4.3 Proprietà generali dei sistemi in retroazione 4.4 Analisi a regime dei sistemi in retroazione 4.5 Il criterio di Nyquist

(1)

4. Stabilità e Sistemi in Retroazione

Controlli Automatici A

Corsi di laurea triennali in Ingegneria Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni

a.a. 2001/2002

Docente: Prof. Aurelio Piazzi Email: [email protected]

http://www.ce.unipr.it/people/piazzi/

(2)

4.1 Stabilità: definizioni e teoremi 4.2 Il criterio di Routh

4.3 Proprietà generali dei sistemi in retroazione 4.4 Analisi a regime dei sistemi in retroazione 4.5 Il criterio di Nyquist

4.6 Margini di stabilità

(3)

4.1 Stabilità: definizioni e teoremi

Si consideri un punto di equilibrio del sistema Σ (tutte le variabili del sistema sono costanti nel tempo) con u = 0 e y = 0.

• Def. Perturbazione (introdotta dall’ingresso)

É un segnale u(t) non identicamente nullo su di un intervallo finito [t₀ , t₁] e tale che u(t) = 0 ∀ t > t₁.

(4)

• Def. (Stabilità a seguito di perturbazione)

Un punto di equilibrio, dopo l’introduzione di una perturbazione sull’ingresso, si dice:

1. STABILE se esiste M_y ∈ R⁺ ∋ | y(t) | ≤ M_y ∀ t ≥ t₁ . 2. INSTABILE se non è stabile.

3. ASINTOTICAMENTE STABILE se il punto di equilibrio è stabile (vedi 1) ed inoltre vale lim_t→∞y(t) = 0.

Osservazioni:

• Le definizioni sono del tutto simili se il punto di equilibrio corrisponde

all’ingresso costante u_C e all’uscita costante y_C (per esempio nei sistemi lineari e stazionari y_C = G(0) u_C ovvero y_C = K u_C).

(5)

• Per i sistemi non lineari l’analisi di stabilità può variare sia al variare del punto di equilibri che al variare della “grandezza” della perturbazione.

• Proprietà

Per i sistemi lineari (e stazionari) l’analisi di stabilità fatta per un punto di equilibrio rimane la medesima per ogni punto di equilibrio del sistema.

Dim. (cenno)

Il punto di equilibrio corrispondente ad u = 0 e y = 0 sia, per esempio, asin.

stabile a seguito della perturbazione u^~(t). Allora anche il punto di equilibrio u

= u_C e y = y_C è asin. stabile a seguito della perturbazione u(t) = u_C + u^~(t).

Infatti, eseguendo il cambio di variabili congiunto u(t) = u_C + u^~(t) e y(t) = y_C + y^~(t) con (u^~(t) , y^~(t) ) ∈ B ^….

(6)

• Def. (stabilità di un sistema dinamico) Un sistema lineare e stazionario Σ si dice

1. STABILE se per ogni perturbazione introdotta l’evoluzione libera è limitata su [t₁ , +∞).

2. INSTABILE se non è stabile.

3. ASINTOTICAMENTE STABILE se è stabile ed inoltre l’evoluzione libera è convergente a zero per t → +∞ .

(7)

• Teorema (poli di Σ e stabilità)

Un sistema lineare e stazionario Σ con f.d.t. razionale è stabile se e solo se Σ non presenta alcun polo a parte reale positiva e gli eventuali poli puramente immaginari siano semplici.

Σ è asintoticamente stabile se e solo se tutti i poli hanno parte reale negativa.

2

4

Esempi:

( ) 1 è stabile (ma non asintoticamente) ( 5)

( 2)( 5)

G(s)= è instabile

( 12)( 50)

( 2)( 5)

G(s)= è asintoticamente stabile

( 7) ( 50)

( 2)( 5)

G(s)= è instabile

( 3)( 50)

G s s

s s

s s

s s s

s s

= +

+

+ −

+ +

+ −

+ +

+ −

− +

(8)

Dim.

