Capitolo 4
Sistemi lineari
Marco Robutti
Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia
Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare
Definizione (Sistema lineare)
Un sistema lineare di k equazioni in n incognite è un sistema del tipo:
a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn = b1
a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn = b2
... ...
ak1x1+ ak2x2+ · · · + aknxn = bk In forma matriciale:
a11 a12 · · · a1n
a . .. ··· a
x1
x2
b1
b2
Definizione (Sistema lineare) Il sistema lineare si dice essere:
• omogeneo ⇐⇒ B = 0k ←−
Ammette sempre la soluzione banale 0n!
• non omogeneo ⇐⇒ B 6= 0k
Inoltre viene detta matrice completa del sistema la matrice costituita dalla matrice A con in coda il vettore dei termini noti, cioè:
A˜ = (A | B)
Teorema (Teorema di Rouché-Capelli) Un sistema lineare:
AX = B, A∈ MR(m, n) , B∈ Rm, è risolubile se e solo se rg(A) = rgA˜.
Osservazione
Se rg (A) = rgA˜= n =⇒!∃ soluzione.
Definizione (Sistema quadrato non singolare)
Un sistema AX = B, con A ∈ GL (n, R) e B ∈ Rn è detto essere un sistema quadrato non singolare.
Teorema (Primo teorema di struttura) Dato un sistema lineare omogeneo:
AX = 0m, A∈ MR(m, n) ,
l’insieme delle soluzioni del sistema è un sottospazio di Rn, che viene indicato con Ker(A), in simboli:
Ker(A) = {X ∈ Rn| AX = 0m} , dim(Ker (A)) = n − rg (A)
Teorema (Secondo teorema di struttura)
Dato un sistema lineare non omogeneo risolubile:
AX = B, A∈ MR(m, n) , B ∈ Rm,
l’insieme delle soluzioni V è detto essere una varietà lineare di dimensione n− rg (A), in particolare risulta:
V = X0+ Ker (A) ,
dove X0 ∈ Rn è una qualsiasi soluzione del sistema.
Problema (Risoluzione di un sistema lineare)
Dato un sistema lineare AX = B, A ∈ MR(m, n),B ∈ Rm, esistono principalmente tre metodi per trovare l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare:
1) Metodo classico, 2) Metodo di Cramer,
3) Metodo di riduzione di Gauss,
Algoritmo - Metodo classico
Si risolve il sistema lineare come si è imparato a fare nelle scuole superiori e come abbiamo sempre fatto, per esempio, quando dovevamo calcolare le coordinate di un vettore rispetto ad una data base in Rn.
Algoritmo - Metodo di Cramer
Può essere utilizzato solamente per i sistemi lineari quadrati non singolari. Dato il sistema:
AX = B, A∈ MR(n) B∈ Rn, l’algoritmo procede nel modo seguente:
xi = ∆i
|A| = det A1 | · · · | Ai−1 | B | Ai+1 | · · · | An
|A|
Si può trovare un esempio di tale metodo a pag. 260 del libro di testo (Esempio 4.7).
Algoritmo - Metodo di riduzione di Gauss E’ applicabile a sistemi lineari di qualsiasi tipo.
Con questo metodo si tenta di ricondurre la matrice completa del sistema ˜A ad una matrice a scala, così da poter poi applicare l’algoritmo di risoluzione all’indietro.
E’ simile al metodo di riduzione di Gauss utilizzabile per trovare l’inversa di una matrice.
Un esempio di risoluzione di un sistema utilizzando questo metodo è presente a pag. 272-273 del libro di testo (Esempio 4.17).
Problema (Trovare le equazioni cartesiane di un sottospazio) Dato un insieme di vettori linearmente indipendenti
U = {u1,· · · , uk}, i quali definiscono un sottospazio di V , con dim (V ) = n, (n > k), il problema che ci si pone è di trovare le equazioni cartesiane di tale sottospazio a partire dai k vettori che gli appartengono di cui siamo in possesso. Per fare ciò, basta definire la matrice:
A=
u11 u12 · · · u1k x1
u21 . .. ··· u2k x2
... ... . .. ... ... un1 un2 · · · unk xn
Problema (Trovare le equazioni cartesiane di un sottospazio) Il sottospazio ha dimensione k: pertanto, per trovare le sue equazioni cartesiane, bisogna imporre che dim (U) = k
utilizzando il metodo di Kronecker. Si sceglierà pertanto una sottomatrice di ordine k × k e si imporrà che il suo
determinante sia non nullo; successivamente si costruiranno tutti i suoi orlati e si imporrà che il loro determinante, invece, sia nullo. L’imposizione di tali condizioni equivale alla creazione delle equazioni cartesiane del sottospazio. Un esempio di
applicazione di tale metodo lo si può trovare a pag.292-293 del libro di testo (Esempio 4.26);
