10. Analisi delle prove sperimentali e delle simulazioni numeriche

10. Analisi delle prove sperimentali e delle simulazioni

numeriche

In questo capitolo verrà condotto un confronto tra due possibili approcci per valutare il danneggiamento relativo al processo aleatorio in esame: il primo, già introdotto nel Capitolo 9, legato al metodo di conteggio rainflow e alla legge di Palmgren-Miner (che può essere considerato “esatto”, nei limiti di validità delle legge di accumulo lineare del danno) e il secondo, impostato sulla base di metodi semplificati che utilizzano, per il calcolo del danno, solo proprietà ricavabili direttamente dalle PSD. Entrambi gli approcci verranno poi confrontati con i risultati ottenuti dalla campagna di prove sperimentali, Figura 10.1.

10.1 Scelta delle PSD

Il confronto tra il metodo “esatto”, i metodi semplificati e i dati ottenuti in laboratorio, è stato effettuato prendendo in considerazione tre particolari PSD tra le sette che sono state oggetto di indagine nei precedenti capitoli. La scelta è ricaduta su tre PSD caratterizzate da larghezze di banda differenti, in modo tale da coprire tre casi di interesse:

• PSD n°6, con γ =0.53, corrispondente ad un processo a banda larga. Sono state considerate sia le sequenze di massimo e di minimo danno (secondo la legge di Palmgren-Miner) tra le prime 1000 storie di carico estratte dalla PSD tramite la Simulazione Montecarlo, sia le sequenze di massimo e di minimo danno tra tutte e 10000 le storie di carico considerate;

• PSD n°4, con γ =0.7, corrispondente ad un comportamento intermedio tra i primi due.

Figura 10. 1

Sono stati quindi considerati tre forme diverse di PSD, corrispondenti a tre valori diversi del fattore di irregolarità γ . Inoltre il confronto è stato esteso a casi in cui le PSD cambiavano anche di intensità, e quindi di RMS : per la PSD n°6 sono stati analizzati i casi a 52.5MPa , 45.5MPa , 38.5MPa e 35MPa , mentre per la PSD n°4 e la PSD n°2, sono stati considerati solo i casi a RMS=52.5MPa e a

35

RMS = MPa.

10.2 Analisi dei risultati ottenuti con il metodo “esatto”

Come è stato visto nel Capitolo 7, per poter estrarre i cicli di fatica è necessaria la conoscenza delle storie di carico. Successivamente al metodo di

conteggio rainflow è possibile stimare il danno. Qui di seguito verranno riportate alcune considerazioni riguardanti l’analisi dei cicli costituenti le storie di carico, nell’obiettivo di evidenziare quali sono quelli effettivamente danneggianti che contribuiscono al calcolo del danno DMiner secondo il metodo “esatto”, inserendo alcune osservazioni e grafici. Questa analisi viene fatta per seguire passo passo tale metodo e per vedere, quindi, se tramite la regola di Miner si tiene bene conto di quelli che sono i cicli effettivamente affaticanti.

Durante questo paragrafo i grafici si riferiranno alla sequenza di massimo danno scelta tra le prime 1000 storie di carico derivanti dalla PSD n°6, con γ =0.53 e fattore di scala SF =0.75 e la legge del materiale è quella definita dalle relazioni (9.2) e (9.4). Per tutte le altre sequenze le considerazioni sono analoghe.

La sequenza presa in considerazione presenta un numero totale di cicli pari a 3607 e in Figura 10.2 se ne riporta la distribuzione in un diagramma

σ

m−

σ

a (tensione media – tensione alternata).

Figura 10. 2

Per poter determinare quali siano gli effettivi cicli affaticanti, inizialmente vengono esclusi i cicli interamente in compressione, i quali presentano un livello massimo di tensione negativo

σ

_MAX <0, ottenendo in questo modo un primo filtraggio, Figura 10.3.

Figura 10. 3

E’ importante osservare, in accordo con [26], che tra tutti i cicli effettivamente affaticanti si possono trovare alcuni cicli che presentano un valor medio

σ

_m<0, purché risulti che

σ

_MAX >0 e la componente alternata sia maggiore di quella media,

a m

σ

>

σ

. Successivamente, in base alla legge del materiale (9.4), vengono individuati tutti i cicli per i quali σeq−A4≤0MPa: questi cicli non danno contributo al danno

D per cui un secondo filtro provvede ad eliminarli. Viene riportata in Figura 10.4 la distribuzione dei soli cicli affaticanti che sono in numero pari a 1222.

In Figura 10.5 si riportano le curve di Wöhler e i dati sperimentali: sempre nella stessa figura vengono riportate le coppie

(

N_f,σ_MAX

)

relative ai cicli affaticanti estratti dalla storia di carico analizzata. Ogni ciclo affaticante è indicato tramite un punto blu: per un generico ciclo caratterizzato da un particolare valore di R e di

MAX

σ , Nf rappresenta il numero di cicli al quale si ha rottura per fatica in seguito all’applicazione ripetuta sempre dello stesso ciclo.

Figura 10. 5

Dalla Figura 10.4 e dalla Figura 10.5 si può notare come, in effetti, la maggior parte dei cicli affaticanti si concentri in un intervallo piuttosto ristretto dello stress ratio R , centrato attorno a R= −1. Tutto ciò è in accordo con quanto osservato nel Paragrafo 8.3.

Si ricorda che la sequenza è stata opportunamente rielaborata in modo tale da poter essere utilizzata adeguatamente dalla macchina di prova in laboratorio. Avendo quindi eliminato tutti i cicli con ∆σ inferiore a 40mV , il numero totale di cicli presenti nella sequenza passa da 3607 a 3358. Noto questo valore, ricavando tramite la legge di Palmgren-Miner il valore del danno D relativo a tale sequenza, e ricordando che la sequenza viene ripetuta finché il danno D non tende a 1 (valore che identifica la rottura per fatica del componente analizzato), si può ricavare il numero di cicli a fatica Nf Miner al quale si stima la rottura del componente in seguito all’applicazione della sequenza considerata, Tabella 10.1.