Sufficienza: Senza perdita di generalità possiamo fissare t₁ = 0, quindi ⇒

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) -esimo modo di , 1, 2, ,

{ordine di } {numero di poli complessi (con molteplicità) diviso due}

Se è un polo reale di molteplicità i modi assoc

q q

i

y t c m t c m t c m t

m t i i q

q

p h

= + + +

Σ =

≡ Σ −

…

1

1 2

iati sono:

, , ,

Se è una coppia di poli complessi coniugati di molteplicità i modi ass. sono:

sen( ), sen( ), , sen( )

Quindi

pt pt h pt

t t h t

h

e te t e

j h

e^σ t te^σ t t e^σ t

σ ω

ω ϕ ω ϕ ω ϕ

−

±

+ + +

Re

la sufficienza di entrambe le proposizioni è provata osservando che con Re 0 lim ^h ^{p t} 0

t

p

t e ^⋅ h

→+∞

<

= ∀ ∈

Necessità: É omessa perchè la prova è molto “tecnica”. Ragionando per assurdo, basterebbe mostrare che esiste una perturbazione per la quale:

= … = ≠ = … =

(9)

• Stabilità ingresso-limitato uscita-limitata (stabilità ILUL o BIBO, bounded-input bounded-output)

Si considera un sistema Σ lineare e stazionario.

• Def. (stabilità ILUL)

Σ è stabile ILUL se per ogni azione forzante limitata la corrispondente evoluzione forzata è anch’essa limitata.

( )

Formalmente:

u t y t( ), ( ) con ( )u t 0 t 0 e u(t) _∞ y t( ) _∞

∀ ∈В = ∀ < < +∞ ⇒ < +∞

• Teorema (Stabilità ILUL) Σ è stabile ILUL se e solo se

0

( ) g

τ τ

d

+∞

∫

< +∞

(10)

Dim.

Sufficienza:

0

0 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y t g u t d

y t g u t d g d u t

τ τ τ

τ τ τ τ τ

+∞

+∞ +∞

∞

= −

 

≤ − ≤  ⋅

 

∫

∫ ∫

Necessità: Occorre provare che la stabilità ILUL implica la limitatezza dell’integrale improprio. Si ragiona per assurdo: si ipotizza che l’integrale sia illimitato e quindi per M > 0 grande a piacere esiste t₁ > 0 tale che ¹

0

( )

t

g τ τd = M

∫

1

1 1

1 1 1 1

0

1

0 0

( ) ( ) ( ) si sceglie ( ) ( ) sign ( ) [0, ]

( ) ( )sign ( ) ( )

l'uscita assume valori illimitati in risposta ad un ingresso limitato... QE

t

t t

y t g u t d u t u t g t

y t g g d g d M

τ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ

= − ∋ − = ∀ ∈

= = =

∫

∫ ∫

D

(11)

• Teorema (Equivalenza Stabilità ILUL e Stabilità Asintotica) Σ è stabile ILUL se e solo se Σ è asintoticamente stabile.

Dim.

Necessità: Si prova che la stabilità ILUL implica la stabilità asintotica.

{ }

0 0

0

( ) ( ) ( )

Si noti che Re 0 1 ; : : Re 0

( ) ( ) ovvero ( ) è analitica su tutto il semipiano positivo chiuso...

st st

st

G s g t e dt g t e dt

s e s s

s G s g t dt G s

+∞ +∞

− −

− ⊕

+∞

⊕

= ≤

≥ ⇒ ≤ = ∈ ≥

∀ ∈ ⇒ ≤ < +∞

∫ ∫

∫

Sufficienza: si prova che {tutti i poli a parte reale negativa} ⇒ {Σ stabile ILUL}

1 1

1

0 1 0

( ) ( ) ( ) ; ( ) ( )

( ) ( ) i integrali che appaiono sono tutti finiti

q

q q i i

i q

i i

i

g t c m t c m t g t c m t

g t dt c m t dt q

=

+∞ +∞

=

= + + ≤

≤

∑

∫ ∑ ∫

…

(12)

1

0 0

Infatti si consideri, per esempio,

( ) sin( )

sin( ) ! quando 0 QED

( )

h t

i

h t h t

h

m t t e t

t e t dt t e dt h

σ

σ σ

ω ϕ

ω ϕ σ

σ

+∞ +∞

+

= +

+ ≤ = <

∫ ∫

−

(13)

4.2 Il Criterio di Routh

Si considera un sistema Σ con f.d.t. razionale G(s) = b(s)/a(s) dove a(s) e b(s) sono coprimi fra loro.

