Semplicit`a di alcuni gruppi classici

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Semplicit` a di alcuni gruppi classici

Laureando: Martino Garonzi Relatore: Federico Menegazzo

23/11/2006

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Indice

0.1 Introduzione . . . 2

1 Definizioni e strumenti utili 3 2 Il gruppo speciale lineare modulo il suo centro 7 2.1 Generazione . . . 7

2.2 Il gruppo unimodulare proiettivo . . . 10

2.3 Semplicit`a . . . 12

2.4 Le eccezioni . . . 14

3 Il gruppo simplettico modulo il suo centro 17 3.1 Le forme bilineari alternanti . . . 17

3.2 Il gruppo simplettico . . . 23

3.2.1 Le trasvezioni simplettiche . . . 25

3.2.2 Generazione . . . 26

3.2.3 Semplicit`a . . . 27

3.3 Le eccezioni . . . 32

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0.1 Introduzione

Nei corsi della triennale si è studiata la semplicità del gruppo alterno An per n ≥ 5, per lo più strettamente collegata con la non risolubilità di S_n per n ≥ 5.

L’obiettivo di questa tesi `e studiare altre classi di gruppi semplici finiti.

Dato un gruppo G, `e chiaro che il suo centro, chiamiamolo Z, `e normale in G, e quindi l’idea per cercare di costruire un gruppo semplice a partire da G

è considerare il quoziente G/Z. In questa tesi verrà fatto questo in due casi particolari: verranno presi in considerazione due gruppi di isomorfismi lineari e verrà studiata la semplicità del loro quoziente rispetto al centro.

I due gruppi studiati sono i seguenti:

1. Il gruppo speciale lineare SLn(F ), che consiste di tutte le trasformazioni lineari invertibili di uno spazio vettoriale sul campo F in s´e, con determinante 1.

2. Il gruppo simplettico Spn(F ), che consiste delle B-isometrie di uno spazio vettoriale V di dimensione n sul campo F , dove B è una fissata forma bilineare alternante non degenere su V . Sarà chiaro che la scelta di B non influirà sulla classe di isomorfismo del particolare gruppo simplettico associato a B.

I centri dei gruppi presi in esame verranno a coincidere con il nucleo della loro azione naturale sull’insieme dei sottospazi 1-dimensionali di V (chiamato “spazio proiettivo n − 1-dimensionale”) che “cambia le direzioni”, nel senso che il sottospazio 1-dimensionale di V di direzione x ∈ V viene mandato tramite l’isomorfismo lineare T nel sottospazio 1-dimensionale di V di direzione T (x).

A meno di poche eccezioni, discusse a parte, si dimostrer`a che ognuno dei due gruppi considerati (chiamiamolo G) coincide col suo sottogruppo derivato.

Questo, connesso con due importanti proprietà dell’azione descritta sullo spazio proiettivo, permetterà di concludere che il quoziente di G col nucleo dell’azione (e quindi col centro di G) è un gruppo semplice.

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Capitolo 1

Definizioni e strumenti utili

Richiamiamo alcuni concetti utili nel corso della trattazione.

1. Siano G un gruppo, X un insieme. Dare un’azione di G su X, G × X → X

(g, x) 7→ g ∗ x

`

e equivalente a dare un omomorfismo α : G → Sym(X), dove Sym(X) denota il gruppo (rispetto alla composizione) delle applicazioni biiettive di X in s´e. Infatti se `e data un’azione di G su X l’applicazione

G → Sym(X) g 7→ γ_g: x 7→ g ∗ x

`

e omomorfismo, e se `e dato l’omomorfismo α : G → Sym(X) allora la funzione

G × X → X (g, x) 7→ α(g)(x)

determina un’azione di G su X. Il nucleo dell’omomorfismo α associato all’azione si dice nucleo dell’azione e se tale nucleo consiste del solo elemento identico l’azione si dice fedele. Data un’azione arbitraria di G su X si pu`o costruire un’azione fedele facendo agire il quoziente G/ker(α) su X tramite (gker(α), x) 7→ gx.

2. Dato un gruppo G, e dati a, b ∈ G, il commutatore di a e b (nell’ordine)

` e

[a, b] := aba⁻¹b⁻¹

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Indichiamo con G⁰ il sottogruppo derivato di G, o commutatore di G, definito da

G⁰ := h{[a, b] | a, b ∈ G}i Si hanno i seguenti fatti:

(i) Se γ : G → G `e automorfismo allora γ(G⁰) = G⁰. In particolare G⁰E G.

(ii) Se N E G allora G/N `e abeliano se e solo se N ≥ G⁰. Prova:

(i) Notiamo che

γ([a, b]) = γ(aba⁻¹b⁻¹) = γ(a)γ(b)γ(a)⁻¹γ(b)⁻¹= [γ(a), γ(b)]

quindi γ(G⁰) ≤ G⁰, e che se h, k ∈ G allora h = γ(a), k = γ(b) per qualche a, b ∈ G e quindi [h, k] = γ([a, b]). Da cui G⁰ ≤ γ(G⁰).

(ii) Se (e solo se) G/N `e abeliano, (G/N )⁰ = {1_G/N} = {N }, quindi [aN, bN ] = N per ogni a, b ∈ G, il che impica

N = [aN, bN ] = (aN )(bN )(a⁻¹N )(b⁻¹N ) = (aba⁻¹b⁻¹)N = [a, b]N cio`e [a, b] ∈ N . Quindi G⁰ ≤ N . Se invece G⁰ ≤ N allora [a, b] ∈ N per ogni a, b ∈ G, quindi [aN, bN ] = [a, b]N = N cio`e (G/N )⁰ = {N }.

3. Dato un campo F , L_n(F ) denota l’insieme degli isomorfismi lineari V → V , dove V `e uno spazio vettoriale su F di dimensione n. Si tratta di un gruppo rispetto alla composizione, che chiameremo gruppo lineare. Scelta una base di V , possiamo certamente identificare Ln(F ) con il gruppo delle matrici n × n invertibili a entrate nel campo F (essendo le colonne di una di tali matrici le immagini della base scelta rispetto al corrispondente isomorfismo, scritte nella base scelta). L’applicazione

(Ln(F ), ◦) → (F^∗, ·) T 7→ det(T )

`

e omomorfismo suriettivo di gruppi. Per il primo teorema di omomorfismo per i gruppi L_n(F )/ker(det) ∼= F^∗ quindi tale quoziente `e abeliano.

Denoteremo ker(det) con SLn(F ), e lo chiameremo gruppo speciale lineare. E normale in L` n(F ) in quanto nucleo di un omomorfismo.

Riepilogando, la seguente sequenza `e esatta:

{1} → SLn(F ) ,→ Ln(F )^det→ F^∗→ {1}

Definizione 1 (azioni transitive, k-transitive). Un’azione di un gruppo G su un insieme S si dice transitiva se scelti comunque x₁, x₂ ∈ S esiste g ∈ G tale che

gx₁= x₂

Equivalentemente vi `e una sola orbita. Si dice k-transitiva se scelte comunque due k-ple di elementi distinti (x1, ..., xk), (y1, ..., yk) ∈ G^k esiste g ∈ G tale che

(gx1, ..., gxk) = (y1, ..., yk) Chiaramente la 1-transitività è la transitività.

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Definizione 2 (azioni primitive). L’azione del gruppo G sull’insieme S si dice primitiva se `e transitiva e le uniche partizioni di S che sono stabilizzate dall’azione indotta di G su P (S) sono {S} e {{x} | x ∈ S}.

