Un treno, in caso di neve arriva in ritardo nel 70% dei casi. Quando non nevica arriva in ritardo nel 5% dei casi. Indicando con N=Neve e R=Ritardo:

Esercizi di Calcolo delle probabilità:

in particolare definizioni e teorema di Bayes

Il treno

Un treno, in caso di neve arriva in ritardo nel 70% dei casi. Quando non nevica arriva in ritardo nel 5% dei casi. Indicando con N=Neve e R=Ritardo:

• Gli eventi sono compatibili o incompatibili? Perché?

• Gli eventi sono dipendenti o indipendenti? Perché?

Se la probabilità che nevichi è P(N)=0.3 calcola:

• la probabilità che il treno arrivi in ritardo: P(R)

• la probabilità che il treno sia in ritardo e che nevichi: ( ∩ )

• la probabilità che il treno sia in ritardo oppure che nevichi: ( ∪ )

• se il treno è arrivato in orario, quale è la probabilità che abbia nevicato ( | )

Durante l’inverno scorso il treno è arrivato in ritardo il 12% delle volte. Sai stimare la frequenza dei giorni di neve?

P(R) = ( ∩ ) + ( ∩ ) = P(R|N)P(N) + ( | ) ( )= P(R|N)P(N) + ( | )(1 − ( )) ( ) =

R N

= (12-5)/(70-5) = 7/65 = 10.7%

Un treno, in caso di neve arriva in ritardo nel 70% dei casi. Quando non nevica arriva in ritardo nel 5% dei casi. Indicando con N=Neve e R=Ritardo:

Lo studente

Uno studente per andare a scuola usa il 65% delle volte l’autobus, il 20% delle volte la metro, altrimenti in auto. Se prende l’autobus la probabilità di arrivare in orario è 70%, se viene in metro la probabilità di arrivare in orario è 90%, in auto è 50%.

• Prendere l’autobus o la metro sono eventi indipendenti? Perché?

• Prendere la metro o l’auto sono eventi incompatibili? Perché?

• Prendere la metro e arrivare in ritardo sono eventi incompatibili? Perché?

• Prendere l’auto e arrivare in orario sono eventi indipendenti? Perché?

Calcola:

• la probabilità di arrivare in orario

• la probabilità di arrivare in orario e aver preso l’auto

• la probabilità che abbia preso l’auto dal momento che è arrivato in orario

• la probabilità che non abbia preso la metro dal momento che è arrivato in ritardo

La gara

Adriano, Beatrice e Cecilia fanno una gara di corsa. Beatrice e Cecilia in allenamento hanno in media la stessa velocità (quindi la stessa probabilità di vincere) mentre Adriano ha una probabilità doppia di vincere.

• Quale è la probabilità che vinca Adriano,

• Quale è la probabilità che vinca Beatrice

• Quale è la probabilità che vincano Beatrice o Cecilia?

Caratteri somatici

In una popolazione si osservano i caratteri somatici A, B e C. Sapendo che su 16 individui A è stato osservato 9 volte, B 7 volte e C solo 3 volte:

- Calcola le probabilità di A, B e C

- In base ai dati stabilisci quali coppie di caratteri possono essere compatibili e quali incompatibili

La scommessa

Ugo, Mario e Paolo si sfidano ad una gara e vorrei scommettere una certa cifra sulla vittoria di uno di loro e mi è indifferente ricevere 10$ se vince U, 20$ se vince Mario o 60$ se vince Paolo. Quali sono le probabilità di vittoria di Ugo, Mario e Paolo?

(Nota: la quota pagata è inversamente proporzionale alla probabilità di vittoria, quindi: P(U)=x, P(M) = x/2, P(P) = x/6 e P(U)+P(M)+P(P) = 1)

Caratteri ereditari

Tre geni A, B e C sono mutuamente esclusivi e si possono presentare rispettivamente con probabilità 0.5, 0.3, 0.2. Osservi un carattere somatico X che si presenta solo se non è presente il gene C.