• Def. (Eq. caratteristica)

1

1 1 0

Dato il sistema l'eq. ( ) 0 ovvero

0

è detta equazione caratteristica di .

n n

a s

a s a ₋ s ⁻ a s a

Σ =

+ + + + =

Σ

Osservazione: La stabilità di Σ è associata alle radici dell’eq.

caratteristica.

(14)

• Def. (Polinomi di Hurwitz)

Un polinomio a(s) è detto di Hurwitz o hurwitziano se tutte le sue radici hanno parte reale negativa.

• Proprietà

Si assuma a_n > 0. Il polinomio a(s) è hurwitziano solo se tutti i suoi coefficienti sono positivi.

Dim.

(

² ²

) (

² ²

)

1 2 1 1 1

Se le radici di ( ) hanno tutte parte reale negativa allora

( ) ( )( ) ( ) 2 2

0 1, , 0 1, , (0,1) 1, ,

Quindi sviluppando tutti i prodot

n k n n l nl nl

i ni i

a s

a s a s s s s s s s

i k

i l

η η η δ ω ω δ ω ω

η ω δ

= + + + + + + +

> =

∈ =

…

ti si deduce che i coefficienti sono positivi

(15)

É possibile determinare il segno delle radici di a(s) (Re > 0, Re = 0, Re < 0) mediante la cosiddetta Tabella di Routh.

• Costruzione della Tabella di Routh

0,1 0,2 0,3

1,1 1,2 1,3

2,1 2,2 2,3

3,1 3,2 3,3

2,1 2,1

1,1 ,1

1 2 3

2 1 0

n n

n n n n

γ γ γ

γ γ

− −

−

(16)

• Regole di costruzione della T.d.R. (algoritmo base)

1. Le prime due righe riportano in modo alterno i coefficienti di a(s):

0,1 0,2 2 0,3 4

1,1 1 1,2 3 1,3 5

Ove non esplicitamente definiti i coefficienti gamma assumono il valore di zero.

n n n

a a a

γ γ γ

− −

− − −

= = =

2. Le righe successive vengono definite dalla regola (k = 2, 3,… , n):

2,1 2, 1

1,1 1, 1 1,1 2, 1 2,1 1, 1

,

1,1 1,1

k k j

k k j k k j k k j

k j

k k

γ γ

γ γ γ γ γ γ

γ γ γ

− − +

− − + − − + − − +

− −

= − = −

(17)

• Teorema (di Routh)

Si assuma che la tabella di Routh possa essere completata. Allora ad ogni variazione di segno, degli elementi consecutivi della prima

colonna, corrisponde una radice a parte reale positiva, ad ogni permanenza corrisponde una radice a parte reale negativa.

• Criterio di Routh

Il polinomio a(s) è hurwitziano se e solo se l’associata tabella di

Routh può essere completata (con l’algoritmo base) e presenta nella prima colonna solo permanenze di segno.

(18)

Esempi:

{ }

3 2

4 6 0 (radici 1, 2, 3)

3 1 1 0

2 4 6 0

due variazioni n. radici 2

4 6 5

una permanenza n. radici 1

1 0

4 2

0 6

s s s

+

−

− + + = −

− ⇒ ∈ =

− − = ⇒ ∈ =

−

{ }

4 3 2

2 3 5 10 0 (radici 0.7555 1.4444, 1.0055 0.9331)

4 2 3 10 0

3 1 5 0 0

due variazioni n. radici 2

2 7 10 0

due permanenze n. radici 2

1 45 0

7 0 10

s s s s j j

+

−

+ + + + = ± − ±

⇒ ∈ =

−

⇒ ∈ =

(19)

• Proprietà

Durante la costruzione della tabella di Routh i termini di una stessa riga possono essere moltiplicati tutti per uno stesso coefficiente

positivo senza che ciò modifichi le variazioni (o permanenze) di segno nella prima colonna.