Osserviamo ora che nella definizione precedente la richiesta che l’azione sia transitiva `e superflua se |S| > 2, ma non lo `e se |S| = 2. Infatti G agisca su S in modo primitivo, e consideriamo la partizione di S in G-orbite,

S = [

x∈S

Ox

Certamente G stabilizza tale partizione, in quanto per ogni g ∈ G, gO_x = O_x. Ma allora per la primitivit`a, o O_x = S per ogni x ∈ S, ovvero l’azione

è transitiva, oppure O_x = {x} per ogni x ∈ S, ovvero l’azione lascia fisso ogni elemento, cioè è l’azione identica. Ma tale azione stabilizza qualunque partizione, dunque l’unica speranza è che non esistano altre partizioni se non quelle ovvie, ovvero |S| = 2. In tal caso l’azione identica è primitiva ma non transitiva.

Proposizione 1. Sia S insieme con pi`u di due elementi. Un’azione di un gruppo G su S non `e primitiva se e solo se esiste un sottoinsieme proprio A di S con almeno 2 elementi tale che dato g ∈ G, gA = A oppure gA ∩ A = ∅.

Dimostrazione. Sufficienza. Valga la seconda asserzione. Presi g1, g2∈ G si ha g1A = g2A oppure g1A ∩ g2A = ∅ (usando l’ipotesi con g = g₂⁻¹g1). Sia

B := S \ [

g∈G

gA

Allora g1B ∩ g2A = ∅ per ogni g1, g2 ∈ G, quindi per ogni g ∈ G, gB ⊆ B.

Quindi dato g ∈ G, g⁻¹B ⊆ B, da cui moltiplicando per g, B ⊆ gB. Ma allora gB = B, quindi

{gA | g ∈ G} ∪ {B}

costituisce una partizione non banale di S stabilizzata da G.

Necessit`a. L’azione non sia primitiva. Allora esiste una partizione π(S) stabilizzata da G a cui appartiene un sottoinsieme proprio A di S con |A| ≥ 2. Ma allora dato g ∈ G, gA = A oppure gA ∩ A = ∅.

Lemma 1. Sia G un gruppo che agisce su un insieme S con pi`u di due elementi.

(1) Se l’azione `e 2-transitiva allora `e primitiva

(2) Se l’azione `e primitiva e H E G non `e contenuto nel nucleo, H agisce transitivamente su S

(3) Se H ≤ G agisce transitivamente su S allora G = HStab(x) per ogni x ∈ S, dove lo stabilizzatore `e inteso in G.

Dimostrazione. (1) Sia A un sottoinsieme proprio di S contenente due elementi distinti x e y. Per la proposizione 1 per mostrare che l’azione `e primitiva basta

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mostrare che esiste g ∈ G tale che gA ∩ A 6= ∅ e gA 6= A. Poich´e l’azione `e 2-transitiva esiste g ∈ G tale che gx = x e gy 6∈ A. Allora x ∈ gA 6= A.

(2) Partizioniamo S nelle orbite dell’azione di H su S. Poiché H E G, g(Hx) = H(gx) per ogni g ∈ G, x ∈ S (ghx = (ghg⁻¹)gx). Quindi G stabilizza la partizione di S nelle orbite dell’azione di H. Poiché H non è contenuto nel nucleo dell’azione di G esiste un x ∈ S la cui H-orbita è diversa da {x}, il che esclude che la partizione in H-orbite sia ∪_x∈S{x}. Ma allora poiché l’azione è primitiva c’è una sola H-orbita, e quindi l’azione di H su S è transitiva.

(3) Siano x ∈ S, g ∈ G. Allora esiste h ∈ H tale che hx = gx. Allora h⁻¹g ∈ Stab(x) e dunque g ∈ HStab(x).

Lemma 2 (di Iwasawa). Sia G un gruppo che agisce su un insieme S con pi`u di due elementi, e sia K il nucleo dell’azione. Allora G/K `e semplice se sono verificate le seguenti condizioni:

(1) L’azione `e primitiva (2) G = G⁰

(3) Esiste x ∈ S tale che Stab(x) contenga un sottogruppo normale abeliano Ax

tale che G sia generato dai coniugati gAxg⁻¹, g ∈ G.

Dimostrazione. Sia H E G contenente propriamente K. Basta mostrare che H = G, perché ogni sottogruppo normale L > {1_G/K} di G/K è del tipo H/K con K < H E G (e precisamente con H = {h ∈ G | hK ∈ L}), quindi se H = G, L = G/K. H è transitivo su S per il lemma 1 (2). Detto x ∈ S che soddisfi la condizione (3), per il lemma 1 (3) G = HStab(x). Sia G^∗ = HA_x. E un gruppo perch´` e h₁a₁h₂a₂ = h₁(a₁h₂a⁻¹₁ )a₁a₂ ∈ HA_x. Mostriamo che è normale in G.

Detto g ∈ G, esistono h⁰⁰∈ H, l ∈ Stab(x) tali che g = h⁰⁰l e quindi se a ∈ Ax e h ∈ H si ha

ghag⁻¹= ghg⁻¹gag⁻¹= h⁰h⁰⁰lal⁻¹(h⁰⁰)⁻¹ con h⁰= ghg⁻¹∈ H. Detto a⁰ = lal⁻¹∈ Ax,

ghag⁻¹= h⁰h⁰⁰a⁰(h⁰⁰)⁻¹= h⁰h⁰⁰a⁰(h⁰⁰)⁻¹(a⁰)⁻¹a⁰ = h⁰h⁰⁰h⁰⁰⁰a⁰ ∈ HAx

dove h⁰⁰⁰= a⁰(h⁰⁰)⁻¹(a⁰)⁻¹ ∈ H. Quindi HAxE G.

Ne segue che gAxg⁻¹≤ HAx per ogni g ∈ G. Quindi per la condizione (3), G^∗= HA_x= G

Ma se a ∈ A_x, Ha = aa⁻¹Ha = aH e dunque HA_x = A_xH. Per il secondo teorema di omomorfismo per i gruppi,

G/H = AxH/H ∼= Ax/(Ax∩ H)

Ma Axè abeliano, quindi Ax/(Ax∩ H) ∼= G/H è abeliano. Ciò significa che H contiene G⁰= G e quindi H = G.

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Capitolo 2

Il gruppo speciale lineare modulo il suo centro

2.1 Generazione

Alcune notazioni: d’ora in poi F denoterà un campo, eij denoterà la matrice quadrata avente 1 nel posto (i, j) e zero altrove, e dato b ∈ F , se i 6= j Tij(b) denoterà la matrice 1 + beij. Dal fatto che il prodotto delle matrici A e B è definito per componenti

(AB)sl=X

p

AspBpl

ricaviamo che il prodotto e_abe_cdvale e_adse b = c, altrimenti vale 0. Ovvero eabecd= δbcead

Un altro semplice risultato `e che dato b ∈ F, Tij(b) `e invertibile e ha come inversa Tij(−b), infatti

T_ij(b)T_ij(−b) = (1 + be_ij)(1 − be_ij) = 1 − b²e²_ij= 1

Inoltre poiché Tij(b) è una matrice triangolare, il suo determinante è il prodotto degli elementi diagonali, che è 1, quindi Tij(b) ∈ SLn(F ).

Lemma 3. SLn(F ) `e generato dalle matrici elementari Tij(b).

Dimostrazione.