Fattore di irregolarità 0.53

Tipologia della sequenza DMAX su 1000 THs Numero totale di cicli 3358

Numero dei cicli affaticanti 1222 Stima di D secondo Miner 0.01889

Stima di Nf Miner 177813 Tabella 10. 1

Nella Figura 10.6 viene proposto un diagramma tridimensionale in cui viene riportata la distribuzione dei 3358 cicli costituenti la sequenza in esame: la griglia è stata divisa in 40x40 bin ognuno dei quali presentava le dimensioni

(

6.38MPa

) (

× 5.16MPa

)

. Si può notare l’elevata presenza di cicli con ampiezza σa piccola e stress ratio R prossimo a -1.

Figura 10. 6

In Figura 10.7 viene riportata la distribuzione dei cicli in un grafico R−σMAX . I cicli vengono suddivisi in tre gruppi: i cicli interamente in compressione, con

0 MAX MPa

σ ≤ , i cicli con σ_MAX >0MPa che in base alla legge del materiale non risultano essere affaticanti e i cicli che danno un contributo effettivo al calcolo del danno.

Figura 10. 7

Nella Figura 10.7 sono state inserite anche le curve R= f

(

σ

MAX

)

per alcuni valori fissati del numero di cicli. Per quanto riguarda i risultati legati al calcolo del danno

Miner

D , questi sono stati riportati nel Capitolo 9.

10.3 Analisi dei risultati ottenuti con i metodi semplificati

Si è visto come molto spesso i fenomeni dinamici che inducono dei carichi sulle strutture aerospaziali non sono predicibili a priori. Le storie di carico quindi non sono esattamente note, ma di queste si può conoscere la densità spettrale di potenza PSD. Nei capitoli precedenti è stato possibile osservare come da una stessa PSD sia possibile ricostruire in linea teorica infinite storie di carico. Il metodo “esatto“, che fa capo al metodo di conteggio rainflow e alla legge di Palmgren-Miner, permette di stimare il danno relativo alle storie di carico: uno dei risultati più importanti raggiunti nel Capitolo 9 è stato quello di aver evidenziato la dispersione associata al danno calcolato per le diverse time histories, distribuito approssimativamente secondo una gaussiana.

I metodi semplificati, invece, fanno uso delle sole informazioni provenienti dal dominio della frequenza in termini di proprietà della PSD: in questo caso è possibile

effettuare la stima del danno in funzione di alcuni parametri spettrali mediante alcune formule semiempiriche. Tali metodi sono di grande interesse poiché, a differenza del metodo “esatto” che necessita di grandi risorse in termini di tempo e di calcolo, questi sono invece molto più veloci e di facile implementazione.

Esistono in letteratura diverse formalizzazioni dei metodi semplificati: alcuni sono piuttosto complessi, come i modelli che si basano sulle catene di Markov e sulle relazioni di Kowalewsky, come indicato in [27]. Altri invece si basano su modelli empirici che però nella loro elaborazione risultano essere piuttosto complicati, come quelli proposti ad esempio in [20].

In questa Tesi vengono presi in considerazione, invece, due modelli semplificati, quello di Dirlik e quello di Rayleigh, i quali si basano sui cosiddetti momenti spettrali.

10.3.1 I momenti spettrali

I momenti spettrali considerati sono quattro, m0, m1, m2 e m4, e tramite le loro combinazioni è possibile determinare i parametri che definiscono la forma della PSD. La loro definizione è basata sulla seguente relazione:

( )

0 2 j j X m f PSD f df +∞   =

_∫

_ ⋅ _ (10.1)

in cui si è fatto riferimento alla densità spettrale di potenza del processo aleatorio

( )

( )

X t =

σ

t . Si ricorda che la PSDX è una funzione reale, definita positiva e pari, per cui il calcolo dell’integrale (10.1) può essere effettuato nell’intervallo

[

0,+∞

]

e poi semplicemente moltiplicando il tutto per due. Dalla (10.1) si osserva subito come il momento m0 rappresenti la varianza del processo, infatti:

( )

0 0 2 _X m PSD f df +∞ =

_∫

(10.2)

Inoltre, come indicato in [20], si può dimostrare che il valore atteso degli attraversamenti del livello 0MPa presenti nell’unità di tempo è dato da:

2 0 0 m m

ν

+ _{= (10.3)}

Si può dimostrare anche che il valore atteso dei picchi per unità di tempo è dato da:

4 2 p m m

ν

= (10.4)

e che il fattore di irregolarità può essere riscritto come:

0 2 0 4 p m m m

ν

γ

ν

+ = = (10.5)

Viene di seguito effettuata una verifica riguardante i parametri scritti in funzione dei momenti spettrali nelle relazioni (10.3), (10.4), (10.5). Nella Tabella 10.2 vengono riportati i valori ricavati in funzione dei momenti spettrali e moltiplicati poi per T =327.68s (che rappresenta l’intervallo temporale in cui vengono riportate le storie di carico) e i valori veri ottenuti dal metodo di conteggio effettuato sulla sequenza temporale stessa, il tutto sempre relativamente alla sequenza analizzata in questo capitolo, ossia quella di massimo danno sulle prime time histories per la PSD n°6, con γ =0.53, SF=0.75 e RMS =52.5MPa.

Valore calcolato in funzione dei momenti

spettrali

Valore derivato dai metodi di conteggio

Errore percentuale

Zero up-crossing

per unità di tempo 5.889 5.832 tot

N degli zero

up-crossing 1929.5 1911

+0.98%

Picchi per unità di

tempo 11.114 11.008 tot N dei picchi 3641.8 3607 +0.96% Fattore di irregolarità 0.529820 0.529803 +0.004% Tabella 10. 2

Si può notare come gli errori percentuali siano molto bassi, per cui si può affermare che tale verifica abbia dato esito positivo. Nella Tabella 10.2 si sia fatto riferimento alla sequenza “originale”, ossia quella con 3607 cicli e non quella rielaborata per la macchina in laboratorio, con 3358 cicli.

