a.a. 2009-2010 13.9.2010 3◦ APPELLO DI GEOMETRIA

a.a. 2009-2010 13.9.2010

3 ^◦ APPELLO DI GEOMETRIA

Per ogni quesito dare adeguate spiegazioni.

(1) Per ogni a ∈ R sia L ^a = {(a(t ² + t + 1), at ³ − t, t ³ + at ² + 1) : t ∈ R}, dire se esistono a ∈ R tali che L ^a sia piana, , ed eventualmente determinare i piani relativi; proiettare L −1 da P = (0, 1, 0) sul piano di equazione z = 1.

(2) Siano ϕ : R ⁵ −→ R ² , definito da ϕ(x, y, z, t, u) = (x + y + z + t − u, y − z + u) e ψ : R ⁵ −→ R ² , definito da ψ(x, y, z, t, u) = (t − u, x + 2y + 2t − u)

– determinare dimensioni e basi di ker ϕ e ker ψ, – determinare una base di ker ϕ ∩ ker ψ,

– dire se ∃ ξ : R ² −→ R ⁵ tale che φ ◦ ξ = id _R

ed eventualmente determi- narlo.

(3) Date σ :



 

 

x = u − v y = u ² + v ² z = 2uv

e γ :



 

 

x = t + 1 y = 2t + 4 z = − ¹ ₂ t ² + ³ ₂

:

• dire se γ ⊂ σ,

• dire che tipo di superficie ` e σ,

(4) Dati i punti di P ³ (R), P ¹ = [1, 0, 1, 0], P 2 = [0, 3, 3, 0], P 3 = [2, 0, 0, 2], P 4 = [0, 0, 2, 1], siano rispettivamente r ed s le rette congiungenti P 1 con P 2 e P 3

con P 4 ,

• determinare le equazioni di r ed s,

• determinare r ∩ s,

• dire se ∃ un piano contenente sia r che s,

• determinare il piano π contenente P 1 , P 2 , P 3 ,

• determinare un punto A tale che P 1 , P 2 , P 3 , A, P 4 sia un riferimento proiettivo di P ³ (R) di cui P 4 sia il punto unit` a.

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