LIMITI SIMULAZIONI GEOGEBRA PER I LIMITI (LINK)

LIMITI

SIMULAZIONI GEOGEBRA PER I LIMITI (LINK)

DEFINIZIONE 1

LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A UN VALORE FINITO

Sia

y = f(x)

una funzione definita in un intorno completo I del punto x0, escluso al più il punto

x

0 (

x

0 è un punto di accumulazione).

Si dice che, per x tendente a x0, la funzione

y = f(x)

ha per limite

l

e si scrive

lim

𝑥→𝑥₀

𝑓(𝑥) = 𝑙

se, comunque si scelga un numero positivo



 (arbitrariamente piccolo) si può determinare in corrispondenza a esso un intorno completo di x0, contenuto in

I

^, tale che, per ogni x di tale intorno (escluso al più x = x0), succede che

 ^{f(x) –} _l  < 

IN PRATICA Per verificare che

lim

𝑥→𝑥₀

𝑓(𝑥) = 𝑙

si scrive la relazione

 ^f(x)

^–

l  ^<  ^

o quella a essa equivalente

l

^–

^ < f(x) < _l + 

si risolve questa disequazione rispetto all’incognita x; se l’insieme delle soluzioni della disequazione contiene un

intorno di x

0 significa che

lim

𝑥→𝑥₀

𝑓(𝑥) = 𝑙

Questa descrizione del procedimento è generale; potrebbe essere necessario fare ulteriori precisazioni come ad esempio:

DEFINIZIONE 2 LIMITE DESTRO

Sia

y = f(x)

una funzione definita in un intorno destro del punto

x

0

Si dice che la funzione

y = f(x)

per

x

tendente a

x

0 dalla destra, cioè per eccesso, ha per limite destro il numero

l

e si scrive

lim

𝑥→𝑥₀⁺

𝑓(𝑥) = 𝑙

se, comunque si scelga un numero positivo



 (arbitrariamente piccolo) si può determinare in corrispondenza a esso un intorno destro di

x

0, contenuto in

I

, tale che, per ogni x di tale intorno succede che

 ^{f(x) –} _l  < 

 ^{x –} x

0

 ^< 

Esempio

La funzione

𝑓(𝑥) = √𝑥

è definita per

x ≥ 0

e quindi ha senso parlare solo di limite destro per x che tende a 0.

𝑥 → 0

lim

⁺

√𝑥 = 0

ESISTE UNA DEFINIZIONE ANALOGA PER IL LIMITE SINISTRO DEFINIZIONE 3

LIMITE SINISTRO

Sia

y = f(x)

una funzione definita in un intorno sinistro del punto

x

0.

Si dice che la funzione

y = f(x)

per

x

tendente a

x

0 dalla sinistra, cioè per difetto, ha per limite sinistro il numero

l

e si scrive

lim

𝑥→𝑥₀⁻

𝑓(𝑥) = 𝑙

se, comunque si scelga un numero positivo



 (arbitrariamente piccolo) si può determinare in corrispondenza a esso un intorno sinistro di

x

0, contenuto in

I

^{, tale} che, per ogni x di tale intorno succede che

 ^{f(x) –} _l  < 

 x – x

0

 < 

Esempio

La funzione

𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥

è definita per

x ≤ 1

e quindi ha senso parlare solo di limite sinistro per x che tende a 1.

𝑥 → 1

lim

⁻

√1 − 𝑥 = 0

Il grafico della funzione rende evidente questo fatto

X non può tendere ad 1 da destra perché a destra di

x=1

non esistono valori di x per i quali la funzione sia definita; il dominio della funzione è infatti

D: x ∈ R; x ≤ 1

Limite finito di f(x) per x che tende a +



Consideriamo la funzione

𝑓(𝑥) = ^3𝑥

²

⁺¹

𝑥

²

+1

per capire quello che succede proviamo a dare alla x valori sempre più grandi e calcoliamo i corrispondenti valori della funzione

x 1 2 3 5 10 100 1000 10000 100000

f(x) 2 2,6 2,8 2,923 2,98 2,9998 2,999998 2,99999998 3

Osservando la tabella si intuisce che, quanto più sono grandi i valori positivi di x tanto più il valore di f(x) si avvicina a 3.