10.3.2 I modelli di Rayleigh e di Dirlik

Per poter calcolare il numero di cicli di stress range ∆σ nell’intervallo di tempo

[ ]

0,T considerato, entrambi i metodi utilizzano la seguente relazione:

( )

[ ]

( )

N ∆

σ

=E P T p⋅ ⋅ ∆

σ

(10.6)

in cui E P

[ ]

=

ν

p è il valore atteso dei picchi nell’unità di tempo e p

( )

∆

σ

rappresenta la funzione densità di probabilità dei ∆σ. I due metodi differiscono tra loro per le diverse espressioni analitiche riguardanti p

( )

∆

σ

: il metodo di Rayleigh si presta bene a descrivere solo sequenze di carico di tipo narrow band e si ha:

( )

( )2 8 0 0 4 m p e m σ

σ

σ

_∆    −_{ } ⋅   ∆ ∆ = ⋅ ⋅ (10.7)

La formula di Dirlik è più elaborata e, pur avendo una validità generale, è più adatta a descrivere storie di carico a banda larga (wide band). Questa, secondo quanto indicato in [28], fa riferimento alle seguenti relazioni:

0 2 Z m

σ

∆ = ⋅ (10.8) 1 2 0 4 m m m x m m = ⋅ (10.9)

(

2

)

1 2 2 1 m x D

γ

γ

⋅ − = + (10.10) 2 1 2 1 1 1 m x D R D D

γ

γ

− − = − − + (10.11)

2 1 1 2 1 1 D D D R

γ

− − + = − (10.12) 3 1 1 2 D = −D −D (10.13)

(

3 2

)

1 1.25 D D R Q D

γ

⋅ − − ⋅ = (10.14)

( )

2 ₂ 2 2 2 1 2 3 2 0 2 Z Z Z Q R D D Z e e D Z e Q R p m

σ

− − − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ (10.15)

Prima di procedere nell’analisi, è opportuno fare la seguente osservazione: di seguito, infatti, verranno sistematicamente studiati i due metodi, quello di Dirlik e quello di Rayleigh, per ogni processo qualunque sia la sua larghezza di banda. Tuttavia, come evidenziato precedentemente, il modello di Rayleigh, non può essere utilizzato per studiare i processi a banda larga, per cui il fatto di utilizzarlo anche per 0< <

γ

1 è giustificabile esclusivamente nell’ottica di effettuare un paragone con l’altro metodo, quello di Dirlik, che si rivelerà essere uno strumento più generale.

Nella Figura 10.8 è mostrato il confronto tra la distribuzione degli stress range

σ

∆ ottenuta tramite il metodo di conteggio rainflow e gli andamenti della p

( )

∆

σ

secondo Dirlik e Rayleigh nel caso della PSD con

γ

=0.53.

Si può osservare come il modello di Dirlik, espresso tramite la relazione (10.15), descrive con una buona approssimazione la distribuzione di ∆σ, mentre non fa altrettanto il modello proposto da Rayleigh.

In secondo luogo, facendo riferimento alla prima sequenza estratta dalla PSD n°2, con

γ

=0.95 e SF=0.75, in Figura 10.9 viene riportato un grafico analogo a quello di Figura 10.8. Questa volta si può notare come entrambi i modelli di Rayleigh e di Dirlik seguano con buona approssimazione la distribuzione di ∆σ nella zona per cui ∆ >σ 25MPa: si può notare come in tale intervallo i due metodi siano vicini al sovrapporsi. Nell’intervallo dei bassi valori di ∆σ , invece, l’andamento del modello di Rayleigh è quello meno preciso poiché tende a 0, mentre quello di Dirlik tende ad approssimare meglio la distribuzione: tale modello presenta inoltre un picco per ∆ →σ 0MPa, in accordo con quanto trovato mediante il metodo di conteggio rainflow.

Figura 10. 9

Tale picco può essere spiegato con semplici considerazioni sull’espressione analitica della p

( )

∆

σ

. Il numeratore della (10.15), infatti, è composto da tre termini, tutti esponenziali, come si può osservare in Figura 10.10. Si nota come proprio il primo dei tre termini dia luogo al picco in corrispondenza dei bassi valori di ∆σ.

Nella Figura 10.11 si riporta un grafico analogo anche per la sequenza di massimo danno estratto dalla PSD n°4, con

γ

=0.7 e SF =0.75.

Figura 10. 10

Figura 10. 11

In questo caso analizzato si nota come nuovamente il modello di Rayleigh non dia una buona approssimazione, mentre il modello di Dirlik riesce a seguire bene la distribuzione di ∆σ nell’intervallo ∆ >σ 20MPa, dando degli errori esclusivamente nella zona a bassi ∆σ, influenti tuttavia dal punto di vista del calcolo del danno.

A titolo d’esempio si riporta il caso della sequenza di massimo danno della PSD n°1, con

γ

=0.994 e SF =0.75: qui il modello di Rayleigh si comporta decisamente meglio. Rayleigh e Dirlik si sovrappongono esattamente nella zona a

σ

∆ più grandi, inoltre nella zona in cui ∆ →σ 0MPa il modello di Dirlik dà un errore più grande, mentre il modello di Rayleigh riesce ad inseguire bene la

distribuzione tendendo a zero. Nuovamente, tutto ciò è assolutamente ininfluente per il calcolo del danno poiché ∆σ è piccolo. In Figura 10.12 si riporta quanto scritto precedentemente e in Figura 10.13 si riporta un ingrandimento di p

( )

∆

σ

nella zona dei bassi valori di ∆σ .

In conclusione si può affermare come il modello di Dirlik sia uno strumento valido per riuscire a rappresentare la distribuzione di ∆σ per un’ampia casistica di valori del fattore di irregolarità, anche nel caso di spettri a banda stretta, a differenza del modello di Rayleigh che dà buoni risultati solo per PSD con fattore di irregolarità

γ

→1.

Figura 10. 12

10.3.3 Calcolo del danno mediante i metodi semplificati

Sia il modello di Rayleigh che il modello di Dirlik, proprio perché descrivono solamente la funzione densità di probabilità p

( )

∆

σ

, non possono fornire l’andamento temporale delle storie di carico, a differenza di quanto è stato fatto precedentemente partendo dalle PSD e utilizzando la Simulazione Montecarlo. Tuttavia, proprio in questo punto sta la loro ragion d’essere, in quanto i metodi semplificati consentono di calcolare direttamente il danno D semplicemente facendo riferimento alle sole proprietà spettrali, ottenendo quindi un notevole risparmio in termini di risorse di calcolo. Si veda l’Appendice C per un necessario chiarimento.