4 3 2

4 3 5 2 1 0

4 4 5 1 0

3 3 2 0 0

2 7 3 0 (non si è diviso per 3) 1 5 0 (non si è diviso per 7)

0 3

Tutte permanenze tutte radici con parte reale negativa s + s + s + + =s

⇒

(20)

{ }

4 3 2

3 7 6 15 0

4 1 7 15 0

3 1 2 0 0 (si è diviso per 3) 2 1 3 0 (si è diviso per 5)

1 1 0

0 3

due variazioni n. radici 2 due permanenze n. radici 2

s s s s

+

−

+ + + + =

−

⇒ ∈ =

(21)

• Casi singolari nella Costruzione della Tabella di Routh a) Il primo elemento di una riga è zero.

b) Tutti gli elementi di una riga sono nulli.

• Prosecuzione della tabella nel caso a)

1. Metodo ε (è obsoleto: algoritmicamente complesso e non sempre risolutivo)

2. Metodo di Benedir-Pincibono (1990): algoritmicamente semplice e sempre risolutivo.

(22)

• Metodo di Benedir-Pincibono

Ogni riga, non nulla, che inizia con p zeri viene sommata con la riga da questa ottenuta moltiplicandola per (-1)^p e traslandola verso sinistra di p posizioni. La tabella di Routh viene poi continuata ed interpretata nel modo usuale.

{ }

Esempio: 3 3 2 0

3 1 3 0

2 0 2 0

una variazione n. radici 1

2 2 0 0

due permanenze n. radici 2

2 2 2 0

1 4 0

0 2

s s

+

−

+ − =

′ −

′′ ⇒ ∈ =

⇒ ∈ =

−

(23)

• Prosecuzione della tabella nel caso b)

Tutti gli elementi di una riga sono nulli: quando il polinomio a(s) non ha radici nell’origine questo accade sempre su di una riga dispari.

2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 , 1

2

2 2 2 2 4 2

2 2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 , 2 , 1

2

2 0

2 1 0 0 0 0 0

Def. polinomio ausiliario ( ) ( ) :

L'eq. ausiliaria è quindi ( ) 0

n i n i n i n i i

i i i

n i n i n i n i i n i i

i i

a s

a s s s s s

a s

γ γ γ γ

γ γ γ γ γ

− − − − +

− −

− − − − − +

−

= + + + + +

=

(24)

• Proprietà

1. Il polinomio ausiliario a₂(s) divide a(s). Quindi ∃ a₁(s) ∋ a(s) = a₁(s) a₂(s) .

2. La prima parte della tabella (fino alla riga 2i) da informazioni sul segno delle radici di a₁(s) .

• Proprietà (simmetria delle radici del p. ausiliario) Le radici del polinomio ausiliario a₂(s) sono disposte

simmetricamente rispetto all’origine del piano complesso.

Dim. (cenno) Nel polinomio a₂(s) mancano i termini dispari …

Quindi σ ± jω è radice di a₂(s) se e solo se - σ ± jω è radice di a₂(s)

(25)

• Corollario

L’equazione ausiliaria a₂(s) = 0 ha tante radici a parte reale negativa quante sono quelle a parte reale positiva e può anche presentare radici puramente immaginarie.

• Come proseguire la costruzione della Tabella nel caso b) 1. Si deriva il polinomio ausiliario.

2. I coefficienti del polinomio così ottenuto sostituiscono gli zeri della riga nulla.

3. Si prosegue la Tabella con l’algoritmo usuale: in questo caso però le permanenze corrispondono anche a radici puramente immaginarie.

