1 Sollecitazione del manovellismo di spinta
I motori convenzionali per trazione, utilizzano il manovellismo biella-manovella per trasformare il moto alternato dei pistoni, indotto dalla pressione dei gas nella camera di combustione, in rotatorio.
Le forze centrifughe, le forze di inerzia e la fluttuazione della forza motrice sono le principali cause di vibrazioni del motore. La conoscenza di tali componenti è fondamentale per un’efficiente equilibratura del motore, ossia per la costruzione di un motore che a qualunque regime di rotazione non produca vibrazioni.
1.1 Moto dello stantuffo e della biella
L’occhio superiore della biella, collegato allo stantuffo, si muove di moto rettilineo alternato, mentre la testa di biella ruota col perno di estremità della manovella. Agli effetti del calcolo del movimento dello stantuffo e della biella, il movimento rotatorio della manovella è considerato, senza errore apprezzabile, uniforme. Nella rappresentazione schematica di figura 1.1 si ha :
L = lunghezza della biella; c = corsa dello stantuffo; r = raggio di manovella;
x = spostamento dello stantuffo riferito al PMS (Punto Morto Superiore);
α = spostamento angolare della manovella rispetto alla posizione corrispondente al PMS;
β = angolo che l’asse della biella forma con quello del cilindro.
La relazione che passa tra gli spostamenti lineari x dello stantuffo e quelli angolari α della manovella [5], è:
x=r(1−cosα)+L(1−cosβ) (1.1) Fig.1.1:Manovellismo.
Poiché β α Lsen rsen = si ha: L rsen senβ = α Ponendo L r = λ , si ottiene: α λ β sen sen = (1.2) Da questa espressione si ricava per ogni posizione della manovella l’angolo β della biella.
Per α π ,senα 2
= è uguale ad 1 e perciò l’angolo β assume il suo valore massimo:
λ β = sen
Il rapporto λ è dunque l’indice dell’inclinazione massima della biella. Ricordando che:
β
β 2
1 cos = −sen e sostituendo in essa a sen il suo valore dato de (1.2) si ha: β
α λ
β 2 2
1
cos = − sen
Sostituendo questo valore nella (1.1) si ottiene l’espressione dello spostamento dello stantuffo in funzione dell’angolo della manovella:
) 1 1 ( ) cos 1 ( α L λ2sen2α r x= − + − − (1.3)
La velocità dello stantuffo non è dunque uniforme. Essa è data dalla derivata rispetto al tempo, dell’espressione (1.3) che può anche essere scritta, tenendo conto che
λ r
L= , nel modo seguente:
(
)
(
)
⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ − + − − = λ α λ α 2 2 1 1 1 cos 1 sen r x Derivando si ha: ω α λ α α λ λ α α α ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = = = 2 2 2 1 2 cos 2 1 sen sen sen r dt d d dx dt dx V in cui dt dαTrascurando il termine λ2sen2α , l’espressione precedente diventa: ) cos ( α λ α α ωr sen sen V = + . Ricordando che: 2 2 cosα α α sen sen = si può scrivere: ) 2 2 ( α λ α ωr sen sen V = + ed essendo 60 2πn ω = si ha: ) 2 2 ( 30 α λ α π sen sen r n V = +
Esprimendo r ed L in mm, e V in m/sec, si ha:
) 2 2 ( 30000 α λ α π sen sen r n V = + .
Conoscendo il numero n di giri compiuti al minuto dal motore, si può così determinare la velocità dello stantuffo in corrispondenza di una posizione qualsiasi della manovella.
La velocità media dello stantuffo è un importante indice di funzionamento dei motori. Per ogni giro di manovella lo stantuffo percorre uno spazio uguale a due volte la corsa; se n sono il numero di giri al minuto del motore, il valore della velocità media di stantuffo è data da:
30 60 2cn cn u = =
Una velocità dello stantuffo non uniforme ha come conseguenza che le masse dotate di moto alternato sono soggette ad una accelerazione a il cui valore è dato dalla derivata della velocità rispetto al tempo:
dt dv a=
e cioè da: ) 2 cos (cos 2 α λ α ω + = r a
L’accelerazione ha il suo valore massimo positivo in corrispondenza del PMS (α = 0°), poiché essendo cosα =1 e cos2α =1, si ha:
) 1 ( 2 λ ω + = r a
Il valore massimo negativo è in corrispondenza del PMI (α = 180°), poiché, essendo cosα =−1 e cos2α =1, si ottiene: ) 1 ( 2 λ ω − − = r a
Il valore dell’accelerazione si annulla quando è massima la velocità dello stantuffo.