Il valore atteso del danno viene calcolato, in analogia con la formula di Palmgren-Miner, sulla base della seguente relazione:

[ ]

( )

_{( ) ( )}

0 f N E D d N

σ

_σ

σ

+∞ _∆ = ∆ ∆

∫

(10.16)

in cui Nf

( )

∆

σ

rappresenta il numero di cicli a fatica in funzione degli stress range

σ

∆ . Il numeratore dell’integranda può essere esplicitato tramite la (10.6), mentre per il denominatore, in accordo con quanto indicato in [29], deve essere riportata la legge di Basquin del tipo Nf k

( )

σ

b

−

= ⋅ ∆ , ottenuta dai dati di prove a fatica ad ampiezza costante con valor medio nullo e quindi R= −1. Esplicitando si ottiene:

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )

0 b E P T E D p d k

σ

σ

σ

+∞ ⋅ _{ } = ⋅

_∫

_ ∆ ⋅ ∆ _ ∆ (10.17)

Per la definizione analitica della Nf

( )

∆

σ

sono stati proposti tre metodi, i quali sono visibili nella Figura 10.14:

• retta di best-fit di tutti i dati sperimentali ad ampiezza costante e R= −1, (retta verde);

• retta di best-fit dei dati fino a 5

10

f

N = , estrapolata anche a più alti numeri di cicli, (retta magenta);

• curva di best-fit calcolata tramite il procedimento riportato nel Paragrafo 9.2, (curva blu).

Figura 10. 14

Espressione analitica Valore di

log k Valore di b Retta di best-fit di tutti i dati

sperimentali a R= −1

( )

b f

N = ⋅ ∆k

σ

− 22.786 7.582

Retta di best-fit dei dati sperimentali a R= −1 per 4 5 10 <N_f <10

( )

b f N = ⋅ ∆k

σ

− 16.361 4.913

Curva di best-fit calcolata

tramite (9.4) e R= −1 ( ) 31 10 1 2 10 4 log Nf A A log σ 1 R A A −  

= + ⋅ _∆ ⋅ − − _ Vengono utilizzati i parametri

riportati in (9.4)

Tabella 10. 3

10.3.4 Confronto tra il metodo “esatto” e i metodi semplificati

Il valore del danno DMiner calcolato tramite il metodo di conteggio rainflow e la legge di Palmgren-Miner viene considerato “esatto” solo nei limiti di validità della legge di accumulo lineare del danno e della legge (9.2) e (9.4). Tuttavia il metodo “esatto” risulta essere un valido strumento per effettuare dei confronti con i due metodi semplificati di Dirlik e di Rayleigh. Per tale confronto vengono considerate:

• la sequenza di massimo danno per la PSD n°6,

γ

=0.53, sia per 52.5

RMS = MPa che per RMS=35MPa;

• la sequenza di massimo danno per la PSD n°4,

γ

=0.7, sia per 52.5

• la prima sequenza estratta per la PSD n°2,

γ

=0.95, sia per RMS=52.5MPa

che per RMS =35MPa.

Le storie di carico sono definite nell’intervallo temporale

[ ]

0,T con T =327.68s e quindi il danno calcolato è relativo a tali sequenze temporali. Si ricorda inoltre che secondo la legge di Miner l’evento critico viene raggiunto quando il danno D→1. Nella Tabella 10.4 vengono riportati i valori stimati di D tramite il metodo “esatto”, DMiner, e tramite il metodo di Dirlik, DDirlik, evidenziando anche quello che è l’errore percentuale rispetto a DMiner e considerando le tre espressioni di Nf

( )

∆

σ

riportate nel Paragrafo 10.3.3.

Miner D Dirlik D , retta verde % ε Dirlik D , retta magenta % ε DDirlik, curva blu ε% Seq.D_MAX, γ=0.53, RMS=52.5MPa 0.01888 0.01319 -30.18 0.01011 -46.46 0.01495 -20.81 Seq.D_MAX, γ=0.53, RMS=35MPa 0.00099 0.00061 -38.36 0.00138 39.52 0.00075 -23.73 Seq.D_MAX, γ=0.7, RMS=52.5MPa 0.01684 0.01162 -30.98 0.00889 -47.20 0.01318 -21.72 Seq.DMAX, γ=0.7, RMS=35MPa 0.00090 0.00054 -40.47 0.00121 34.43 0.00066 -26.30 Seq., γ=0.95, RMS=52.5MPa 0.04140 0.04125 -0.36 0.03156 -23.75 0.04677 12.99 Seq., γ=0.95, RMS=35MPa 0.00198 0.00191 -3.74 0.00431 117.44 0.00236 19.13 Tabella 10. 4 Miner D Rayleigh D , retta verde % ε Rayleigh D , retta magenta % ε DRayleigh, curva blu ε% Seq.DMAX, γ=0.53, RMS=52.5MPa 0.01888 0.03070 62.55 0.02343 24.05 0.03481 84.33 Seq.DMAX, γ=0.53, RMS=35MPa 0.00099 0.00142 43.50 0.00320 223.24 0.00176 77.70 Seq.DMAX, γ=0.7, RMS=52.5MPa 0.01684 0.01922 14.15 0.01468 -12.82 0.02180 29.48 Seq.D_MAX, γ=0.7, RMS=35MPa 0.00090 0.00089 -1.55 0.00200 121.97 0.00110 21.90 Seq., γ=0.95, RMS=52.5MPa 0.04140 0.04486 8.36 0.03422 -17.32 0.05086 22.88 Seq., γ=0.95, RMS=35MPa 0.00198 0.00207 4.69 0.00467 135.77 0.00257 29.64 Tabella 10. 5

Nella Tabella 10.5, invece, è stata riportata una tabella analoga alla Tabella 10.4, considerando però questa volta il metodo di Rayleigh.

Si consideri in primo luogo la sequenza di massimo danno estratta dalla PSD n°6, osservando la Figura 10.15.