Osservazione 1. Se F `e un campo e A ∈ Mn(F ) allora A `e equivalente a una matrice del tipo

diag(d1, ..., dr, 0, ..., 0) :=







d1 0

. .. dr

0 0







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dove di6= 0 ∀i = 1, ..., r, e r `e il rango di A. Si ha P AQ = diag(d1, ..., dr, 0, ..., 0) ove P e Q sono prodotti di matrici del tipo Tij(b) e Pij = 1 + eij+ eji− eii− ejj. Dimostrazione. Si pu`o passare da una matrice quadrata A di ordine n e rango r a una diagonale del tipo dell’enunciato facendo solo le seguenti operazioni:

1. Sostituire la riga i R_i con R_i+ bR_j per qualche b ∈ F, j ∈ {1, ..., n} \ {i}

(equivalentemente, moltiplicare a sinistra per T_ij(b))

2. Sostituire la colonna i C_icon C_i+bC_jper qualche b ∈ F, j ∈ {1, ..., n}\{i}

(equivalentemente, moltiplicare a destra per T_ij(b))

3. Scambiare le righe i e j per qualche i 6= j (equivalentemente, moltiplicare a sinistra per Pij)

4. Scambiare le colonne i e j per qualche i 6= j (equivalentemente, moltiplicare a destra per Pij)

Per dimostrarlo usiamo l’induzione sull’ordine n mostrando che una matrice del tipo

A =







a11 a12 ... a1n

a21

... B

a_1n







tramite le operazioni sopra descritte, se a116= 0, si pu`o portare a

A⁰=







a₁₁ 0 ... 0 0

... B⁰ 0







Innanzitutto, se A = 0 non c’`e niente da dimostrare. In caso contrario tramite scambi di righe e/o colonne possiamo far comparire nella posizione (1,1) un termine non nullo, quindi possiamo supporre a₁₁ 6= 0. Ora basta sommare alla riga i la riga −a_i1a⁻¹₁₁R₁ e alla colonna i la colonna −a_1ia⁻¹₁₁C₁ per ogni i = 2, ..., n per ricondurci alla matrice voluta. Si procede per induzione su B⁰: se `e la matrice nulla abbiamo finito, altrimenti ripetiamo tale procedimento.

Nel nostro caso una matrice A ∈ SLn(F ) `e equivalente a una della forma diag(p1, ..., pn) come nell’osservazione precedente. Osservando che se i 6= j

Fij := (1 + eij)(1 − eji)(1 + eij)(1 − 2eii)

= (1 − e_ji+ e_ij− e_ije_ji)(1 − 2e_ii+ e_ij− 2e_ije_ii)

= (1 − eii+ eij− eji)(1 − 2eii+ eij)

= 1 − 2eii+ eij− eii+ 2eii− eij+ eij− eji+ 2eji− ejj = Pij

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ricaviamo che possiamo rimpiazzare le Pij con matrici del tipo Tij(b) e 1 − 2eii. Ora osserviamo che

Tij(b)(1 − 2eii) = (1 + beij)(1 − 2eii) = 1 − 2eii+ beij (2.1) (1 − 2eii)Tij(−b) = (1 − 2eii)(1 − beij) = 1 − beij− 2eii+ 2beij (2.2) quindi

Tij(b)(1 − 2eii) = (1 − 2eii)Tij(−b) Analogamente

T_ji(b)(1 − 2e_ii) = (1 − 2e_ii)T_ji(−b)

Inoltre se j 6= k 6= i 6= j allora 1 − 2eii commuta con Tjk(b), infatti commutano ejke eii essendo ejkeii= 0 = eiiejk. Possiamo allora trascinare tutte le 1 − 2eii

a sinistra nella fattorizzazione di P , a destra nella fattorizzazione di Q, e poi moltiplicare per gli inversi di tali fattori (i fattori stessi) in modo da eliminarli ottenendo ancora una matrice diagonale (prodotto di matrici diagonali). Ot- teniamo cos`ı una matrice diagonale equivalente ad A avendo fatto su A solo operazioni elementari su righe e colonne.

Quindi possiamo ridurci al caso in cui P e Q sono prodotti di matrici del tipo T_ij(b). Per mostrare che A stesso è prodotto di matrici di tale tipo poiché P AQ = diag(p₁, ..., p_n) basta ricondursi al caso A = diag(p₁, ..., p_n), poiché evidentemente det(P ) = det(Q) = 1. In altre parole mostrato il risultato per diag(p₁, ..., p_n) esso varrà anche per A = P⁻¹diag(p₁, ..., p_n)Q⁻¹ perché come abbiamo visto l’inversa di T_ij(b) è di tale tipo. Ora det(A) = 1 implica

d1...dn= 1 quindi ogni di`e invertibile.

Osservazione 2. diag(d⁻¹, d) si pu`o scrivere come prodotto di Tij(b) con i 6= j.

Infatti si scrive come

1 −1

0 1

1 0 1 1

1 −1

0 1

1 d 0 1

1 0

−d⁻¹ 1

1 d 0 1

Quindi lo stesso vale per

Di:= diag(1, ..., 1, (d1...di)⁻¹, d1...di, 1, ..., 1) dove il termine (d1...di)⁻¹ si trova nella posizione i.

Moltiplicando D1= diag(d⁻¹₁ , d1, 1, ..., 1) a destra per A = diag(d1, ..., dn) otteniamo diag(1, d1d2, d3, ..., dn), e moltiplicando a sinistra per D2= diag(1, (d1d2)⁻¹, d1d2, 1, ..., 1) otteniamo D2D1A = diag(1, 1, d1d2d3, d4, ..., dn) e proseguendo di questo passo

D_n−1...D₂D₁A = diag(1, ..., 1, d₁...d_n) = 1

con i Di che sono prodotti di matrici del tipo Tij(b). Otteniamo che A = D₁⁻¹D₂⁻¹...D⁻¹_n−1

`e ancora prodotto di matrici Tij(b), il che `e sufficiente per concludere.

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Lemma 4. Se n 6= 2 oppure |F | 6∈ {2, 3}, e se n ≥ 2, SLn(F ) coincide col suo sottogruppo derivato (gruppo commutatore).

Dimostrazione. Per il lemma 3 basta mostrare che le Tij(b) appartengono al sottogruppo derivato. Osserviamo che se n ≥ 3 prendendo i, j ∈ {1, ..., n}

distinti e k 6= i, j otteniamo

T_ij(b) = T_ik(b)T_kj(1)T_ik(−b)T_kj(−1) = T_ik(b)T_kj(1)T_ik(b)⁻¹T_kj(1)⁻¹ infatti

Tik(b)Tkj(1)Tik(−b)Tkj(−1) = (1 + beik)(1 + ekj)(1 − beik)(1 − ekj)

= (1 + ekj+ beik+ beij)(1 − ekj− beik+ beij)

= 1 − ekj− beik+ beij+ ekj+ beik− beij+ beij

= 1 + be_ij= T_ij(b) Se invece n = 2 abbiamo

d 0

0 d⁻¹

1 c 0 1

d⁻¹ 0

0 d

1 −c

0 1

=

1 c(d²− 1)

0 1

quindi se troviamo 0 6= d ∈ F tale che d² 6= 1 allora per ogni b ∈ F fissato possiamo scegliere c = b(d²− 1)⁻¹ e ottenere che T12(b) ∈ SL2(F )⁰. Se invece un tale d 6= 0 non esiste allora poiché l’equazione x² = 1 ammette al più due soluzioni, al più F conterrà lo 0 e tali due soluzioni, quindi F avrà cardinalità

≤ 3. Analogamente per T21(b). Questo conclude la dimostrazione.

2.2 Il gruppo unimodulare proiettivo

Poich´e Ln(F )/SLn(F ) ∼= F^∗`e abeliano, SLn(F ) contiene il sottogruppo deriva- to di Ln(F ). Ma per il lemma 4, eccettuati (eventualmente) i casi ivi esclusi, SLn(F ) = SLn(F )⁰⊆ Ln(F )⁰ quindi SLn(F ) = Ln(F )⁰.