(26)

{ }

6 5 4 3 2

4 2

2 3

2

0

Esempio: 2 3 7 4 4 0

6 1 2 7 4 0

5 1 3 4 0 0

4 1 3 4 0 polinomio ausiliario ( ) 3 4

3 2 3 0 0 ( ) 4 6 (si è diviso per 2)

2 3 8 0

1 25 0

0 8

n. radici 1

n. radici

s s s s s s

a s s s

Da s s s

+

+ − − − − − =

− − −

− −

− − = − −

− = −

− −

−

∈ =

{ }

2 (calcolato come 4 1 1) n. radici ₋ 2 1 3

− −

∈ = + =

(27)

4.3 Proprietà generali dei sistemi in retroazione

• Regola rapida per il calcolo della f.d.t. nei sistemi retroazionati

(singolo anello con il segnale retroazionato sottratto nella giunzione sommante):

{ }

f.d.t. del percorso di segnale diretto f.d.t.

1+guadagno di anello

 

=  

 

r +

− ^{G s} ^{( )}

( ) H s

y

( ) ( )

1 ( ) ( )

ry

T s G s

G s H s

= +

(28)

4. Stabilità e Sistemi in Retroazione d

( ) D s

( ) ( ) P s

C s

( ) H s

−

r ^y

( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

ry

dy

C s P s

T C s P s H s

D s P s

T C s P s H s

= +

(29)

• Sensibilità a variazioni di parametri nei sistemi retroazionati

r

− ^{G s} ^{( )}

( ) H s

y

( ) ( )

1 ( ) ( ) T s G s

G s H s

= +

• 1° caso: variazione di un parametro nella catena diretta

{ }

0 0

0

( ) è in realtà ( ; ) con , valore nominale del p.

variazione

: ( ; ) ( ; )

relativa di G ( ; )

variazione : ( ; ) ( ; )

relativa di T ( ; )

G s G s

G G s G s G

G s T T s T s T

T s

α α α α α

α α α

α

α α α

α

= + ∆ ≡

 

∆ → ∆ = − → ∆ ≡  

 

 

∆ → ∆ = − → ∆ ≡  

 

(30)

0

0 0

2

Sensibilità di T ( ; ) a variazioni di G :

( ; )

Si consideri variazione infinitesimale ( ; )

( ; )

1 ( ) 1

(1 ) 1 1

1 1 ( ; ) ( )

T G

T S T s

G G s

dT G s

S dG T s

GH G H G

S GH G GH GH

S G s H s

α α

α α α

α α

α

=

∆

 

≡     = ∆

∆

⇒ =

+ −

= ⋅ =

+ + +

= +

(31)

Quindi se il guadagno di anello è molto elevato la variazione relativa di T è molto più piccola della variazione relativa di G.

0

0 0

In termini frequenziali:

se ( ; ) ( ) 1

( ) ( )

<<

( ; ) ( ; )

G j H j

T j G j

ω α ω

ω ω

ω α ω α

>>

∆ ∆

⇒

Conclusione: Un guadagno di anello elevato rende (relativamente) insensibile la f.d.t. del sistema retroazionato a variazioni della

f.d.t. del sistema controllato.

(32)

• 2° caso: variazione di un parametro nella catena di retroazione

{ }

0 0

0

( ) è in realtà ( ; ) con , valore nominale del p.

variazione

: ( ; ) ( ; )

relativa di H ( ; )

variazione : ( ; ) ( ; )

relativa di T ( ; )

H s H s

H H s H s H

H s T T s T s T

T s

β β β β β

β β β

β

β β β

β

= + ∆ ≡

 

∆ → ∆ = − → ∆ ≡  

 

 

∆ → ∆ = − → ∆ ≡  

 

0

0 0

Sensibilità di T

a variazioni di H : ( ; ) ( ; )

Considerando variazione infinitesimale

( ; ) ( ) ( ; )

( ; ) 1 ( ) ( ; )

T H

T T

H H

T H

S T s H s

H s G s H s

S dT S

dH _{β β} T s G s H s

β β

β

β β

=

  ∆ ∆

≡   =

 

∆

⇒ = ⇒ = −

+

(33)

Quindi se il guadagno di anello è elevato la variazione relativa di T è circa uguale (in modulo) alla variazione relativa di H.

0

0 0

In termini frequenziali:

se ( ) ( ; ) 1

( ) ( )

( ; ) ( ; )

G j H j

T j H j

ω ω β

ω ω

ω β ω β

>>

∆ ∆

⇒ ≅

Conclusione: Variazioni della f.d.t. nella catena di retroazione si riverberano senza attenuazione in variazioni della f.d.t. del sistema retroazionato.