1.2 Masse dotate di moto alternato e masse rotanti
Conoscendo le leggi che regolano il moto delle parti che compongono il manovellismo è facile ricavare, in relazione alle loro masse, le forze che dal movimento stesso sono generate. Infatti le parti dotate di moto alternato sono soggette a forze di inerzia di tipo alternato calcolabili per mezzo della formula generale , in cui è la massa e a l’accelerazione, mentre le parti connesse alla manovella e rotanti con essa sono soggette alla forza d’inerzia di tipo centrifugo data da in cui
a m Fa =− a ma r m Fc = cω2 ω è la velocità angolare.
È necessario determinare le parti dotate di moto alternato e quelle rotanti.
Non esiste alcun dubbio per quanto riguarda lo stantuffo e le parti a esso direttamente applicate, mentre ne possono sorgere quando si considera la biella.
La biella porta un occhio a ciascuna estremità per l’articolazione da una parte con lo stantuffo e dall’altra con il perno della manovella, in ogni occhio è poi sistemato un cuscinetto che agli effetti della massa, è considerato parte integrante della biella.
L’estremità collegata allo stantuffo (piede di biella) partecipa al moto alternato, mentre quella collegata all’albero (testa di biella) partecipa al movimento di rotazione di questo.
Per quanto riguarda il fusto della biella, nel caso di bielle usuali, si usa conglobare un terzo della sua massa con la testa e gli altri due terzi con il piede, trascurando la coppia di inerzia della biella [4] (le relazioni precise delle masse di sostituzione e della coppia inerziale saranno trattate nel paragrafo 4.4).
Si considerano quindi, con approssimazione più che sufficiente, concentrate sull’asse del perno dello stantuffo e dotate di moto alternato, le masse delle seguenti parti:
1. stantuffo completo con dispositivi di tenuta; 2. perno dello stantuffo e parti annesse;
3. piede della biella e 2/3 del fusto.
Si considerano concentrate sull’asse del perno di manovella e dotate di moto rotatorio, le masse delle seguenti parti:
1. perno di manovella;
2. testa di biella (completa di cappello, cuscinetto, bulloni, dadi ecc.) e 1/3 del fusto.
Sono inoltre da considerare come parti generanti forze centrifughe, i bracci di manovella e gli eventuali contrappesi; esse possono essere considerate concentrate sull’asse del perno di manovella.
1.3 Forze alterne d’inerzia
La forza d’inerzia dovuta alle masse alterne è data da
) 2 cos (cos 2 α λ α ω + − = m r Fa a .
In questa espressione il fattore tra parentesi è formato da due termini, e cioè cosα e λcos2α, che esprimono ciascuno una funzione sinusoidale. Il secondo termine ha una frequenza doppia del primo, il che significa che in un dato tempo assume il valore zero ed il suo valore massimo un numero di volte doppio di quello del primo termine.
L’espressione rappresenta la forza alterna di inerzia del primo ordine, il secondo termine costituisce la forza alterna di inerzia del secondo ordine.
α ω2rcos ma α λ ω2r cos2 ma
Le forze alterne d’inerzia sono fra le più importanti cause di vibrazioni dei motori.
Il diagramma delle forze alterne di inerzia è illustrato in figura 1.2 [5], in essa è riportata anche la scala delle forze di inerzia specifiche (forze d’inerzia/area dello stantuffo) alle quali spesso è conveniente riferirsi.
Fig.1.2:Accelerazioni e forze alterne in funzione degli spostamenti dello stantuffo.
L’area tratteggiata del diagramma rappresenta il lavoro compiuto dalle forze di inerzia; è facile dimostrare che tale lavoro è nullo per ogni mezzo giro di manovella.