Figura 10. 15

Nella Figura 10.15, in alto a sinistra si riporta la distribuzione p

( )

∆

σ

alla quale sono sovrapposte le curve date dai modelli di Dirlik e di Rayleigh, così come fatto in Figura 10.8. In alto a destra si riporta un grafico che mostra il calcolo dell’integrale (10.17) il quale fornisce il valore del danno D : l’integrale presenta estremo superiore pari a +∞, ma si può osservare come già per ∆ >σ 500MPa si abbia convergenza. Con le tre curve a tratti è indicato il calcolo di DRayleigh, con le tre curve continue è indicato il calcolo di DDirlik, mentre con un pallino rosso è stato riportato il valore di

Miner

D , che rappresenta il risultato del metodo “esatto”. Nei due grafici in basso si riportano le stesse grandezze riferite però ad un valore di RMS più basso.

Prima di procedere con le osservazioni relative ai risultati riportati in Figura 10.15, si sottolinea il fatto di come in realtà il modello di Rayleigh non può essere

applicato anche ai processi a banda larga: tuttavia si riportano anche i risultati ottenuti utilizzando tale modello con il semplice obiettivo di effettuare un paragone. Si può notare che:

1) in entrambi i casi di RMS il modello di p

( )

∆

σ

secondo Dirlik è migliore rispetto a quello di Rayleigh nella descrizione della distribuzione degli stress range;

2) utilizzando la formula di Rayleigh per il calcolo di E D

[ ]

, si ottengono valori del danneggiamento più elevati rispetto a quelli calcolati con la formula di Dirlik;

3) per valori elevati di RMS , il valore del danno calcolato con la metodologia “esatta” DMiner si trova a metà tra i valori calcolati con i metodi di Rayleigh e Dirlik;

4) per bassi valori di RMS , il valore del danno calcolato con la metodologia “esatta” è sostanzialmente concorde con quanto trovato con il metodo di Dirlik;

5) tra i diversi modelli scelti per descrivere la legge di Basquin, quello più severo cambia in base al valore di RMS : per RMS =52.5MPa, il criterio più severo è quello che si basa sull’utilizzo della Nf

( )

∆

σ

in funzione dei parametri riportati in (9.4). Invece per RMS =35MPa, il criterio più severo è quello che fa uso della retta di interpolazione sui soli dati con 4 5

10 <N_f <10 ;

6) entrando più nel dettaglio si osserva che per RMS =52.5MPa, il metodo di Rayleigh dà un valore del danneggiamento maggiore di DMiner, in un intervallo tra il +24% e il +84%, mentre il metodo di Dirlik dà un valore del danneggiamento minore di DMiner, in un intervallo tra il -46% e il -21%. Per

35

RMS = MPa, invece, il metodo di Rayleigh dà un valore del danneggiamento maggiore di DMiner, in un intervallo tra il +43% e il +223%, mentre il metodo di Dirlik mediamente dà un valore del danneggiamento in accordo con il valore di DMiner, in un intervallo tra il -38% e il +40%.

Analogamente si riporta la Figura 10.16, per il caso della PSD n°4,

γ

=0.7. In questo caso si può osservare che:

1) nuovamente il modello di Dirlik permette di seguire abbastanza bene la distribuzione degli stress range p

( )

∆

σ

, soprattutto nell’intervallo

25MPa

σ

∆ > , a differenza del modello di Rayleigh che risulta inadeguato allo

scopo;

Figura 10. 16

2) per RMS=52.5MPa il valore stimato del danneggiamento con Rayleigh è maggiore rispetto a quanto stimato con la formula di Dirlik, mentre per

35

RMS = MPa si può notare una parziale sovrapposizione dei due metodi; 3) per RMS=52.5MPa il valore di DMiner stimato con la procedura “esatta” è

concorde con i risultati ottenuti utilizzando il modello di Rayleigh di più di quanto non faccia con i risultati ottenuti tramite la formula di Dirlik;

4) per RMS =35MPa il valore di DMiner è concorde con quanto trovato con il modello di Dirlik;

5) per quanto riguarda la maggiore o minore severità dei modelli utilizzati per approssimare la legge di Basquin, si può osservare come valgano le stesse osservazioni fatte per il caso

γ

=0.53;

6) entrando più nel dettaglio si osserva che per RMS =52.5MPa, il metodo di Rayleigh dà un valore del danneggiamento tendenzialmente in accordo con il

valore di DMiner, in un intervallo tra il -13% e il +29%, mentre il metodo di Dirlik dà un valore del danneggiamento minore di DMiner, in un intervallo tra il -47% e il -22%. Per RMS =35MPa, invece, il metodo di Rayleigh dà un valore del danneggiamento maggiore rispetto a DMiner, in un intervallo compreso tra il -2% e il +122%, mentre il metodo di Dirlik dà un valore del danneggiamento mediamente in accordo con DMiner, in un intervallo compreso tra il -40% e il +34%.

Infine, in Figura 10.17, si riporta il caso

γ

=0.95. In questo caso si può osservare che:

1) nella descrizione della distribuzione p

( )

∆

σ

, il modello di Dirlik e quello di Rayleigh sono praticamente coincidenti in tutto l’intervallo degli alti ∆σ; il modello di Dirlik permette inoltre di avere una migliore descrizione ai valori molto bassi di ∆σ;

2) sia per RMS=52.5MPa che per RMS=35MPa si può osservare una tendenza al sovrapporsi dei due metodi semplificati: in questo modo i due modelli tendono ad essere concordi nella stima del danneggiamento;

3) per RMS=52.5MPa, il valore di DMiner calcolato con il metodo “esatto” tende ad essere concorde con entrambi i metodi semplificati;

4) per RMS=35MPa, il valore di DMiner tende a dare valori leggermente più bassi rispetto alla stima fatta mediante i metodi di Dirlik e di Rayleigh; 5) nuovamente, per RMS =52.5MPa, il criterio più severo è quello che si basa

sull’utilizzo della Nf

( )

∆

σ

in funzione dei parametri riportati in (9.4), mentre per RMS=35MPa, il criterio più severo è quello che fa uso della retta di interpolazione sui soli dati con 4 5

10 <N_f <10 ;

6) entrando più nel dettaglio si osserva che per RMS =52.5MPa, il metodo di Rayleigh dà un valore del danneggiamento tendenzialmente in accordo con il valore di DMiner, in un intervallo tra il -17% e il +23%, e così anche il metodo di Dirlik, dando un valore del danneggiamento compreso in un intervallo tra il -24% e il +13% rispetto a DMiner. Per RMS=35MPa, invece, il metodo di Rayleigh dà un valore del danneggiamento maggiore del valore di DMiner, in un intervallo tra il +5% e il +136%, e così anche il metodo di Dirlik, dando un valore del danneggiamento maggiore di DMiner compreso in un intervallo tra il -4% e il +117%;

7) è importante notare che i valori del danneggiamento calcolati con le formule di Dirlik e di Rayleigh sono molto simili: questo può essere spiegato osservando che nella zona a bassi valori di ∆σ sono associati contributi molto piccoli al danneggiamento complessivo.

