

Deduzioni

1. Esiste il valore della funzione nel punto

x

₀

2. Esiste ed è finito il limite della funzione per

x → _x

₀

3. Il limite coincide con il valore assunto dalla funzione nel punto

(10)

Se una funzione f(x) è continua in un punto

x

₀

il calcolo del limite per

x

^{tendente a}

x

₀

si ottiene ponendo nella funzione

x = x

₀

(11)

Esempi di funzioni continue

1. La funzione f(x) = k è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x₀

K

𝑥 → 𝑥𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑘_𝑜

(12)

Le funzioni di questo tipo, come ad esempio

f(x)=3

Sono tutte rette parallele all’asse delle ascisse

(13)

Altro esempio di funzione del tipo

f(x)=K

𝑓 𝑥 = 3 2

𝟑 𝟐

(14)

Esempi di funzioni continue

2. La funzione f(x) = x è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x₀

(15)

Esempi di funzioni continue

3. La funzione f(x) = xⁿ con n intero e positivo è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x₀

Esempio

:

^{con n=3}

f(x)=x

³

(16)

Esempi di funzioni continue

5. Qualunque funzione razionale fratta è continua per ogni valore di x che non annulla il denominatore

Esempio:

𝑓 𝑥 = 𝑥² + 7 𝑥² − 5

Questa è una funzione razionale fratta che ha come dominio D: x ∈ R;

i valori annullano il denominatore quindi, per questi valori di x la funzione non è continua

𝑥 ≠ ± 5 𝑥 = ± 5

𝑥 = − 5 𝑒 𝑥 = 5 si chiamano punti di discontinuità per la funzione

(17)

Esempi di funzioni continue

6. la funzione 𝑓 𝑥 = ^𝑛 𝑥

è continua per ogni x appartenente al dominio l’indice

n

è un numero naturale (

n ∈ N

)

(18)

𝑓 𝑥 = ³ 𝑥 esempi

(19)

𝑓 𝑥 = 𝑥

(20)

Esempi di funzioni continue

7. la funzione esponenziale

𝑓 𝑥 = 𝑎

^𝑥

è continua per ogni

x

appartenente al dominio l’indice

a

è un numero reale positivo e

a ≠ 1

a > 0; a ±

¹

(21)

Esempi di funzioni continue

8. la funzione logaritmo

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑥

è continua per ogni

x

appartenente al dominio D:

x > 0

l’indice

a

è un numero reale positivo e

a ≠ 1

a > 0; a ≠

1

(22)

Esempi di funzioni continue

9. le funzioni goniometriche

𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

sono continue per ogni

x

appartenente a R

𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥

(23)

Nelle pagine che seguono sono riportati alcuni

teoremi i cui enunciati descrivono delle proprietà

ovvie delle funzioni continue

(24)

Funzione continua in un intervallo

Una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b] se è continua in ogni punto dell’intervallo.

Proprietà delle funzioni continue

(25)

Se una funzione è continua e definita in un intervallo chiuso

[a,b],

avrà nell’intervallo il massimo e il minimo assoluto.

Teorema di Weirstrass

[a,b]

è il dominio della funzione.

(26)

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso

[a,b],

^essa

assume nell’intervallo ogni valore compreso tra il suo minimo e massimo assoluti.

Teorema di Bolzano

(27)

Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], e se agli estremi dell’intervallo assume valori di segno opposto, essa si annulla in almeno un punto interno all’intervallo.

(28)

Funzioni limitate

Sia f(x) una funzione il cui dominio è un intervallo (a, b) aperto.

Se esiste un numero reale h tale che per ogni x dell’intervallo (a, b) è f(x) < h allora f(x) è limitata superiormente

Se esiste un numero reale k tale che per ogni x dell’intervallo (a,b) è f(x) > k allora f(x) è limitata inferiormente

I valori h e k possono non appartenere al codominio.

(29)

Una funzione reale di variabile reale y = f(x) è limitata se il suo codominio è limitato, cioè non si estende da -∞ a +∞

Il codominio di una funzione è l’insieme dei valori della funzione che si ottengono “in funzione” dei valori della x nel dominio della funzione;

Per capire cosa significa dire che una funzione è limitata proviamo a rispondere, attraverso degli esempi, ad alcune domande:

1. La funzione ha un valore massimo?

2. La funzione ha un valore minimo?

3. Cosa succede alla funzione quando x

→

+

∞

^?

4. Cosa succede alla funzione quando x

→

_-

∞

^?

(30)

La funzione f(x)=9 – x² ^è

limitata superiormente

Esempio 1

f(x) = 9 – x²; il dominio di questa funzione è D: x є R;

Qual è il codominio? Lo possiamo scoprire dal grafico

(31)

La funzione

f(x)= -2x²+ 8x - 3

è limitata superiormente

I valori della funzione sono tutti minori o uguali al valore 5

f(x) ≤ 5

Esempio 2

(32)

è limitata inferiormente 10

25 – x²

f(x) =

La funzione

I valori della funzione sono tutti maggiori o uguali al valore 2

f(x) ≥ 2

Esempio 3

(33)

Se h e k appartengono al codominio della funzione allora si chiamano minimo assoluto e massimo assoluto.

I valori h e k possono esistere contemporaneamente; in questo caso la funzione sarà limitata sia superiormente che inferiormente

la funzione f(x) = senx è limitata sia superiormente che inferiormente

-1 ≤ f(x) ≤ 1

Esempio 4

(34)

Esempio 5

𝑓(𝑥) = 3𝑥² − 4 𝑥² + 1

questa funzione è limitata superiormente e inferiormente

-4 ≤ ^3𝑥

2−4

𝑥²+1 < 3

(35)

la funzione è limitata sia superiormente che inferiormente

-5 ≤ f(x) < 2

2 non appartiene al codominio della funzione

La funzione tende al valore 2 senza mai raggiungerlo

Esempio 6

FUNZIONI LIMITATE E FUNZIONI CONTINUE

FUNZIONI CONTINUE E