Osservazione 3. Se un elemento di Ln(F ) commuta con ogni elemento di SLn(F ) allora commuta con ogni elemento di Ln(F ), ed `e una matrice scalare del tipo d1.

Dimostrazione. Dire che g ∈ Ln(F ) commuta con ogni h ∈ SLn(F ) implica che gT_ij(1) = T_ij(1)g per ogni i 6= j, poich´e T_ij(b) ∈ SL_n(F ) per ogni b ∈ F . Ma allora g(1 + e_ij) = (1 + e_ij)g per ogni i 6= j, ovvero poich´e 1 commuta con g, g commuta con ogni e_ij. Ma osservando che

(geij)kl=X

s

gks(eij)sl = δjlgki

(eijg)kl=X

s

(eij)ksgsl= δikgjl

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la condizione di commutazione dice che δjlgki= δkigjl

Quindi se n > 2:

nel caso j = l, i 6= k otteniamo gki= 0, nel caso j 6= l, i = k otteniamo gjl= 0, nel caso j = l, i = k otteniamo gii= gjj.

Al variare di i 6= j, k 6= l, le prime due condizioni (equivalenti) dicono che g è nulla fuori dalla diagonale, la terza dice che g è costante sulla diagonale. Quindi g è una matrice scalare, e quindi commuta con ogni elemento di Ln(F ). Il caso n = 2 si risolve facilmente, imponendo che una generica matrice A ∈ Ln(F ) commuti con le matrici

1 1 0 1

,

1 0 1 1

e trovando che essa dev’essere una matrice scalare.

Quindi il centro C di Ln(F ) `e F^∗1, ed `e il gruppo delle matrici scalari d1 al variare di 0 6= d ∈ F .

Definizione 3. Il gruppo unimodulare proiettivo P SL_n(F ) `e il quoziente SL_n(F )/C dove C := F^∗1 ∩ SLn(F ) `e il centro di SLn(F ).

Il nostro obiettivo `e mostrare che eccettuati i casi esclusi nel lemma 4, tale gruppo `e semplice.

Definizione 4 (spazio proiettivo). Sia V un n-spazio vettoriale su F , e sia Pn−1(F ) l’insieme dei sottospazi

F x := {αx | α ∈ F }

di V con 0 6= x ∈ V . Lo chiameremo spazio proiettivo (n − 1)-dimensionale su F .

Definizione 5. Definiamo un’azione di Ln(F ) su Pn−1(F ) ponendo T (F x) = F (T x)

per ogni T ∈ L_n(F ).

Proposizione 2. Il nucleo dell’azione sopra descritta `e F^∗1.

Dimostrazione. Il nucleo consiste dei T ∈ Ln(F ) tali che T (F x) = F x per ogni 0 6= x ∈ V . Quindi T `e nel nucleo se e solo se

T : 0 6= x ∈ V 7→ axx ∈ V

con ax ∈ F^∗. Se 0 6= b ∈ F allora T (bx) = abxbx e T (bx) = bT (x) = baxx = axbx. Quindi ax = abx se b 6= 0. Quindi se dim(V ) = 1 allora T = a1 con a = ax per ogni x ∈ V . Ora sia dim(V ) ≥ 2 e sia (e1, ..., en) una base di V su

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F . Allora T ei = ae_iei e se i 6= j, T (ei+ ej) = ae_i+e_j(ei+ ej) = T ei+ T ej = ae_iei+ ae_jej da cui (ae_i+e_j− ae_i)ei+ (ae_i+e_j− ae_j)ej = 0. Per l’indipendenza lineare ae_i+e_j = ae_i= ae_j. Quindi T = a1 con a 6= 0.

Viceversa ogni mappa di tale forma agisce come l’identit`a su Pn−1(F ).

Ponendo P L_n(F ) := L_n(F )/F^∗1 abbiamo una azione fedele di tale gruppo su P_n−1(F ) in cui la classe [T ] = F^∗T agisce su F x tramite [T ](F x) = F (T x).

Il gruppo P Ln(F ) si dice gruppo proiettivo. Esso contiene il sottogruppo SLn(F )/(F^∗1 ∩ SLn(F )) che abbiamo chiamato gruppo unimodulare proiettivo. Anch’esso agisce fedelmente su Pn−1(F ). Abbiamo quindi dimostrato il

Teorema 1. Il centro di SLn(F ) coincide col nucleo dell’azione di SLn(F ) su Pn−1(F ) indotta da quella di Ln(F ).

2.3 Semplicit` a

Mostriamo che valgono per SLn(F ) le condizioni sufficienti richieste per la semplicit`a dal lemma di Iwasawa.

Lemma 5. SLn(F ) `e 2-transitivo su Pn−1(F ) se n ≥ 2.

Dimostrazione. Dobbiamo provare che se F x1 6= F x2 e F y1 6= F y2 con 0 6=

x1, x2, y1, y2 ∈ V allora esiste una trasformazione lineare T di determinante 1 tale che T x1 = a1y1 6= 0 e T x2 = a2y2 6= 0 con ai ∈ F, i = 1, 2. Per ipotesi x1, x2 e y1, y2 sono linearmente indipendenti. Possiamo quindi scegliere una base (x1, x2, ..., xn) di V con y1 = Pn

j=1aj1xj, y2 = Pn

j=1aj2xj. Se n > 2 possiamo aggiungere n − 2 colonne alla matrice







a11 a12

a21 a22

... ... a_n1 a_n2







ottenendo una matrice (a_ij)_i,j di determinante 1. Definiamo allora

yj :=

n

X

i=1

aijxj

per ogni 1 ≤ j ≤ n, e sia T la trasformazione lineare tale che xi7→ yiper ogni 0 ≤ i ≤ n. Tale T soddisfa le condizioni richieste. Se n = 2, det((aij)i,j=1,2) = a 6= 0 quindi definiamo T come la trasformazione lineare tale che x17→ y1, x27→ a⁻¹y2

e concludiamo per la multilinearit`a del determinante.

Lemma 6. Sia {e₁, ..., e_n} una base di V , e sia Stab(F e₁) lo stabilizzatore di F e1 6= 0 in SLn(F ). Allora Stab(F e1) contiene un sottogruppo abeliano normale Ae₁ i cui coniugati generano SLn(F ).

(14)

Dimostrazione. Stab(F e1) `e l’insieme delle trasformazioni lineari di matrice







a11 a12 ... a1n

0

... An−1

0







nella base {ei}i=1,...,n, con a11det(An−1) = 1. La mappa Stab(F e1) → Ln−1(F ) che manda una tale trasformazione nella matrice An−1 `e omomorfismo il cui nucleo `e Ae₁, l’insieme delle trasformazioni lineari V → V di matrice







1 a12 ... a1n

0

... 1_n−1 0







nella base {ei}i=1,...,n. Si vede velocemente che Ae₁ `e un gruppo abeliano.