Figura 10. 17

Come considerazione finale si può osservare come in tutti i casi analizzati, il modello di Rayleigh tende a fornire valori più elevati della stima del danneggiamento e, quindi, risultati più conservativo rispetto al modello di Dirlik. Inoltre si può osservare come il modello di Dirlik permetta di approssimare bene la distribuzione p

( )

∆

σ

in ampi intervalli del fattore di irregolarità, mentre il modello di Rayleigh dà buoni risultati esclusivamente nei casi in cui

γ

→1, come riportato in Figura 10.12.

10.4 Analisi dei risultati sperimentali

Qui di seguito, in Tabella 10.6, vengono riportati i dati ottenuti in laboratorio che verranno considerati per le successive analisi e confronti. Gli spazi bianchi sono relativi alle prove che non sono state considerate ai fini dell’analisi, secondo quanto indicato nel Paragrafo 9.4.3.

Provino PSD

γ

_SF

σ

MAX [MPa] MIN

σ

[MPa] Tipologia Sequenza f N (Lab.)/ blocchi N f N (Miner)/ blocchi N SR1 SR2 26399 / 7.86 SR3 SR4

SR5 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno Completa 81100 / 24.15 SR6 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno Completa 92025 / 27.40 SR7 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno Completa 91222 / 27.16 SR8

SR9 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno Completa 97025 / 28.89

177813 / 52.95 SR10 SR11 SR12 2 0.95 0.75 210 -210 I°estrazione Completa 55010 / 10.61 SR13 2 0.95 0.75 210 -210 I°estrazione Completa 60260 / 11.62 SR14 2 0.95 0.75 210 -210 I°estrazione Completa 60250 / 11.62 SR15 2 0.95 0.75 210 -210 I°estrazione Completa 59632 / 11.50 SR16 2 0.95 0.75 210 -210 I°estrazione Completa 51440 / 9.92 125306 / 24.16 SR17

SR18 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno Solo aff. 51245 / 41.94 SR19 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno Solo aff. 47622 / 38.97 SR20 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno Solo aff. 48815 / 39.95

64707 / 52.95

SR21 SR22

SR23 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno Solo aff. 30500 / 24.96 SR24 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno Solo aff. 31520 / 25.79 SR25 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno Solo aff. 30600 / 25.04 SR26

SR27 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno Solo aff. 29760 / 24.40 SR28 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno Solo aff. 31704 / 25.94

SR29 SR30

SR31 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno No.compr 67100 / 25.36 SR32 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno No.compr 68650 / 25.94 SR33 6 0.53 0.75 210 -206 Max danno No.compr 63000 / 23.81

140111 / 52.95

SR34 SR35

SR36 6 0.53 0.65 182 -178.5 Max danno Completa 192672 / 59.41 SR37 6 0.53 0.65 182 -178.5 Max danno Completa 190455 / 58.73 SR38 6 0.53 0.65 182 -178.5 Max danno Completa 201613 / 62.17

462825 / 142.72

SR39 SR40

SR41 4 0.7 0.75 210 -210 Max danno Completa 60198 / 27.92 SR42 4 0.7 0.75 210 -210 Max danno Completa 57314 / 26.58 SR43 4 0.7 0.75 210 -210 Max danno Completa 60972 / 28.28

128059 / 59.40

SR44 SR45

SR46 6 0.53 0.55 154 -151 Max danno Completa 463630 / 145.70 SR47 6 0.53 0.55 154 -151 Max danno Completa 431891 / 135.73 SR48 6 0.53 0.55 154 -151 Max danno Completa 442834 / 139.17

1542348 / 484.71

SR49 SR50

SR51 6 0.53 0.5 140 -137 Max danno Completa 718963 / 228.31 SR52 6 0.53 0.5 140 -137 Max danno Completa 749996 / 238.17 SR53 6 0.53 0.5 140 -137 Max danno Completa 772074 / 245.18 SR60

3183962 / 1011.10

SR54 SR55

SR56 6 0.53 0.75 179 -197 Min Danno Completa 106468 / 32.76 SR57 6 0.53 0.75 179 -197 Min Danno Completa 90221 / 27.76 SR58 6 0.53 0.75 179 -197 Min Danno Completa 97988 / 30.15 SR59 6 0.53 0.75 179 -197 Min Danno Completa 91237 / 28.07

255373 / 78.58

SR61 SR62

SR63 6 0.53 0.5 118 -129 Min dei min Completa 968734 / 305.79 SR64 6 0.53 0.5 118 -129 Min dei min Completa 1032665 / 325.97 SR65 6 0.53 0.5 118 -129 Min dei min Completa 997885 / 314.99

SR66 SR67

SR68 6 0.53 0.5 140 -140 Max dei max Completa 708033 / 223.07 SR69 6 0.53 0.5 140 -140 Max dei max Completa 700000 / 220.54 SR70

2821122 / 888.82

Tabella 10. 6

Si deve prestare attenzione alle seguenti indicazioni:

• le sequenze con la tipologia “Max danno” e “Min danno” sono da considerarsi tali nell’insieme delle prime 1000 time histories estratte dalla PSD n°6;

• l’indicazione “Completa” indica che la sequenza picchi-valli provata in laboratorio caricata nel LabView non ha subito ulteriori modifiche;

• l’indicazione “Solo aff.” indica che la sequenza è stata rielaborata togliendo tutti i cicli che non danno un contributo effettivo al calcolo del danno;

• l’indicazione “No compr.” indica che la sequenza è stata rielaborata togliendo tutti i cicli per i quali

σ

_MAX <0MPa;

• l’indicazione “Min dei min” e “Max dei max” indica che le sequenze sono da considerarsi di minimo e di massimo danno su tutto l’insieme delle 10000 time histories ricostruite dalla PSD n°6;

• accanto al numero di cicli a fatica Nf (secondo i dati trovati in laboratorio e quelli derivanti dall’applicazione del metodo “esatto”), vengono riportati anche il numero di blocchi Nblocchi, secondo la relazione (9.6).