(34)

• Attenuazione dei disturbi

disturbo agente su “impianto” ad anello aperto:

( ) P s

( ) ( ) Y s

D s ( )

R s

{ }

uscita determinata dal segnale utile ( ) ( ) uscita determinata dal disturbo ( ) ( )

segnale ( )

disturbo ( )

P s R s P s D s

R s D s

≡

 

⇒   =

 

(35)

Ipotizziamo che il disturbo sia indipendente dal segnale

“manipolabile” R(s) e mostriamo come sia possibile migliorare il rapporto segnale/disturbo introducendo la retroazione:

( ) P s

( ) ( ) Y s

( ) D s R s

( ) H s ( )

C s

Per un confronto omogeneo si richiede 1

1 questo è possibile quando 1 e 1 guadagno di anello elevato

ovvero

f.d.t. della catena di retroazione sistema inverso di P CP P

CPH

C CPH CPH H P

+ ≅

⇒ ≅ + >> ≅

 ≅



(36)

{ }

( )

uscita determinata dal segnale utile ( ) ( )

uscita determinata dal disturbo ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )

segnale ( )

1 ( ) ( ) ( )

disturbo ( )

P s R s

P s D s

C s P s H s C s P s H s R s

D s

≅

= +

 

⇒   ≅ +

 

Il rapporto segnale/disturbo viene modificato nel rapporto di 1 a

|1+C(jω)P(jω)H(jω)| e quindi fortemente aumentato se nella banda di frequenze del disturbo vale |C(jω)P(jω)H(jω)|>>1.

Conclusione: Se il guadagno di anello è elevato il rapporto

segnale/disturbo si eleva all’incirca del medesimo fattore passando dallo schema in catena aperta a quello in catena chiusa. Quindi, a parità di segnale utile, il disturbo viene grandemente attenuato nel sistema in retroazione.

(37)

• Allargamento della banda passante

Ipotizziamo che ( ) ( ) ( )

1 ( )

Se ( ) 1 ( ) 1

H s h T j G j

hG j

h G j T j h

ω ω

ω

ω ω

= ∈ +

= +

>> ⇒ ≅

r

− ^{G s} ^{( )}

h

y

Un guadagno di anello elevato implica un

allargamento della banda passante.

(log) ω

3 db

( ) (db) G jω

( ) (db) T jω

ωG ω_T

(38)

{ }

Esempio:

1 1

( ) banda passante 1

1 1

1 1 1

( )

1 1

banda passante 1 Se 1

G

T

T G

G j j

j h

T j h j h j

j h

h h

ω ω

τ ω τ

ω τ ω τ ω τ ω

τ ω

ω τ

ω ω

= ≡ =

+

+ +

= = =

+ +

≡ = +

>> ⇒ >>

(39)

4.4 Analisi a regime dei sistemi in retroazione

( ) G s

e y

r

−

Studio dell’errore di regolazione a regime in risposta a segnali tipici.

Assunzioni: sistema in retroazione unitaria, sistema retroazionato asintoticamente stabile,

2

0 0 0

( ) 1( ), 1( ), 1( ) 2

r t r t r t t r t t 

∈ 

 

( ) : ( ) ( ) ( ) 1 ( )

1 ( )

:= lim ( ) : tipo (di sistema) di ( )

r t

e t r t y t E s R s

G s

e e t h G s

→∞

= − =

+

=

(40)

• Gradino: ^{( )} ⁰1( ), ( ) r⁰ r t r t R s

= = s

t

r0 e^r

0

0 0

0

lim ( ) lim 1

1 ( )

dove : lim ( ) (costante di posizione) 1

r s s

r p

p s

e sE s s r

G s s

e r K G s

K

→ →

→

= = ⋅

+

= =

+

• Rampa: ^{( )} ⁰ 1( ), ( ) r⁰² r t r t t R s

= = s

t

er

0 0

0 0 2 0

0

lim ( ) lim 1 lim

1 ( ) ( )

dove : lim ( ) (costante di velocità)

r s s s

r v

v s

r r

e sE s s

G s s s sG s

e r K sG s

K

→ → →

→

= = ⋅ =

+ +

= =

(41)