Quindi `e un sottogruppo normale abeliano di Stab(F e1) (normale in quanto nucleo di un omomorfismo). `E chiaro che Ae1 contiene tutte le trasformazioni lineari di matrice T₁₂(b) con b ∈ F^∗. Ora sia

Y := h{gag⁻¹ | a ∈ Ae₁, g ∈ SLn(F )}i Osserviamo che se i 6= j 6= k 6= i,

(i) Tjk(1)Tij(b)Tjk(−1)Tij(−b) = (1 + ejk)(1 + beij)(1 − ejk)(1 − beij)

= (1 + be_ij+ e_jk)(1 − be_ij− e_jk)

= 1 − beij− ejk+ beij− beik+ ejk

= 1 − beik= Tik(−b)

e inoltre essendo (1 − e₁₁− e₂₂+ e₂₁− e₁₂)⁻¹ = 1 − e₁₁− e₂₂− e₂₁+ e₁₂, (ii) (1 − e₁₁− e22+ e₂₁− e12)T₁₂(b)(1 − e₁₁− e22+ e₂₁− e12)⁻¹

= (1 − e11− e22+ e21− e12)(1 + be12)(1 − e11− e22− e21+ e12)

= (1 + be₁₂− e₁₁− be₁₂− e₂₂+ e₂₁+ be₂₂− e₁₂)(1 − e₁₁− e₂₂− e₂₁+ e₁₂)

= 1 − e11− e22− e21+ e12− e11+ e11− e12− e22+ e22+ +e21+ e21− e21+ e22+ be22− be22− be21− e12+ e12+ e11

= 1 − be₂₁= T₂₁(−b)

Quest’ultima relazione dice che T21(b) ∈ Y per ogni b ∈ F . `E chiaro che Y contiene tutte le trasformazioni di matrice T1k(b) con k = 2, ..., n Da (i), se i 6= 1, 2

T_i1(−b) = T₂₁(1)(T_i2(b)T₂₁(1)⁻¹T_i2(b)⁻¹) ∈ Y e finalmente se 1 6= i 6= k 6= 1, da (i) segue

Tik(−b) = (T1k(1)Ti1(b)T1k(1)⁻¹)Ti1(−b) ∈ Y

(15)

La conclusione è che Y contiene le matrici del tipo Tij(b) con i 6= j e quindi poiché SLn(F ) è generato da tali matrici (lemma 3) si ha Y = SLn(F ).

I lemmi 4, 5 e 6 mostrano dunque che il gruppo SL_n(F ) eccetto il caso in cui n = 2 e |F | ∈ {2, 3} soddisfa le richieste del lemma 2 e dunque abbiamo il risultato:

Teorema 2. Se n 6= 2 oppure |F | 6∈ {2, 3} e se n ≥ 2 allora P SLn(F ) `e semplice.

2.4 Le eccezioni

Come abbiamo visto, la semplicità di P SL_n(F ) è provata eccetto che per i casi n = 2 e |F | ∈ {2, 3}. Proviamo ora un risultato che ci sarà utile nel discutere tali casi, e provare che effettivamente i corrispondenti gruppi unimodulari proiettivi non sono semplici.

Proposizione 3. Sia F campo finito di ordine |F | = q = p^r con p primo e r intero positivo. Allora detto d := (n, q − 1),

|Ln(F )| = (qⁿ− 1)(qⁿ− q)...(qⁿ− qⁿ⁻¹)

|SLn(F )| = (qⁿ− 1)...(qⁿ− qⁿ⁻²)qⁿ⁻¹

|P SLn(F )| = (qⁿ− 1)(qⁿ− q)...(qⁿ− qⁿ⁻²)qⁿ⁻¹/d

Dimostrazione. Sia V spazio vettoriale su F di dimensione n, e fissiamo una base di V . Consideriamo l’isomorfismo canonico dal gruppo degli automorfismi di V a L_n(F ) che manda un automorfismo nella matrice che ha come colonne le immagini della base scelta scritte nella stessa base. Ne segue che l’ordine di Ln(F ) `e dato dal numero di matrici invertibili di ordine n, ovvero dal numero di basi ordinate dello spazio vettoriale V di dimensione n su F . Per il primo vettore abbiamo qⁿ− 1 scelte (non possiamo scegliere il vettore nullo), per il secondo qⁿ− q (non possiamo scegliere i q multipli del primo scelto), per il terzo qⁿ− q² (non possiamo scegliere le q²combinazioni lineari dei primi due scelti), e avanti cos`ı, da cui otteniamo facilmente l’asserto.

Sappiamo che l’applicazione determinante Ln(F ) → F^∗`e omomorfismo di gruppi il cui nucleo `e SLn(F ), e che Ln(F )/SLn(F ) ∼= F^∗, da cui |Ln(F )/SLn(F )| = q − 1. Ma per il teorema di Lagrange,

|Ln(F )/SLn(F )| = |Ln(F )|/|SLn(F )|

da cui

|SLn(F )| = |Ln(F )|/(q − 1) =

= (qⁿ− 1)...(qⁿ− qⁿ⁻¹)/(q − 1) = qⁿ⁻¹(qⁿ− 1)...(qⁿ− qⁿ⁻²) Ora ricordiamo che il centro di SLn(F ) `e C = {x1 | xⁿ= 1} e dunque

|C| = |{x ∈ F | xⁿ = 1}|

(16)

Poich´e |F^∗| = q − 1 abbiamo x^q−1= 1 per ogni x ∈ F^∗. Se xⁿ= 1 allora anche x^d= 1, infatti esistono a, b ∈ Z tali che d = an + b(q − 1) da cui

1 = (xⁿ)^a(x^q−1)^b= x^an+b(q−1)= x^d

D’altra parte se x^d = 1 anche xⁿ = 1 = x^q−1 perch´e d divide sia n che q − 1.

Ma allora |C| = |{x ∈ F | x^d = 1}|. La novità rispetto a prima è che stavolta d ≤ q − 1. Sia H := {x ∈ F | x^d = 1}. Poiché F^∗ è un gruppo ciclico esiste un suo sottogruppo di ordine d, che quindi è contenuto in H. Ma allora poiché

|H| ≤ d, d = |H| = |C|. Allora poich´e P SLn(F ) = SLn(F )/C, sempre dal teorema di Lagrange,

|P SLn(F )| = |SLn(F )|/d come voluto.

Ora discuteremo i due casi mancanti.

Proposizione 4. P SL2(F²) ∼= S3 e quindi non `e semplice contenendo propriamente il sottogruppo normale A3.

Dimostrazione. Sia F = {0, 1} = F2e n = 2. Dalla proposizione 3, |P SL_n(F )| = 3 · 2 = 6. Poich´e C = {1}, P SL₂(F₂) ∼= SL2(F₂). Abbiamo un’azione fedele di questo gruppo su P₁(F2) che ha cardinalit`a

|F2|²− 1

|F2| − 1 = 2²− 1 2 − 1 = 3

Quindi SL2(F²) si immerge in S3 come sottogruppo di ordine 6. Ma allora SL2(F²) ∼= S3.

A3C S³ perch´e due permutazioni coniugate hanno la stessa parit`a.

Proposizione 5. P SL₂(F3) ∼= A4 non `e semplice

Dimostrazione. Mostriamo innanzitutto che A4non `e semplice. Possiamo scriver- lo esplicitamente:

A4= {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3), (1 2 3), (1 3 2), (1 2 4), (1 4 2), (1 3 4), (1 4 3), (2 3 4), (2 4 3)}

Sia

H := {1, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} < A₄

Per mostrare che H C A⁴ consideriamo un elemento di H, prodotto di due trasposizioni disgiunte τ1e τ2(nell’ordine, ma non ha importanza, tanto essendo disgiunte commutano), e σ ∈ S4. Allora detto 1 6= δ := στ1τ2σ⁻¹ si ha

δ²(a) = στ1τ2τ1τ2σ⁻¹(a) = a

per ogni a ∈ {1, 2, 3, 4}, essendo τ1τ2τ1τ2 = τ1τ1τ2τ2 = 1. Ne segue che δ ha ordine 2. Per mostrare che δ ∈ H basta quindi mostrare che non fissa nessun

(17)

elemento. Supponiamo per assurdo che per qualche a ∈ {1, 2, 3, 4} si abbia δ(a) = a. Allora

a = δ(a) = στ1τ2σ⁻¹(a) = στi_aσ⁻¹(a)

dove τ_i_a ∈ {τ1, τ₂} `e la trasposizione che sposta σ⁻¹(a). Allora, dall’uguaglianza di cui sopra,

τ_i_a(σ⁻¹(a)) = σ⁻¹(a) ovvero τ_i_a fissa σ⁻¹(a), il che `e assurdo.