Dai dati riportati in Tabella 10.6, si può fare la seguente analisi.

Le prove SR5, SR6, SR7, SR9 hanno avuto come obiettivo lo studio della sequenza di massimo danno (su 1000 time histories), per la PSD n°6 con

0.75

SF = . La stessa sequenza successivamente è stata rielaborata per crearne una nuova che comprendesse i soli cicli affaticanti. Così sono state considerate le prove SR18, SR19, SR20, ma in questa serie la sequenza originale è stata completamente rivista, riordinando i cicli affaticanti in ordine crescente di ∆σ, perdendo così l’ordine originale. Per chiarire il concetto si veda la Figura 10.18. Ragionando in termini di blocchi, i blocchi delle due serie di prove dovrebbero dare in teoria lo stesso numero di blocchi a fatica Nblocchi, mentre invece si osserva che la serie di soli cicli affaticanti dà una stima della vita a fatica maggiore. Si è deciso allora di effettuare una

nuova serie, quella delle prove SR23, SR24, SR25, SR27, SR28, in cui la sequenza fosse sempre costituita da soli cicli affaticanti, ma rispettando l’ordine della sequenza di partenza. Con questa nuova serie si è ottenuto un numero di blocchi a fatica Nblocchi uguale a quello della prima serie. Questa analisi ha dimostrato come l’effetto di sequenza “prima i cicli piccoli e poi in ordine crescente quelli più alti” può avere degli effetti sulla stima del danneggiamento.

Figura 10. 18

Con le prove SR31, SR32, SR33 è stata ripresa la sequenza di massimo danno per la PSD n°6, SF =0.75, e sono stati eliminati tutti i cicli con

0 MAX MPa

σ

< , rispettando però l’ordine dei cicli presente nella sequenza originale. Si può osservare dalla Tabella 10.6 come, mediamente, i dati per questa nuova serie siano in accordo con quelli trovati per la sequenza originale. Riprendendo quanto indicato al punto precedente, si può riportare quanto osservato nel diagramma a barre di Figura 10.19.

Facendo riferimento a quanto indicato nei due punti precedenti, si può osservare come sia i cicli di piccola ampiezza, sia i cicli totalmente in compressione abbiano un effetto sul danneggiamento totale molto piccolo.
La serie di prove SR5, SR6, SR7, SR9, può essere confrontate con la serie

SR56, SR57, SR58, SR59, in quanto rappresentano rispettivamente la sequenza di massimo e di minimo danno su 1000 time histories per

γ

=0.53,

52.5

RMS = MPa. Analogamente, possono essere confrontate tra loro la serie SR68, SR69 e la serie SR63, SR64, SR65 in quanto rappresentano anch’esse

le sequenze di massimo e di minimo danno per

γ

=0.53: tale confronto è caratterizzato però da RMS=35MPa e le sequenze di massimo e minimo danno sono ricercate tra tutte le 10000 time histories estratte dalla PSD n°6. Come si può osservare in Figura 10.20, per RMS=52.5MPa la differenza in termini di Nf tra le due sequenze è quasi del tutto trascurabile, mentre per

35

RMS = MPa tale differenza è molto più pronunciata, dando validità alla distinzione tra sequenza DMAX e sequenza DMIN.

Figura 10. 19

10.4.1 Confronto tra i risultati sperimentali e il metodo “esatto”

Si procede ora con il confronto tra i risultati ottenuti in laboratorio e i risultati ottenuti applicando il metodo “esatto”, basato sul metodo di conteggio rainflow e la legge di Palmgren-Miner. In Figura 10.21 vengono riportate tre serie di prove, ognuna con una valore diverso di

γ

ma tutte a parità di RMS .

Figura 10. 21

Si può notare la differenza tra ciò che predice Miner e ciò che si ottiene dalla campagna di prove sperimentali. In tutti e tre i casi tale differenza è caratterizzata da un fattore circa uguale a 2. Tale risultato merita un commento: il confronto ha evidenziato come per tali sequenze ad ampiezza variabile la legge di Miner sia significativamente non conservativa. Tali problematiche, per citare un esempio, sono state riscontrate anche in [30]. Si osserva tuttavia, in accordo con [31] e in base ai risultati riportati nel Paragrafo 10.4 e nella Figura 10.19, che i cicli di piccola ampiezza e i cicli interamente in compressione sono tali da non contribuire in modo efficace alla stima del danno totale, per cui non possono essere la causa dell’inadeguatezza della legge di Palmgren-Miner, e quindi risulta corretta l’assunzione di averli eliminati dal calcolo di E D

[ ]

.

Un secondo confronto può essere fatto considerando la sola sequenza di massimo danno sulle prime 1000 estratta dalla PSD n°6, con

γ

=0.53, facendo variare il valore del RMS . Tale confronto viene riportato in Figura 10.22. Si può

notare come il metodo “esatto” risulti essere non conservativo e che la differenza percentuale tra i risultati ottenuti in laboratorio e quelli ottenuti tramite la legge di Miner aumenti in modo progressivo al diminuire del RMS . Si passa da un fattore di circa 2 per RMS=52.5MPa ad un fattore di quasi 5 per RMS =35MPa, il che sta ad indicare come tale differenza possa diventare pericolosamente non conservativa.

Figura 10. 22

A conclusione di questo paragrafo si può notare come, rispetto a tutte le serie di prove svolte in laboratorio, il metodo “esatto” dia sempre risultati non conservativi. La differenza è variabile secondo un fattore compreso nell’intervallo

[ ]

2,5 .

