FUNZIONI CONTINUE E
FUNZIONI LIMITATE
Una funzione reale di variabile reale è continua se si può disegnare senza staccare la matita dal foglio.
FUNZIONI CONTINUE
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑
𝟐𝟎 − 𝟑 𝟐
È una funzione continua
Non è una funzione continua
diciamo che y = f(x) è continua in x
0se:
allora risulta
Consideriamo una funzione reale di variabile reale
y = f(x)
Prendiamo un punto
x
0 appartenente al dominio dif(x)
x
0∈ D
2. i due limiti sinistro e destro coincidono tra loro, e in particolare coincidono con la valutazione della
funzione
f
nel punto x0:Diciamo che f(x) è continua in x
0se
1. esistono, e sono finiti, i due limiti sinistro e destro
= 𝑓 𝑥
0=
Un altro modo per dire che la funzione
y = f(x)
è continua:se poniamo
x = x
0+h
, conh
variabile, allora la condizione di continuità si può esprimere In questo modoDeduzioni
1. Esiste il valore della funzione nel punto
x
02. Esiste ed è finito il limite della funzione per
x → x
03. Il limite coincide con il valore assunto dalla funzione nel punto
Se una funzione f(x) è continua in un punto
x
0il calcolo del limite per
x
tendente ax
0si ottiene ponendo nella funzione
x = x
0Esempi di funzioni continue
1. La funzione f(x) = k è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0
K
𝑥 → 𝑥𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑜
Le funzioni di questo tipo, come ad esempio
f(x)=3
Sono tutte rette parallele all’asse delle ascisse
Altro esempio di funzione del tipo
f(x)=K
𝑓 𝑥 = 3 2
𝟑 𝟐
Esempi di funzioni continue
2. La funzione f(x) = x è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0
Esempi di funzioni continue
3. La funzione f(x) = xn con n intero e positivo è continua in ogni suo punto; cioè qualunque sia x0
Esempio
:
con n=3f(x)=x
3Esempi di funzioni continue
5. Qualunque funzione razionale fratta è continua per ogni valore di x che non annulla il denominatore
Esempio:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 7 𝑥2 − 5
Questa è una funzione razionale fratta che ha come dominio D: x ∈ R;
i valori annullano il denominatore quindi, per questi valori di x la funzione non è continua
𝑥 ≠ ± 5 𝑥 = ± 5
𝑥 = − 5 𝑒 𝑥 = 5 si chiamano punti di discontinuità per la funzione
Esempi di funzioni continue
6. la funzione 𝑓 𝑥 = 𝑛 𝑥
è continua per ogni x appartenente al dominio l’indice
n
è un numero naturale (n ∈ N
)𝑓 𝑥 = 3 𝑥 esempi
𝑓 𝑥 = 𝑥
Esempi di funzioni continue
7. la funzione esponenziale
𝑓 𝑥 = 𝑎
𝑥è continua per ogni
x
appartenente al dominio l’indicea
è un numero reale positivo ea ≠ 1
a > 0; a ±
1Esempi di funzioni continue
8. la funzione logaritmo
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔
𝑎𝑥
è continua per ogni
x
appartenente al dominio D:x > 0
l’indice
a
è un numero reale positivo ea ≠ 1
a > 0; a ≠
1Esempi di funzioni continue
9. le funzioni goniometriche
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
sono continue per ogni
x
appartenente a R𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
Nelle pagine che seguono sono riportati alcuni
teoremi i cui enunciati descrivono delle proprietà
ovvie delle funzioni continue
Funzione continua in un intervallo
Una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b] se è continua in ogni punto dell’intervallo.
Proprietà delle funzioni continue
Se una funzione è continua e definita in un intervallo chiuso
[a,b],
avrà nell’intervallo il massimo e il minimo assoluto.Teorema di Weirstrass
[a,b]
è il dominio della funzione.Se una funzione è continua in un intervallo chiuso
[a,b],
essaassume nell’intervallo ogni valore compreso tra il suo minimo e massimo assoluti.
Teorema di Bolzano
Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a,b], e se agli estremi dell’intervallo assume valori di segno opposto, essa si annulla in almeno un punto interno all’intervallo.
Funzioni limitate
Sia f(x) una funzione il cui dominio è un intervallo (a, b) aperto.
Se esiste un numero reale h tale che per ogni x dell’intervallo (a, b) è f(x) < h allora f(x) è limitata superiormente
Se esiste un numero reale k tale che per ogni x dell’intervallo (a,b) è f(x) > k allora f(x) è limitata inferiormente
I valori h e k possono non appartenere al codominio.
Una funzione reale di variabile reale y = f(x) è limitata se il suo codominio è limitato, cioè non si estende da -∞ a +∞
Il codominio di una funzione è l’insieme dei valori della funzione che si ottengono “in funzione” dei valori della x nel dominio della funzione;
Per capire cosa significa dire che una funzione è limitata proviamo a rispondere, attraverso degli esempi, ad alcune domande:
1. La funzione ha un valore massimo?
2. La funzione ha un valore minimo?
3. Cosa succede alla funzione quando x
→
+∞
?4. Cosa succede alla funzione quando x
→
-∞
?La funzione f(x)=9 – x2 è
limitata superiormente
Esempio 1
f(x) = 9 – x2; il dominio di questa funzione è D: x є R;
Qual è il codominio? Lo possiamo scoprire dal grafico
La funzione
f(x)= -2x2 + 8x - 3
è limitata superiormente
I valori della funzione sono tutti minori o uguali al valore 5
f(x) ≤ 5
Esempio 2
è limitata inferiormente 10
25 – x2
f(x) =
La funzione
I valori della funzione sono tutti maggiori o uguali al valore 2
f(x) ≥ 2
Esempio 3
Se h e k appartengono al codominio della funzione allora si chiamano minimo assoluto e massimo assoluto.
I valori h e k possono esistere contemporaneamente; in questo caso la funzione sarà limitata sia superiormente che inferiormente
la funzione f(x) = senx è limitata sia superiormente che inferiormente
-1 ≤ f(x) ≤ 1
Esempio 4
Esempio 5
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4 𝑥2 + 1
questa funzione è limitata superiormente e inferiormente
-4 ≤ 3𝑥
2−4
𝑥2+1 < 3
la funzione è limitata sia superiormente che inferiormente
-5 ≤ f(x) < 2
2 non appartiene al codominio della funzione
La funzione tende al valore 2 senza mai raggiungerlo
Esempio 6