Ora, dalla proposizione 3 segue subito che |P SL₂(F3)| = 12. Sappiamo che P SL2(F³) agisce fedelmente sullo spazio proiettivo P1(F³), che ha ordine

|P1(F³)| = |F3|²− 1

|F3| − 1 = 3²− 1 3 − 1 = 4

Quindi P SL₂(F3) si immerge in S₄. Ma l’unico sottogruppo di S₄ di ordine 12

`e A4, quindi

P SL2(F³) ∼= A4

(18)

Capitolo 3

Il gruppo simplettico modulo il suo centro

3.1 Le forme bilineari alternanti

Cominceremo con alcune definizioni e alcuni risultati utili poi.

Definizione 6. Sia V spazio vettoriale di dimensione n sul campo F . Una forma bilineare B su V `e una mappa

B : V × V → F (x, y) 7→ B(x, y)

tale che per ogni y ∈ V la mappa y_R : x 7→ B(x, y) `e lineare e per ogni x ∈ V la mappa x_L : y 7→ B(x, y) `e lineare. Tali condizioni si sintetizzano nella condizione

B(

m

X

i=1

aixi,

q

X

j=1

bjyj) =

m

X

i=1 q

X

j=1

aibjB(xi, yj)

∀xk, yh∈ V, al, bp∈ F Ora scegliamo un bij ∈ F per ogni 1 ≤ i, j ≤ n, e poniamo

B(x, y) =

n

X

i,j=1

b_ija_ib_j

dove x = P

iaiei e y = P

ibiei. Si verifica in fretta che B è bilineare e che se B è data, ponendo bij := B(ei, ej) si ottiene per B una forma di questo tipo. Quindi ogni forma bilineare si può esprimere in questo modo, e la matrice (bij)i,j determina B. Si dice matrice di B rispetto alla base (e1, ..., en).

(19)

Se (fj)j `e un’altra base di V con fj=P

ipijei allora B(f_i, f_j) = B(X

k

p_kie_k,X

s

p_sje_s) =X

k,s

p_kiB(e_k, e_s)p_sj= (p^tbp)_ij

ricordando che (ABC)_ij =P

s(AB)_isC_sj=P

s

P

tA_itB_tsC_sj.

E quindi chiaro che la matrice della forma bilineare B nella base (f` j)j`e c := p^tbp

Se, date le matrici quadrate b e c, esiste una matrice invertibile p che realizza questo allora b e c si dicono congruenti.

Ora dati x, y ∈ V restano definite le applicazioni xL: V → F, y 7→ B(x, y) yR: V → F, x 7→ B(x, y)

Ovviamente sono entrambe lineari, quindi sono elementi di V^∗. Le mappe V → V^∗

L : x 7→ xL

R : y 7→ yR

sono anch’esse lineari.

Ora sia U ≤ V . Dette L_U : V → U^∗, x 7→ x_L|_U e R_U : V → U^∗, y 7→ y_R|_U, definiamo

U^⊥^L := {v ∈ V | B(v, u) = 0 ∀u ∈ U } = ker(L_U) U^⊥^R := {v ∈ V | B(u, v) = 0 ∀u ∈ U } = ker(RU)

Dalla linearit`a di L e R, `e facile dedurre che sono entrambi sottospazi vettoriali di V . Inoltre

(U^⊥^L)^⊥^R = {v ∈ V | B(u⁰, v) = 0 ∀u⁰ ∈ U^⊥^L} (U^⊥^R)^⊥^L = {v ∈ V | B(v, u⁰) = 0 ∀u⁰∈ U^⊥^R} da cui segue immediatamente

U ⊆ (U^⊥^L)^⊥^R U ⊆ (U^⊥^R)^⊥^L

V^⊥^L = ker(L) e V^⊥^R = ker(R) si dicono rispettivamente radicale sinistro e radicale destro di B.

(20)

Teorema 3. Sia B forma bilineare V × V → F . Le seguenti asserzioni sono equivalenti:

(1) V^⊥^R = {0}

(2) V^⊥^L = {0}

(3) la matrice di B rispetto a una base qualsiasi `e invertibile.

Dimostrazione. Sia (e_i)_iuna base di V e sia (b_ij = B(e_i, e_j))_i,j la matrice di B in tale base. Ora sia z :=Pn

j=1c_je_j. Per la bilinearit`a, z ∈ V^⊥^R ⇔ B(ei, z) = 0 ∀i = 1, ..., n ⇔

n

X

j=1

bijcj = 0 ∀i = 1, ..., n

z ∈ V^⊥^L ⇔ B(z, e_i) = 0 ∀i = 1, ..., n ⇔

n

X

j=1

b_jic_j = 0 ∀i = 1, ..., n

ora z 6= 0 se e solo se c = (cj)j 6= 0 quindi la prima e la seconda condizione in questo caso danno una condizione necessaria e sufficiente affinch´e esista z 6= 0 nel rispettivo radicale, ovvero che

det(b) = det(b^t) 6= 0

Questo, unito al fatto che nel cambiare base il determinante della matrice viene moltiplicato per un elemento non nullo di F , conclude la dimostrazione.

Definizione 7. Una forma bilineare B su V tale che la matrice b di B rispetto a una base (e_i)_i di V sia invertibile si dice non degenere.

Il teorema appena dimostrato dice che B è non degenere se e solo se L (e di conseguenza R) è iniettiva. Ma poiché dim(V ) = dim(V^∗) = n, B è non degenere se e solo se L e R sono isomorfismi lineari V → V^∗.

Si ricava un importante risultato:

Lemma 7. Se B `e non degenere ogni α ∈ V^∗ ha la forma y 7→ B(x, y) per qualche x ∈ V , e ha la forma y⁰7→ B(y⁰, x⁰) per qualche x⁰∈ V .

Proposizione 6. B sia forma bilineare non degenere sullo spazio vettoriale V . Allora le mappe

V ≥ U 7→ U^⊥^L e

V ≥ U 7→ U^⊥^R sono una l’inversa dell’altra.

Dimostrazione. Ricordiamo che se ϕ `e una funzione lineare da V a un altro spazio vettoriale, si ha la relazione dimensionale

dim(V ) = dim(ker(ϕ)) + dim(ϕ(V ))

(21)

Dato U ≤ V applichiamo tale relazione alla mappa lineare RU : V → U^∗. Poich´e ker(RU) = U^⊥^R si ha

n = dim(U^⊥^R) + dim(W )

dove W ≤ U^∗è l’insieme delle forme lineari definite su U della forma y 7→ B(y, x) per qualche x ∈ V . È chiaro che possiamo estendere una g ∈ U^∗ a una g ∈ V^∗ mandando una base di U nelle corrispondenti immagini tramite g, e i vettori che completano a una base di V in 0. Spendiamo qui l’ipotesi di non degenerazione di B: tale g ∈ V^∗ è della forma y 7→ B(x, y) e della forma x 7→ B(x, y) (lemma 7), quindi tale è g. Ma allora W = U^∗, e quindi poiché dim(U^∗) = dim(U ), con ragionamenti analoghi su LU,

dim(U^⊥^L) = n − dim(U ) = dim(U^⊥^R)

il che implica che dim((U^⊥^L)^⊥^R) = n−dim(U^⊥^L) = n−(n−dim(U )) = dim(U ) e poich´e U ⊆ (U^⊥^L)^⊥^R si ha, con ragionamenti analoghi,

(U^⊥^R)^⊥^L = U = (U^⊥^L)^⊥^R questo conclude la dimostrazione.