10.4.2 Confronto tra i risultati sperimentali e i metodi semplificati

In questo paragrafo viene effettuato un paragone tra i risultati ottenuti in laboratorio e riportati in Tabella 10.6 e le stime derivanti dall’applicazione dei metodi di Dirlik e di Rayleigh. In accordo con [32], si riporta in Figura 10.23 un insieme di quattro grafici in cui sono indicati i risultati relativi alla sequenza di massimo danno per

γ

=0.53 (suddivisi in RMS =52.5MPa e RMS=35MPa), alla sequenza di massimo danno per

γ

=0.7 e alla sequenza, prima estratta, per

γ

=0.95. Questa figura rappresenta un riepilogo conclusivo in cui, per quattro sequenze di maggior interesse, sono stati riportati tutti i risultati ottenuti: prove sperimentali,

stima secondo Miner, stima secondo i metodi semplificati e relativa barra che indica il valore massimo e minimo in termini di vita a fatica in base alle diverse scelte per l’interpolazione dei dati a R= −1, così come indicato in Figura 10.14.

Figura 10. 23

Come già anticipato nel Paragrafo 10.4.1, si può subito osservare che il metodo “esatto” secondo Palmgren-Miner risulta non conservativo; inoltre, anche i metodi semplificati di Dirlik e di Rayleigh raggiungono le stesse conclusioni, stimando un valore della vita a fatica Nf superiore a quella trovata grazie alle prove in laboratorio. Quindi, da questa analisi emerge come tutti i metodi considerati risultino non conservativi in modo più o meno marcato. Una possibile spiegazione a tale comportamento, in accordo con [32], è da ricercarsi nell’ipotesi che sta alla base di tutti i modelli, ossia quella di accumulo lineare del danno, che non descrive bene la tipologia di spettri di carico random.

In analogia con quanto trovato nel Paragrafo 10.3.4, si può osservare come il metodo di Rayleigh dia una stima del danneggiamento totale maggiore di quanto non faccia il metodo di Dirlik: inoltre, il metodo di Rayleigh è, tra i due metodi semplificati, quello che si avvicina maggiormente ai risultati sperimentali, anche se, come nel caso a

γ

=0.53, non sono certamente verificate le ipotesi per la sua applicazione.

10.5 Tabella di riepilogo

In Tabella 10.7 si riportano, per le sequenze di maggior interesse provate in laboratorio, il valor medio della vita a fatica Nf ricavato dalla campagna di prove, il valore di Nf stimato con il metodo “esatto”, il valore di Nf stimato con Dirlik e Rayleigh secondo la legge di interpolazione dei dati a R= −1 che dà rispettivamente il danneggiamento maggiore e minore. Tra parentesi si riporta inoltre il corrispondente fattore moltiplicativo, avendo preso come riferimento unitario il valore di Nf (Laboratorio). f N (Dirlik) Nf (Rayleigh) Sequenza Nf (Laboratorio) f N

(Miner) _{MIN MAX MIN MAX}

PSD n°2, γ=0.95,

RMS=52.5MPa, I° estratta 57318

125306 (2.19) 110904 (1.93) 164354 (2.87) 101986 (1.78) 151578 (2.64) PSD n°4, γ=0.7, RMS=52.5MPa, DMAX 59495 128059 (2.15) 163581 (2.75) 242520 (4.08) 98899 (1.66) 146866 (2.47) PSD n°6, γ=0.53, RMS=52.5MPa, DMAX su 1000 THs 90343 177813 (1.97) 224615 (2.49) 332146 (3.68) 96466 (1.07) 143320 (1.59) PSD n°6, γ=0.53, RMS=52.5MPa, DMIN su 1000 THs 96479 255373 (2.65) 217101 (2.25) 321146 (3.33) 93337 (0.97) 138711 (1.44) PSD n°6, γ=0.53, RMS=45.5MPa, DMAX su 1000 THs 194913 462825 (2.37) 590710 (3.03) 727130 (3.73) 253756 (1.30) 312729 (1.60) PSD n°6, γ=0.53, RMS=38.5MPa, DMAX su 1000 THs 446118 1542348 (3.46) 1446364 (3.24) 2525397 (5.66) 623922 (1.40) 1089726 (2.44) PSD n°6, γ=0.53, RMS=35MPa, DMAX su 1000 THs 747011 3183962 (4.26) 2281884 (3.05) 5162295 (6.91) 984062 (1.32) 2217606 (2.97) PSD n°6, γ=0.53, RMS=35MPa, DMAX su 10000 THs 704017 2821122 (4.01) 2300000 (3.27) 5203279 (7.39) 991875 (1.41) 2235211 (3.17) PSD n°6, γ=0.53, RMS=35MPa, DMIN su 10000 THs 999761 5891650 (5.89) 2295652 (2.30) 5193443 (5.19) 990000 (0.99) 2230986 (2.23) Tabella 10. 7

Si nota il comportamento fortemente non conservativo del metodo di Dirlik, in cui il fattore moltiplicativo varia da 1.93 a 7.39; il metodo di Rayleigh permette di avere stime di N_f più vicine ai dati sperimentali, con un fattore che varia da 0.97 a 3.17, riuscendo in tre casi particolari ad avvicinarsi molto al valore di laboratorio. Tuttavia questo è significativo di come questo risultato sia del tutto casuale in quanto si ricorda che il modello di Rayleigh non può essere applicato ai processi a

banda larga. Due esempi relativi a questa situazione particolare sono quelli delle due sequenze di minimo danno con

γ

=0.53. In questi due casi la legge del materiale che ha permesso di ottenere il minimo valore di Nf è quella relativa all’interpolazione dei dati sperimentali a R= −1 che si trovano nell’intervallo 4 5

10 <Nf <10 ,

corrispondente alla retta magenta nella Figura 10.14: tale retta infatti permette di stimare un danneggiamento maggiore per i cicli di piccolo stress range ∆σ .

Infine, in Figura 10.24 si riporta l’andamento del fattore moltiplicativo, introdotto già in Tabella 10.7, in funzione del RMS , relativamente alla sequenza di massimo danno tra le prime 1000 estratte dalla PSD n°6,

γ

=0.53.

Figura 10. 24

Dal grafico si può notare come vi sia una tendenza alla diminuzione del fattore all’aumentare del RMS . L’andamento decrescente è più marcato nella zona dei

RMS bassi, mentre, a valori di RMS più alti, l’andamento decrescente rimane, ma in modo meno incisivo.