Esercizi di Probabilit` a e Statistica della 1
asettimana (Corso di Laurea in Matem- atica, Universit` a degli Studi di Padova).
Esercizio 1. Sia Ω = [0, 1] e definiamo le due famiglie
A = {A ⊆ Ω : A `e al pi` u numerabile oppure Ω \ A ` e al pi` u numerabile}, A
0= {A ⊆ Ω : A ` e finito oppure Ω \ A ` e finito}.
1. Mostrare che A ` e una σ-algebra.
2. Mostrare che A
0non ` e una σ-algebra.
Esercizio 2. Sia (A
n)
n≥1una successione di eventi tali che P(A
n) = 1 per ogni n. Mostrare che P(∩
∞n=1A
n) = 1.
Nei 4 esercizi che seguono si indichi lo spazio di probabilit` a uniforme che descrive la situazione in esame.
Esercizio 3. Si scelgano a caso due numeri dall’insieme {1, 2, . . . , n}. Fissato k ∈ {2, . . . , n−
1}, qual ` e la probabilit` a che i due numeri scelti siano uno strettamente pi` u grande e uno strettamente pi` u piccolo di k?
Esercizio 4. Qual ` e la probabilit` a che, lanciando n dadi a sei facce, il punteggio totale ottenuto sia 6n − 1? E 6n − 2?
Esercizio 5. Si considerino n persone selezionate in modo casuale. Quanto grande dev’essere n affinch` e la probabilit` a che almeno due di essi compiano gli anni lo stesso giorno sia maggiore di 1/2? (per semplicit` a si supponga che 1 anno sia sempre di 365 giorni)
Esercizio 6. In un torneo ad eliminazione diretta partecipano 2
ngiocatori. ` E noto che tra essi vi ` e un giocatore A che sicuramente vincer` a con ogni avversario, e un giocatore B che vincer` a con ogni avversario eccetto A. Qual ` e la probabilit` a che A e B si incontrino in finale?
Soluzioni su http://www.math.unipd.it/~vargiolu/ProStat/
Soluzioni Esercizio 1.
1. Verifichiamo che A ` e una σ-algebra. Siccome ∅ ` e un insieme finito, ∅ ∈ A, e Ω ` e tale che ∅ = Ω \ Ω ` e finito, quindi anche Ω ∈ A.
Inoltre A ` e chiusa per complemento. Difatti, se A ∈ A ed ` e al pi` u numerabile, allora A
c` e tale che Ω \ A
c= A ` e al pi` u numerabile e quindi A
c∈ A. Se invece A ∈ A `e il complementare di un insieme al pi` u numerabile, allora A
c` e al pi` u numerabile e quindi A
c∈ A.
Infine mostriamo che A ` e chiusa per unione numerabile. Se (A
n)
n⊆ A e sono tutti al pi` u numerabili, allora ∪
∞n=1A
n` e un insieme al pi` u numerabile, e quindi ∪
∞n=1A
n∈ A.
Se invece almeno uno degli (A
n)
n` e il complementare di un insieme al pi` u numerabile (poniamo che sia A
1), allora l’insieme (∪
∞n=1A
n)
c= ∩
∞n=1A
cn⊆ A
c1, e quindi (∪
∞n=1A
n)
c` e al pi` u numerabile, e quindi ∪
∞n=1A
n∈ A.
2. Anche qui abbiamo che, siccome ∅ ` e un insieme finito, ∅ ∈ A
0, e Ω ` e tale che ∅ = Ω \ Ω
` e finito, quindi anche Ω ∈ A
0.
Inoltre A
0` e chiusa per complemento. Difatti, se A ∈ A
0ed ` e finito, allora A
c` e tale che Ω \ A
c= A ` e finito e quindi A
c∈ A
0. Se invece A ∈ A
0` e il complementare di un insieme finito, allora A
c` e finito e quindi A
c∈ A
0.
Mostriamo infine che A
0non ` e chiusa per unione numerabile. Se infatti B ` e un in- sieme numerabile, allora B / ∈ A
0. Ma si pu` o scrivere B = ∪
x∈B{x}, questa unione `e numerabile e {x} ∈ A
0per ogni x ∈ B, poich` e sono tutti insiemi finiti. Se A
0fosse una σ-algebra, si avrebbe che B = ∪
x∈B{x} ∈ A
0, cosa che abbiamo visto non essere vera.
Quindi A
0non pu´ o essere una σ-algebra.
Esercizio 2. Se P(A
n) = 1 per ogni n ≥ 1, allora abbiamo
P
∞
\
n=1
A
n!
= 1 − P
∞\
n=1
A
n!
c!
= 1 − P
∞
[
n=1
A
cn!
≥
≥ 1 −
∞
X
n=1
P(A
cn) = 1 −
∞
X
n=1
(1 − P(A
n)) = 1 −
∞
X
n=1
(1 − 1) = 1 − 0 = 1
Siccome ∩
∞n=1A
n` e un evento, non pu` o avere probabilit` a maggiore di 1, e quindi P(∩
∞n=1A
n) = 1.
Esercizio 3. Possiamo prendere Ω := C
2n(= {C ⊆ {1, . . . , n} : |C| = 2}), A := P(Ω) e P legge uniforme su Ω. Fissato k ∈ {2, . . . , n−1}, dobbiamo calcolare la probabilit` a dell’evento
A
k:= {{l, m} | l < k, m > k}
Questo insieme ` e in corrispondenza biunivoca con il prodotto cartesiano di due insiemi, uno di cardinalit` a k − 1, l’altro di cardinalit` a n − k, quindi |A
k| = (k − 1)(n − k), e
P(A
k) = |A
k|
|Ω| = (k − 1)(n − k)
n 2
Esercizio 4. Possiamo prendere Ω = {1, . . . , 6}
n, A := P(Ω) e P legge uniforme su Ω.
La prima domanda ci chiede di calcolare la probabilit` a di
A :=
(
(ω
1, . . . , ω
n) |
n
X
i=1
ω
i= 6n − 1 )
Siccome questo ` e possibile se e solo se esiste un unico ω
i= 5, i = 1, . . . , n e ω
j= 6 per ogni j 6= i, abbiamo
A := {(ω
1, . . . , ω
n) | ∃!ω
i= 5, ω
j= 6 ∀j 6= i}
e quindi
P(A) = |A|
|Ω| = n 6
nLa seconda domanda ci chiede di calcolare la probabilit` a di
B :=
(
(ω
1, . . . , ω
n) |
n
X
i=1
ω
i= 6n − 2 )
Ci sono due casi possibili, quindi possiamo scrivere B = B
1∪ B
2, con
B
1:= {(ω
1, . . . , ω
n) | ∃i 6= j tali che ω
i= ω
j= 5, ω
k= 6 ∀k 6= i, j}
B
2:= {(ω
1, . . . , ω
n) | ∃!ω
i= 4, ω
j= 6 ∀j 6= i}
e l’unione ` e disgiunta. Allora
P(B) = P(B
1) + P(B
2) = |B
1|
|Ω| + |B
2|
|Ω| =
n 2