In particolare abbiamo ricavato il seguente

Lemma 8. Se B `e forma bilineare non degenere sullo spazio vettoriale V e U ≤ V allora U^∗= L(U ) = R(U ).

Definizione 8. Data una forma bilineare B su uno spazio vettoriale V , x ∈ V si dice ortogonale a y ∈ V e si scrive x⊥y se vale B(x, y) = 0.

Definizione 9 (forme simmetriche). Una forma bilineare B : V ×V → F si dice simmetrica se vale B(x, y) = B(y, x) per ogni x, y ∈ V . Le matrici associate a B sono in tal caso tutte simmetriche.

Definizione 10 (forme alternanti). Una forma bilineare B : V × V → F si dice alternante se vale B(x, x) = 0 per ogni x ∈ V . Le matrici associate a B sono in tal caso, se χ(F ) 6= 2, tutte antisimmetriche.

Il seguente affascinante risultato rende molto interessante lo studio delle forme bilineari simmetriche o alternanti:

Teorema 4. Data una forma bilineare B sullo spazio vettoriale V , la relazione di ortogonalità è simmetrica se e solo se B è simmetrica oppure alternante.

Dimostrazione. Sufficienza. Se B è simmetrica lo è in particolare la relazione di ortogonalità, se invece B è alternante allora dati x, y ∈ V, 0 = B(x + y, x + y) = B(x, x) + B(x, y) + B(y, x) + B(y, y) = B(x, y) + B(y, x) da cui B(x, y) =

−B(y, x) quindi `e chiaro che B(x, y) = 0 se e solo se B(y, x) = 0.

Necessit`a. Supponiamo ora che la relazione di ortogonalit`a sia simmetrica, e siano x, y, z ∈ V . Sia

w := B(x, y)z − B(x, z)y

(22)

allora vale B(x, w) = B(x, B(x, y)z−B(x, z)y) = B(x, B(x, y)z)−B(x, B(x, z)y) = B(x, y)B(x, z) − B(x, z)B(x, y) = 0 da cui per la simmetria dell’ortogonalit`a B(w, x) = 0, che si riscrive come 0 = B(B(x, y)z−B(x, z)y, x) = B(B(x, y)z, x)−

B(B(x, z)y, x) = B(x, y)B(z, x) − B(x, z)B(y, x) ovvero

B(x, y)B(z, x) = B(x, z)B(y, x) ∀x, y, z ∈ V (3.1) da cui se x = y,

B(x, x)(B(z, x) − B(x, z)) = 0 ∀x, z ∈ V (3.2) Ora supponiamo falsa la nostra tesi, cioè supponiamo che B non sia né simmetrica né alternante. Allora per la non-simmetria esistono u, v ∈ V tali che B(u, v) 6= B(v, u) e per la non-alternanza esiste w ∈ V tale che B(w, w) 6= 0.

Usando (3.2) con x = u, z = v e poi con x = v, z = u otteniamo

B(u, u) = B(v, v) = 0 (3.3)

Usando poi ancora (3.2) con z = u, x = w e poi con z = v, x = w otteniamo B(u, w) − B(w, u) = 0 = B(v, w) − B(w, v) (3.4) Usando poi (3.1) con x = u, y = v, z = w e poi con x = v, y = u, z = w e usando (3.4) otteniamo

B(u, w) = B(w, u) = 0 = B(v, w) = B(w, v) (3.5) Ora si ha B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w) = B(u, v) e B(v + w, u) = B(v, u) + B(w, u) = B(v, u) da cui poiché B(u, v) 6= B(v, u) si ha B(u, v+w) 6= B(v+w, u) e usando (3.2) con x = v + w, z = u otteniamo B(v + w, v + w)(B(v + w, u) − B(u, v + w)) = 0 da cui per quanto appena visto B(v + w, v + w) = 0, ovvero 0 = B(v + w, v + w) = B(v, v) + B(v, w) + B(w, v) + B(w, w) = B(w, w) usando (3.3) e (3.5). Ma questo è assurdo perché per ipotesi B(w, w) 6= 0. Questo conclude la dimostrazione.

D’ora in poi ogni forma bilineare sia simmetrica oppure alternante.

Per quanto visto si ha per ogni U ≤ V che U^⊥^L= U^⊥^R =: U^⊥

e U^⊥ viene detto il complemento ortogonale di U . Il vantaggio di lavorare con forme simmetriche o alternanti `e legato al non dover distinguere tra “ortogonali destri” e “ortogonali sinistri”.

Osservazione 4. Se U ≤ V si ha U ∩ U^⊥ = {0} se e solo se B|U ×U `e non degenere. In questo caso U si dice sottospazio non degenere.

Dimostrazione. Necessit`a. Se x ∈ U `e tale che B(x, y) = 0 ∀y ∈ U allora vale anche x ∈ U^⊥ e quindi x = 0. Sufficienza. Se x ∈ U ∩ U^⊥ allora B(x, y) = 0 per ogni y ∈ U e quindi x ∈ ker(LU) = ker(RU), che impica x = 0.

(23)

Data una base (ei)i di V , possiamo definire il discriminante di B come 0 se B

`e degenere, e come la classe

det(b)(F^∗)²∈ F^∗/(F^∗)²

se B `e non degenere, dove (F^∗)²:= {a² | a ∈ F^∗} `e sottogruppo moltiplicativo di F^∗.

Concentriamoci ora sulle forme bilineari alternanti. Rivestono particolare importanza le cosiddette “basi simplettiche”:

Teorema 5. Sia B una forma bilineare alternante V × V → F . Allora esiste una base {u1, v1, u2, v2, ..., ur, vr, z1, ..., zn−2r} di V , detta base simplettica di V , tale che la matrice di B rispetto a tale base abbia la forma

s = diag{S, ..., S, 0, ..., 0}

dove

S =

0 1

−1 0

Dimostrazione. Se B(x, y) = 0 ∀x, y ∈ V il risultato `e immediato. In caso contrario esistono u, v ∈ V tali che B(u, v) = b 6= 0. Allora u₁= u e v₁= b⁻¹v soddisfano −B(v₁, u₁) = B(u₁, v₁) = b⁻¹B(u, v) = 1. Certamente u₁ e v₁ sono linearmente indipendenti perch´e per ogni x ∈ V e per ogni a ∈ F si ha B(x, ax) = aB(x, x) = 0. Ora supponiamo di aver trovato i vettori indipendenti

(i) (u1, v1, u2, v2, ..., uk, vk)

tali che B(ui, vi) = 1 = −B(vi, ui) e B(x, y) = 0 per ogni altra scelta di x e y nell’insieme {ui | 1 ≤ i ≤ k} ∪ {vi | 1 ≤ i ≤ k}. Sia Vk := hu1, v1, ..., uk, vki, di dimensione 2k. Mostriamo che V = Vk⊕ V_k^⊥. Poiché la matrice di B ristretta a Vk rispetto alla base (i) è diag(S, ..., S) e quindi invertibile, Vk è sottospazio non degenere di V e quindi Vk∩ V_k^⊥= {0}. Ora sia x ∈ V e sia

y := x −

k

X

i=1

B(x, v_i)u_i+

k

X

i=1

B(x, u_i)v_i

Abbiamo

B(y, u_j) = B(x, u_j) −

k

X

i=1

B(x, v_i)B(u_i, u_j) +

k

X

i=1

B(x, u_i)B(v_i, u_j) =

= B(x, uj) + B(x, uj)B(vj, uj) = 0 B(y, vj) = B(x, vj) −

k

X

i=1

B(x, vi)B(ui, vj) +

k

X

i=1

B(x, ui)B(vi, vj) =

= B(x, vj) − B(x, vj)B(uj, vj) = 0

(24)

da cui y ∈ V_k^⊥. Poich´e

x = y +

k

X

i=1

B(x, vi)ui−

k

X

i=1

B(x, ui)vi

abbiamo, usando il fatto che Vk∩ V_k^⊥ = {0}, che Vk⊕ V_k^⊥ = V .