• Parabola:

2

0

0 3

( ) 1( ), ( ) 2

t r

r t r t R s

= = s e^r

t

0 0

3 2 2

0 0 0

0 2

0

lim ( ) lim 1 lim

1 ( ) ( )

dove : lim ( ) (costante di accelerazione)

r s s s

r a

a s

r r

e sE s s

G s s s s G s

e r K s G s

K

→ → →

→

= = ⋅ =

+ +

= =

Quadro riassuntivo:

1 1

(1 )

( ) ^h(1 )

G s K s

s s

τ τ + ′

= +

Tipo di

sistema

0 0 0

1 0

2

p v a

K K K

K

∞

∞ ∞

|

0

0 1

1 0

2 0 0

Tipo Ingresso gradino rampa parabola

r r r

e r e e

K

e e r e

K

e e e r

K

= = ∞ = ∞

+

= = = ∞

= = =

(42)

• Errore a regime con retroazione non unitaria

r

− ^{G s} ^{( )}

( ) H s

La variabile controllata y è in generale

y

dimensionalmente diversa dal segnale di set-point r e quindi occorre definire la condizione ideale di controllo:

( ) _C ( ) _C : costante di controllo o regolazione y t ≡ K r t K =

La difformità dalla condizione ideale può essere misurata da una variabile errore, per esempio così definita:

( ) : ( ) ( ) ; : 1

( ) 0 ( ) ( )

C C

e t r t y t K

e t y t K r t

γ γ

= − =

≡ ⇔ ≡

(43)

E ( ) G s

γ y

r

e

− Lo schema in retroazione non

unitaria può essere ricondotto allo schema a fianco con retroazione unitaria. Quest’ultimo incorpora la definizione di errore assegnata.

Affinché i due schemi siano equivalenti occorre e basta che la

f.d.t. fra r ed y del primo schema moltiplicata per γ sia uguale alla f.d.t. fra r e γy del secondo schema.

1 1

E E

G G

GH ⋅ =γ G ⇒

+ + ^{G s}^E^{( )} ⁼ ¹⁺^{G s}^{( )}^{G s}

(

^{( )}^{H s}^γ^{( )} ⁻^γ

)

Esempio: Se ( )H s = h e K_C = 1 h ⇒ G s_E( ) = G s h( )

(44)

4.5 Il criterio di Nyquist

È un criterio grafico per lo studio della stabilità asintotica dei sistemi retroazionati.

r

− ^{G s} ^{( )}

( ) H s

y

^{( )}

( ) 1 ( )

ry

T s G s

= L s +

( )

( ) : ( ) ( ) guadagno di anello L s = G s H s

• Il sistema retroazionato è stabile asintoticamente se e solo se l’eq. caratteristica 1 + L(s) = 0 ha tutte le radici a parte reale negativa.

• Il criterio di N. richiede il tracciamento del diagramma polare (o di N.) di L(jω).

(45)

Teorema dell’indice logaritmico (Principle of the Argument) Sia Γ una curva chiusa del piano complesso e D la regione ad esso interna ( Γ = ∂D ). Sia F(s) una funzione analitica su D ad eccezione di un numero finito di poli. Inoltre F(s) non abbia su Γ né poli né zeri. Vale quindi la relazione:

1 arg ( )

2 F s n

^z

n

^p

π ^∆ ^{= −}

dove ∆arg F(s) denota la variazione dell’argomento di F(s) al variare di s lungo Γ per un giro completo in senso antiorario ed n_z e n_p sono rispettivamente il numero degli zeri e dei poli di F(s) su D computati con le loro molteplicità.