Calcola le probabilità che siano presenti il gene A o B. (R. 5/8, 3/8, 0)

Alunni sportivi

In un istituto ci sono 650 alunni. DI questi 270 sono iscritti ad un centro sportivo e 190 seguono un corso di informatica. So che 80 di loro seguono entrambe le attività.

Incontro uno studente al centro sportivo, quale è la probabilità che segua anche il corso di informatica?

Quale è la probabilità che uno studente non segua nessuna attività?

Quale è la probabilità che uno studente segua una o l’altra attività?

I giocatori

Due giocatori di scacchi di pari abilità si stanno sfidando, il primo che vince 5 partite vince i 100$ di posta. A vince le prime tre partite e B la quarta ma bisogna interrompere il torneo, per essere equi ci si dovrebbe dividere la posta in base alla probabilità di vittoria.

• Come?

B deve vincere quattro partite di seguito mentre A solo 1. Se sono di pari abilità la pb. che B vinca quattro partite di seguito è P(B)=0.5

mentre la probabilità che A ne vinca almeno 1 è 1-P(B) quindi a B vanno 6.25$ e ad A il resto.

• E se i due giocatori non fossero ugualmente bravi? (stima la bravura di A e B in base alle osservazioni)

La probabilità che A vinca una partita è P(A) = 3/4 mentre P(B)=1/4. La probabilità che B vinca 4 partite è 0.25

quindi gli spetterebbero: 100/4

= 0.4$

Test per anticorpi

Un test destinato a rivelare la presenza nel siero di anticorpi per la patologia X ha una sensibilità del 98.4%

e specificità del 99.7%. Si sa che la l'incidenza (prevalenza, priore) dell’infezione per la patologia X è del 3 per mille.

• Quale è il valore predittivo del test positivo? (P(M|+)

• Quale è il valore predittivo per il test negativo? (P(S|-)

• Utilizzi il test su una popolazione di cui non conosci la prevalenza P(M), su 1000 test osservi 14 casi

positivi. Valuta P(M)

Test di screening

La probabilità che una persona di età superiore ai 50 anni senza sintomi abbia una patologia Y è P(M) = 0,3%. Un test di screening ha sensibilità (P+|M) = 50% e specificità P(-|S)=97%.

• Quale è la probabilità che la persona oltre i 50 anni sia effettivamente malata se positiva al test?

(P(M|+)

Se la prevalenza (o priore: P(M)) raddoppia ogni decade oltre i 50 anni:

• quale la probabilità che un 60enne positivo sia effettivamente malato?

• Quale è la probabilità che un 65enne positivo sia sano?

Agenti patogeni

Un organismo è stato esposto a due agenti patogeni differenti A e B. La probabilità che l'agente patogeno A infetti l'organismo è P(A) = 0.8, la probabilità che l'agente patogeno B provochi lo la stessa infezione è P(B) = 0.4. Supponendo che i due agenti agiscano in modo indipendente stabilire:

a) Quale è la probabilità che l'organismo risulti infetto?

b) Se l'individuo è infetto, quale è la probabilità che l'infezione sia stata provocata solo da A?

c) Da entrambi?

Soluzione: Cominciamo con elencare i casi possibili

α = Infezione dovuta ad A mentre B non infetta: P( α ) = P(A∩ ) = P(A) (1-P(B)) = 0.8 x 0.6 = 0.48 β = infezione dovuta a B mentre A non infetta: P( β ^{) = P( ̅ ∩} B) = (1-P(A)) PB) = 0.2 x 0.4 = 0.08 γ = entrambi gli agenti infettano l'organismo: P( γ ) = P(A∩B) = P(A) P(B) = 0.4 x 0.8 = 0.32 δ = entrambi gli agenti falliscono e non infettano l'organismo: P( δ ) = P( ̅∩ ) = 0.2 x 0.6 = 0.12

Indichiamo con X il fenomeno infezione, la probabilità di infezione è quindi: P(X) La risposta alla domanda a) è semplice: P(X) = 1-P( δ ^{) = 0.88}

Per la domanda b) si chiede il valore P(A|X) ovvero la probabilità che, risultando infetto l'organismo, l'infezione sia stata provocata dal solo agente A.

