Ma chi ci assicura che non ci siano altre rette passanti per P parallele a r?

LAVORO DI MATEMATICA

Se r è una retta del piano e P un punto che non le appartiene, sappiamo come si fa a costruire una retta parallela a r e passante per P : si traccia la perpendicolare a r passante per P , poi, sempre per P , si costruiusce la perpendcolare alla perpendicolare.

Ma chi ci assicura che non ci siano altre rette passanti per P parallele a r?

Nella storia della matematica ci sono stati illustri studiosi che si sono aaticati a dimostrare l'unicità della parallela a partire dagli assiomi preesistenti, ma non hanno raggiunto il risultato sperato.

D'altra parte nella geometria che stiamo studiando pensiamo che sia molto intuitivo ritenere che esista una sola retta passante per un dato punto e parallela ad una retta data. Decidiamo perciò di porre questo fatto come un assioma (si accetta e non si discute!)

Assioma: E' unica la parallela mandata ad una retta da un punto ad essa esterno.

1. Esercizio svolto in classe: se la retta r è parallela alla retta s e la retta s è parallela alla retta t, allora la retta r è parallela alla retta t.

(Quali sono le ipotesi? Quale la tesi? Per dimostrare questo teorema abbiamo utilizzato la modalità per assurdo, che consiste nel negare la tesi: che cosa signica in questo caso negare la tesi? in quale assurdo si incorre?) 2. Dimostra che se due rette, r e s, sono parallele, allora ogni retta t incidente a r è anche incidente a s e ogni retta

incidente a s è incidente a r .

(Per fare questa dimostrazione, considera separatamente i casi in cui r e s siano coincidenti oppure non abbiano punti in comune; in questo ultimo caso, cosa accadrebbe se t fosse incidente a r ma non a s?)

3. I triangoli ABC e A

B

C

sono tali che BC = B

C

, A BC = A b

B c

C

e A CB = A b

c C

B

. Siano M e M

i punti medi dei lati BC e B

C

. Dimostra che:

(a) le mediane AM e A

M

sono uguali;

(b) le bisettrici AF e A

F

degli angoli B AC b e B

A c

C

sono uguali.

4. I triangoli ABC e A

B

C

sono tali che AB = A

B

, BC = B

C

e A BC = A b

c B

C

. Due punti P e P

, appartenenti rispettivamente a BC e B

C

, sono tali che P AC = P b

c A

C

. Dimostra che i due triangoli ABP e A

B

P

sono isometrici.

5. Scomponi in fattori:

(a) x

+ 4x − 21 (b) x

− x − 20

(c) x

+ 10x + 16