Si dice che

per x tendente a più infinito, f(x) ha per limite 3

o anche che “ f(x) tende a 3 per x tendente a più infinito”

Questo significa che la «distanza» tra

f(x )

e la retta

y = 3

diviene sempre più piccola e il valore di

 f(x ) 

³

^

può essere reso piccolo a piacere, ossia minore di

qualsiasi numero positivo arbitrariamente piccolo. Ma ora ciò non avviene in un intorno di un valore finito di x, in questo caso il valore di

 f(x ) 

³



può essere reso piccolo quanto si vuole a condizione di considerare valori di x abbastanza grandi; detto in altro modo:

a condizione di considerare valori di x appartenenti a un opportuno intorno di +

 ^.

Grafico della funzione

𝑓(𝑥) =

^3𝑥2+1

𝑥²+1

La retta f(x)=3 è un asintoto orizzontale per la funzione

𝑓(𝑥) =

^3𝑥2+1

𝑥²+1 Man mano che la x diventa sempre più grande ( tende a più

infinito) la funzione si avvicina sempre di più alla retta di equazione y = 3 senza mai raggiungerla

DEFINIZIONE 4

LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A +



Si dice che per x tendente a

+ 

la funzione f(x), definita in un intorno I di

+ 

^{, ha per}

limite

l

, e si scrive

𝑥→ + ∞

lim 𝑓(𝑥) = l

se, comunque sia fissato un numero positivo



^, arbitrariamente piccolo, si può determinare in corrispondenza di esso un intorno di

+ 

contenuto in

I

, tale che, per ogni x di tale intorno, si abbia

 f(x )  l ^

^<

^

La disequazione

 f(x )  l ^

^<

^

^{equivale a}

^ l ^{ f(x) } l ^{ }

Si ha

lim

𝑥→ + ∞

𝑓(𝑥) = l

se, in corrispondenza di qualsiasi

 ^0,

è possibile determinare un intorno di +



tale che, per tutti gli x di tale intorno, il valore di

f(x)

appartenga all’intervallo

 l ^{} l ^{}

DEFINIZIONE 5

LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A

 

Si dice che per x tendente a

 

la funzione f(x), definita in un intorno

I

di

 

^{, ha per}

limite

l

, e si scrive

𝑥→

lim

 ∞

𝑓(𝑥) = l

se, comunque sia fissato un numero positivo



, arbitrariamente piccolo, si può determinare in corrispondenza di esso un intorno di

 

contenuto in

I

, tale che, per ogni

x

di tale intorno, si abbia

 f(x )  l ^

La retta

y = l ^, come visto nell’esempio precedente, si chiama

asintoto orizzontale

Asintoto

è una parola che deriva dal greco:

• a privativo che significa no;

• sympìptein che significa congiungere.

Quindi,

Asintoto

significa che non tocca, in pratica si tratta di una retta alla quale la funzione si avvicina senza mai toccarla, per questo si dice anche che l'asintoto è la tangente all'infinito della funzione.

Una funzione che ha un asintoto orizzontale per valori di x molto grandi (x tendente a

+ 

⁾ o molto piccoli (x tendente a

- 

⁾ ha un andamento che coincide con quello dell’asintoto: la retta e la funzione coincidono.