In base ai dati possiamo calcolare:

P(X| α )=1 è la probabilità che risulti infetto se si è verificato il caso α ^, P(X| β )=1 è la probabilità che risulti infetto se si è verificato il caso β ^, P(X| γ )=1 è la probabilità che risulti infetto se si è verificato il caso γ ^, P(X| δ )=0 è la probabilità che risulti infetto se si è verificato il caso δ ora usiamo il teorema di Bayes per invertire le probabilità condizionate:

P( α |X) = P(X| α ^)P( α )/P(X) = 1 x 0.48 / 0.88 = 0.55

Quindi (c)

P( γ ^{|X) = P(X|} γ ^)P( γ )/P(X) = 1 x 0.32 / 0.88 = 0.36

Micro-organismi e strumenti sbagliati

Due strumenti S

e S

, misurano lo stato si un micro-organismo che può trovarsi nello stato A (attivo) o I (inattivo). Si sa che l'organismo è attivo per il 30% del tempo: P(A)=0.3, inoltre si sa anche che lo strumento S

sbaglia nel 2% dei casi mentre lo strumento S

sbaglia nel 8% dei casi.

Se nello stesso istante lo strumento S

misura un'attività e lo strumento S

no, quale delle due informazioni è da considerarsi più probabile (A o I)?

Soluzione: P(A) = 0.3 e P(I) = 0.7 sono le probabilità che l'organismo sia attivo o inattivo.

Sia E l'evento: lo strumento S

osserva A mentre lo strumento S

osserva I. Se l’organismo fosse attivo lo strumento S

sarebbe giusto mentre S

sbagliato, quindi la probabilità di osservare l’evento E in caso di organismo attivo sarebbe:

P(E|A) = 0.98 x 0.08 = 0.0784

altrimenti, se l’organismo fosse inattivo allora I lo strumento S

sarebbe giusto mentre S

sbagliato:

P(E|I) = 0.92 x 0.02 = 0.0184

La probabilità di osservare l’evento E è: ( ) = ( ∩ ) + ( ∩ ) = ( ( | ) ( ) + ( ( | ) ( ) dal momento che ho osservato E, quale è la probabilità che sia attivo?:

P(A|E) = P(E|A) P(A) / P(E) = 0.3 x 0.0784 / (0.3 x 0.0784 + 0.0184 x 0.7) ~ 0.65 La probabilità che sia inattivo è P(I|E)=1- P(A|E) = 0.35 quindi...

Un test diagnostico

Si consideri un test destinato a rivelare la presenza nel siero di anticorpi per la patologia X. Si assuma che questo test abbia una sensibilità del 98.4% (il test, quindi, è positivo nel 100% dei malati). Si assuma che questo test abbia una specificità del 99.7% (il test, quindi, è negativo nel 99.7% dei soggetti sani). Si sa che la l'incidenza (prevalenza, priore) dell’infezione per la patologia X è del 3 per mille.

- Quale è il valore predittivo del test positivo?

- Quale è il valore predittivo per il test negativo?

La probabilità che una persona di età superiore ai 50 anni (senza sintomi specifici) presenti una patologia Y è P(M) = 0,3%. Se una persona ha la patologia (Y) la probabilità di test positivo è P(+|M) = 50% se è sana c’è una probabilità P(+|S)=3% che risulti positiva al test.

- Quale è la probabilità che la persona oltre i 50 anni sia effettivamente malata se positiva al test?

Se la prevalenza (o priore: P(M)) raddoppia ogni decade oltre i 50 anni:

- quale la probabilità che un 60enne positivo sia effettivamente malato?

- quale è la probabilità che un 65enne positivo sia sano?