Consideriamo ora la forma B ristretta a V_k^⊥. Se `e identicamente nulla possiamo scegliere una base di V_k^⊥ ottenendo con la (ui, vi)i una base di V rispetto a cui la matrice di B `e del tipo voluto con r = k. Se invece B|_V⊥

k non `e identicamente nulla possiamo scegliere u_k+1, v_k+1 ∈ V_k^⊥ tali che B(u_k+1, v_k+1) = 1 =

−B(v_k+1, u_k+1), come abbiamo fatto all’inizio della dimostrazione per B e V , e quindi ottenere la base di V_k+1

(u1, v1, u2, v2, ..., uk, vk, uk+1, vk+1)

rispetto a cui la matrice sar`a del tipo voluto, e questo prova l’ipotesi induttiva nel caso k + 1.

Se b è la matrice antisimmetrica associata alla forma bilineare alternante B su V su F rispetto alla base (ei)i, e p è la matrice di cambiamento di base dalla base (ei)ialla base (uj, vj, zk) del teorema allora p^tbp = s come nel teorema. Ponendo q = p⁻¹ abbiamo b = q^tsq e quindi b e s hanno lo stesso rango essendo ottenute l’una dall’altra moltiplicando a destra e a sinistra per matrici invertibili. Ma poiché det(s) ∈ {0, 1} si ha det(b) = det(q)²det(s) ∈ {0, det(q)²} e quindi:

Corollario 1. Una matrice antisimmetrica invertibile con entrate in un campo F ha rango pari e il suo determinante `e un quadrato in F .

Corollario 2. Due matrici antisimmetriche n × n con entrate in un campo F sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango.

Dimostrazione. La sufficienza si vede notando che se p^tbp = s = q^tcq allora c = (q⁻¹p)^tb(q⁻¹p).

3.2 Il gruppo simplettico

Definiremo ora l’oggetto del nostro studio:

Definizione 11. Sia V spazio vettoriale di dimensione n = 2r sul campo F dotato della forma bilineare alternante non degenere B : V × V → F (in- dicheremo tutto ci`o con (V, B)). Il gruppo delle B-isometrie di V , ovvero delle applicazioni lineari invertibili η : V → V tali che

B(η(u), η(v)) = B(u, v) ∀u, v ∈ V

si indica con Spn(F ) e si dice gruppo simplettico di V . Gli elementi di tale gruppo si dicono trasformazioni simplettiche di V .

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Osserviamo ora alcune piccole conseguenze della definizione. Se {u1, v1, u2, v2, ..., ur, vr}

`e base simplettica per V e η ∈ Spn(F ) allora anche

{η(u1), η(v₁), η(u₂), η(v₂), ..., η(u_r), η(v_r)}

`e base simplettica. Viceversa date due basi simplettiche di V l’isomorfismo che manda ordinatamente i vettori della prima base nei vettori della seconda `e trasformazione simplettica di V .

Osservazione 5. Siano V1 e V2 spazi vettoriali dotati delle forme bilineari alternanti non degeneri B1 e B2 rispettivamente. Se (V1, B1) e (V2, B2) sono isometrici, ovvero se esiste un isomorfismo lineare

α : V1→ V2

tale che B2(α(v), α(w)) = B1(v, w) per ogni v, w ∈ V1, allora i rispettivi gruppi simplettici sono isomorfi.

Dimostrazione. Indichiamo con G₁e G₂i gruppi simplettici di (V₁, B₁) e (V₂, B₂) rispettivamente. Definiamo l’omomorfismo di gruppi

ϕ : G₁→ G₂ σ 7→ ασα⁻¹ La definizione ha senso perch´e se σ ∈ G1 allora

B2(α(σ(α⁻¹(u))), α(σ(α⁻¹(v)))) = B1(σ(α⁻¹(u)), σ(α⁻¹(v)))

= B₁(α⁻¹(u), α⁻¹(v))

= B2(α(α⁻¹(u)), α(α⁻¹(v)))

= B₂(u, v)

per ogni u, v ∈ V2, ovvero ασα⁻¹∈ G2. `E immediato che ϕ `e isomorfismo.

In particolare se sullo stesso spazio vettoriale V consideriamo due forme bilineari alternanti non degeneri diverse B1 e B2, i rispettivi gruppi simplettici saranno isomorfi perch´e si pu`o costruire una isometria di (V, B1) in (V, B2) mandando una base simplettica di (V, B1) ordinatamente in una base simplettica di (V, B2).

Ne segue che per studiare la classe di isomorfismo di un certo gruppo simplettico possiamo scegliere arbitrariamente sullo spazio una forma bilineare alternante non degenere.

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3.2.1 Le trasvezioni simplettiche

Analogamente a quanto fatto per il gruppo speciale lineare, ci occupiamo di particolari trasformazioni simplettiche:

Definizione 12 (trasvezioni simplettiche). Sia u ∈ V non nullo e sia c ∈ F . L’applicazione

τ_u,c: V → V x 7→ x + cB(x, u)u si dice trasvezione simplettica di direzione u.

Questa definizione porta ad alcuni piccoli risultati. Innanzitutto si vede che τu,c∈ Spn(F ), infatti se v, w ∈ V , essendo B(u, u) = 0,

B(τ_u,c(v), τ_u,c(w)) = B(v + cB(v, u)u, w + cB(w, u)u) =

= B(v, w) + cB(w, u)B(v, u) + cB(v, u)B(u, w)

= B(v, w) + cB(w, u)B(v, u) + cB(v, u)(−B(w, u))

= B(v, w)

Inoltre fissato u ∈ V non nullo, l’applicazione F → Sp_n(F )

c 7→ τu,c

`e monomorfismo di gruppi, dove F `e inteso come gruppo additivo. Infatti:

τ_u,c(τ_u,d(v)) = τ_u,c(v + dB(v, u)u) = v + dB(v, u)u + cB(v + dB(v, u)u, u)u

= v + cB(v, u)u + dB(v, u)u = v + (c + d)B(v, u)u = τu,c+d(v) Inoltre se τ_u,cè l’identità allora τ_u,c(v) = v + cB(v, u)u = v, ovvero cB(v, u)u = 0, per ogni v ∈ V , e poiché u non sta nel nucleo di B (essendo B non degenere) esiste w ∈ V tale che B(u, w) 6= 0; preso v = w si ha subito c = 0.

Un’altra conseguenza della definizione: se η ∈ Sp_n(F ) allora ητu,cη⁻¹ = τ_η(u),c

Infatti si ha

η(τu,c(η⁻¹(v))) = η(η⁻¹(v) + cB(η⁻¹(v), u)u) = v + cB(η⁻¹(v), u)η(u) = v + cB(v, η(u))η(u) = τ_η(u),c(v) Infine se a ∈ F^∗ allora

τau,c = τ_u,a2c

Infatti τau,c(v) = v + cB(v, au)au = v + a²cB(v, u)u = τ_u,a2c(v).

Si vede facilmente che se x è B-ortogonale a u allora è fissato da τu,c, e in particolare u è fissato da τu,c. Resta quindi definita l’applicazione

ζu,c: V → F u x 7→ τ_u,c(x) − x

Per quanto detto ζ_u,c² = 0 e quindi il seguente lemma dimostra che det(τu,c) = 1.