Una funzione può tendere all'infinito avvicinandosi ad una retta in tre modi diversi

Asintoto verticale Asintoto orizzontale Asintoto obliquo

• asintoto verticale: quando la x si avvicina ad un valore finito la funzione tende all'infinito avvicinandosi ad una retta verticale;

• asintoto orizzontale: quando la x tende all'infinito la funzione si avvicina ad una retta orizzontale

• asintoto obliquo: quando la x tende all'infinito la funzione tende all'infinito avvicinandosi ad una retta obliqua

Da notare che l'asintoto orizzontale esclude l'asintoto obliquo e viceversa perché

Esempio: la funzione

𝑓(𝑥) = 2

^𝑥

(funzione esponenziale con base 2) ha un andamento tale da avere

lim

𝑥→

2

^𝑥

= 0

Esempio1

Verificare che

lim

𝑥→

𝑥+5

𝑥

= −1

Esempio2

Verificare che

lim

𝑥→+

𝑎

^𝑥

= 0 ; (a <1)

DEFINIZIONE 6

LIMITE FINITO PER x CHE TENDE A



Consideriamo la funzione: 𝑓(𝑥) =^𝑥+1

𝑥

osserviamone il grafico

a. Man mano che la x diventa sempre più grande la funzione si avvicina sempre di più al valore 1 senza mai raggiungerlo, si scrive che

b. Man mano che la x diventa sempre più piccola ( e negativa) la funzione si avvicina sempre di più al valore 1 senza mai raggiungerlo, si scrive che

𝑥

lim

−

𝑥 + 1

𝑥 = 1

Poiché il limite della funzione per x che tende a − e quello per x che tende a +

sono uguali, si scrive semplicemente

𝑥

lim



𝑥 + 1

𝑥 = 1

DEFINIZIONE 7

LIMITE INFINITO PER

x

CHE TENDE A

x

0

Sia

y = f(x)

una funzione definita in un intorno completo I del punto

x

0, escluso al più il punto

x

0.

Si dice che, per

x

tendente a

x

0, la funzione

y = f(x)

ha per limite



e si scrive

lim

𝑥→𝑥₀

𝑓(𝑥) = 

se, comunque si scelga un numero positivo

P

 grande quanto si vuole si può determinare un intorno completo di

x

0, contenuto in

I

, tale che, per ogni x di tale intorno (escluso al più

x = x

0), succede che

 ^f(x)  > P

 x – x

0

 < P

La retta

x = x

0

si chiama

asintoto verticale

Ricordare che l’asintoto è una retta alla quale una funzione

f(x)

si avvicina indefinitamente senza mai raggiungerla.

Nel caso della funzione rappresentata nel grafico, 𝒇(𝒙) =

^𝟒

𝒙−𝟑 ,

l’asintoto verticale è la retta di equazione x = 3; il valore x=3 annulla il

denominatore e di conseguenza non appartiene al dominio della

Gli asintoti verticali sono sempre dati dai valori di x che annullano il denominatore, valori che non appartengono al dominio della funzione.

Esempio2

La funzione

ha come dominio,

D: x ∈ R; x3 e x2

;

ha due asintoti verticali,

x=3

e

x=2

(valori che annullano il denominatore)

Attenzione!

Ha anche un asintoto verticale, y =1 𝑓(𝑥) = 𝑥

²

+ 1

𝑥

²

− 5𝑥 + 6

Grafico della funzione

𝑓(𝑥) = 𝑥

²

+ 1

𝑥

²

− 5𝑥 + 6

X=3 asintoto verticale

X=2 asintoto verticale y=1 asintoto orizzontale

SIMULAZIONI GEOGEBRA PER I LIMITI (LINK)

Alcuni esercizi

Esercizio 1

Calcolare il

lim

𝑥 → 3

𝑥²−9 𝑥−3

Esercizio 2

Calcolare il

lim

𝑥 → 1

2𝑥²−𝑥−1 𝑥−1

Esercizio 3

Calcolare il

lim

𝑥 → 3

𝑥²−9 𝑥−3

Esercizio 6 Calcolare il

lim

𝑥 → 3

𝑥²−7𝑥+12 𝑥−3