1.4 Diagramma delle forze risultanti
Dai punti morti alla posizione di massima velocità dello stantuffo (biella e manovella a 90°), le forze di inerzia si oppongono all’aumento della velocità di questo ed agiscono quindi in senso contrario al suo moto, mentre dalla detta posizione fino ai punti morti le stesse forze si oppongono alla diminuzione di velocità agendo nel senso del suo moto. Se si prendono positive le forze d’inerzia dirette nel senso stesso del moto dello stantuffo e negative quelle dirette in senso contrario, e considerando che sono costantemente dirette secondo l’asse del cilindro come le pressioni dei gas, sulla testa dello stantuffo, si può comprendere il motivo per cui si è soliti prendere le forze d’inerzia come vere e proprie pressioni applicate allo stantuffo, calcolando la forza d’inerzia specifica (forze di inerzia/aria dello stantuffo).
Graficamente si può ottenere il diagramma delle forze risultanti, semplicemente componendo il diagramma delle forze dovute alle pressioni dei gas con quello delle forze alterne di inerzia. La figura 1.3 tratta da [5] mostra il diagramma riferito ad un motore monocilindrico a ciclo Otto a quattro tempi. Le pressioni sono considerate positive quando hanno direzione coincidente con quella della velocità dello stantuffo, negative nel caso contrario.
Fig.1.3:Diagramma risultante delle forze dovute alla pressione del gas ed delle forze alterne d’inerzia.
La linea a tratto e punto rappresenta il diagramma delle pressioni dei gas sullo stantuffo, pressione il cui valore, in funzione della posizione dello stantuffo è data del ciclo indicato del motore. La linea a tratti rappresenta, invece , il diagramma delle forze specifiche di inerzia.
La linea continua è il diagramma risultante ricavato dalla composizione del diagramma a tratto e punto con quello a tratti.
Analizzando le varie fasi del ciclo, si nota che durante la corsa di aspirazione, agisce praticamente la sola forza d’inerzia delle masse alterne poiché la forza dovuta alla leggera depressione che si crea nel cilindro è di entità trascurabile.
Nella seconda corsa, muovendosi lo stantuffo dal basso verso l’alto, il diagramma delle forze di inerzia si inverte e la pressione dovuta alla compressione si oppone al movimento dello stantuffo. Nella prima parte della corsa di espansione, la forza di inerzia si oppone alla pressione di combustione, perciò la spinta trasmessa all’albero a gomiti risulta più bassa. Nella corsa di scarico il cilindro è in comunicazione con l’esterno, i gas combusti offrono una resistenza minima al movimento dello stantuffo e perciò sulla manovella agisce praticamente solo la forza d’inerzia. La figura 1.4 tratta da [5] mette in evidenza l’importanza che le forze di inerzia hanno ai diversi regimi di funzionamento dello stesso motore, considerando invariato il diagramma indicato.
Fig.1.4:Influenza delle variazioni di regime sul diagramma risultante.
Dall’esame della figura si osserva che a basso regime (a) prevalgono le forze definite dal diagramma indicato; a medio regime (b) le forze d’inerzia cominciano ad essere sensibili, riducendo leggermente le sollecitazioni dovute alle pressioni massime del ciclo; alle alte velocità (c) le forze di inerzia assumono sempre maggiore importanza, regolarizzando il diagramma delle forze risultanti ed abbassando il valore del carico massimo sui cuscinetti, ma aumentando notevolmente il carico medio.
1.5 Diagramma della coppia motrice
La risultante dell’azione dei gas combusti e dell’inerzia delle masse alterne, agendo sullo stantuffo, determina la rotazione dell’albero motore. Indicando con F il suo valore in un istante qualunque e ritenendo che essa sia applicata al perno dello stantuffo, si scompone la forza nelle due componenti (fig.1.5) Fn , normale all’asse dello stantuffo, diretta verso la parete del cilindro, di intensità:
β Ftg Fn =
ed Fb , diretta secondo l’asse della biella e diretta verso il bottone di manovella, di intensità:
β
cos F Fb = .