(46)

Nota: Se la curva Γ fosse percorsa in senso orario la relazione sarebbe: ₁

arg ( )

2 F s n^z n^p

− π ∆ = −

Esempio:

piano s s

Γ

piano immagine

( ) F s

θi

curva immagine

( )

( ) ( )

arg ( ) 2 2 4

3, 1 (zeri e polo con molteplicità unitaria)

1 4 3 1

2

Con la percorrenza oraria di avremmo: arg ( ) 2 2 4 1 4 3 1

f i i i

z p

f i i i

F s

n n

F s

θ θ θ π θ π

π π

θ θ θ π θ π π

π

∆ = − = + ⋅ − =

= =

⋅ = −

Γ ∆ = − = − ⋅ − = − ⇒ − ⋅ − = −

(47)

Corollario (formulazione geometrica del teorema dell’indice log.) Assunte le ipotesi del teorema dell’indice log. con la percorrenza di Γ antioraria vale la relazione:

numero di giri, in senso antiorario,

della curva immagine intorno all'origine n^z n^p

 

  = −

 

oppure, assunte le ipotesi del teorema dell’indice log. con la percorrenza di Γ oraria vale la relazione:

numero di giri, in senso orario,

della curva immagine intorno all'origine n^z n^p

 

  = −

 

(48)

• Applicazione del teorema dell’indice log. alla stabilità dei sistemi retroazionati:

R

ρ

R → ∞

ρ → 0

La curva chiusa di figura percorsa in senso orario è detta contorno di Nyquist: è composta da una

semicirconferenza all’infinito, semicirconferenze infinitesime aggiranti poli o zeri immaginari di L(s) e da segmenti dell’asse

immaginario.

(49)

Applichiamo il teorema dell’indice log. nella sua formulazione

geometrica scegliendo il contorno di Nyquist quale curva del piano complesso e le funzioni L(s) e 1 + L(s):

+ +

+

: numero degli zeri di ( ) appartenenti a numero degli zeri di 1 ( ) appartenenti a

: numero dei poli di ( ) (o di 1 ( ) ) appartenenti a numero di giri in senso orario della c

:

z z p

n L s

n L s L s

ξ

=

′ = +

= +

= urva immagine di ( )

sul contorno di Nyquist intorno all'origine

numero di giri in senso orario della curva immagine di 1 ( ) : sul contorno di Nyquist intorno all'origine

z p

L s n n

ψ

 

  = −

 

 +  ′

=   = −

 

(50)

• Def. (diagramma polare completo)

Il diagramma polare completo è la curva chiusa immagine di L(s) sul contorno di Nyquist.

Quindi

z p

n n n n ξ

ψ

= −

  = − ′



dove

{ }

numero di giri in senso orario del d.p.c. intorno all'origine

numero di giri in senso orario del d.p.c. intorno al punto 1 j0 ξ

ψ

=

= − +

4.3 Proprietà generali dei sistemi in retroazione 4.4 Analisi a regime dei sistemi in retroazione 4.5 Il criterio di Nyquist

Controlli Automatici A

4.1 Stabilità: definizioni e teoremi 4.2 Il criterio di Routh

4.3 Proprietà generali dei sistemi in retroazione 4.4 Analisi a regime dei sistemi in retroazione 4.5 Il criterio di Nyquist

4.6 Margini di stabilità

4.1 Stabilità: definizioni e teoremi

( )

τ τ

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

∑

∫ ∑ ∫

∫ ∫

4.2 Il Criterio di Routh

(

) (

)

γ γ

γ γ γ γ γ γ

γ γ γ

= − = −

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

4.3 Proprietà generali dei sistemi in retroazione

{ }

r +

− G s ( )

y

( ) ( ) P s

C s

( ) H s

−

( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( )

C s P s

T C s P s H s

D s P s

T C s P s H s

= +

= +

r

− G s ( )

y

( ) ( )

1 ( ) ( ) T s G s

G s H s

= +

{ }

Sensibilità di T ( ; ) a variazioni di G :

( ; )

Si consideri variazione infinitesimale ( ; )

( ; )

1 ( ) 1

(1 ) 1 1

1

1 ( ; ) ( )

T S T s

G G s

dT G s

S dG T s

GH G H G

S GH G GH GH

S G s H s

α α α

α α

α

∆

 

− ^{G s} ^{( )}

− ^{G s} ^{( )}

− ^{G s} ^{( )}

− ^{G s} ^{( )}

− ^{G s} ^{( )}

π ^∆ ^{= −}