La componente Fn che, come appare dalla formula è tanto maggiore quanto più grande è l’angolo β, è evidentemente la ragione della perdita di potenza causata dall’attrito tra pareti del cilindro e stantuffo.
La componente Fb è trasmessa dalla biella al bottone di manovella e quindi all’albero a gomiti. Fb agisce rispetto all’asse di rotazione con un braccio d = rsen(α+β), così che dà origine al momento motore Mt, di intensità:
d F Mt = b .
Sostituendo ad Fbed a d i loro valori, si ottiene:
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = + = β β α α β α β ( ) cos cos cos sen sen Fr rsen F Mt
Ricordando che senβ =λsenα e che cosβ = 1−λ2sen2α , si ha:
⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + = α λ α α λ α 2 2 1 cos sen sen sen Fr Mt Fig.1.5:Scomposizione della forza
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = α λ 2α 2sen sen Fr Mt
la stessa espressione del momento motore può essre ottenuta trasportando la componente Fb lungo la retta di azione, e scomponendola nelle due forze Fc ed Ft , l’una secondo l’asse della manovella e l’altra tangente alla circonferenza descritta dal bottone di manovella. La componente Fc , non contribuisce al momento motore, ma produce una spinta della manovella sui cuscinetti di banco e della testa di biella, l’altra componente Ft ha per effetto di produrre la rotazione dell’albero motore e con il suo braccio di leva r costante, costituisce il momento motore:
Mt=Ft r
Dalla figura si ha immediatamente:
) (α +β =F sen Ft b e quindi: ) (α+β =F rsen Mt b .
La coppia motrice varia dunque continuamente durante un giro dell’albero motore ed è nulla in corrispondenza dei punti morti. L’andamento pulsante del momento motore può essere causa di irregolarità di marcia e di vibrazioni del motore.
Il diagramma (fig.1.6) che rappresenta l’andamento della coppia motrice in funzione dell’angolo che la manovella fa con l’asse del cilindro, mostra le zone con ordinata positiva in cui lo stantuffo fornisce lavoro all’albero motore, e le zone in cui le ordinate sono negative ed è l’albero motore a vincere la coppia necessaria a far muovere lo stantuffo.
La somma algebrica delle aree positive e negative del diagramma, rappresenta il lavoro motore compiuto in un ciclo. Il momento motore medio è il momento costante per cui l’area del diagramma risulta uguale a quella reale calcolata.
Fig.1.6:Diagramma del momento motore per un monocilindrico.
1.6 Eccitazione delle vibrazioni dell’albero a gomiti
Il momento motore come si è visto è periodicamente variabile ed è quindi origine di vibrazioni torsionali dell’albero.
La frequenza principale ν con cui varia il momento motore è data ( in cicli/sec) dalla relazione [5]: h ni i h n 30 180 360 60 = = ν
in cui n è il numero di giri/min e i quello dei cicli del motore, mentre h assume il valore di 4, se il motore è a quattro tempi, e 2 se è a due tempi.
Essendo una funzione periodicamente variabile, il momento motore è esprimibile come somma di diverse armoniche , le cui frequenze sono rispettivamente ν,2ν,....Kν.
Quando la frequenza di una di queste armoniche coincide con una delle frequenze proprie dell’albero a gomiti, si ha risonanza tra l’eccitazione e le vibrazioni proprie dell’albero.
Si dicono numero di giri critici nc del motore, quelli per i quali si verifica questa condizione. I valori dei diversi nc si ricavano, per quanto detto in precedenza, eguagliando la frequenza di una K-esima armonica del momento motore a una delle frequenze proprie dell’albero νte cioè:
t c h i n K =ν 30 da cui: Ki h n t c ν 30 =
Naturalmente le velocità critiche più pericolose sono quelle corrispondenti all’armonica di primo ordine (K=1) perché, generalmente, questa è l’armonica che ha maggior ampiezza . Devono essere prese in considerazione quelle oscillazioni proprie dell’albero le cui frequenze danno, secondo la formula sopra menzionata, velocità nc comprese nel campo delle velocità di utilizzazione del motore.
