ESERCITAZIONE DI PROGETTO DI STRUTTURE - Anno Accademico 2013/2014 Redattore: Dott. Ing. Simone Caffè
OGGETTO:
- Punto 1: Analisi dei carichi di una copertura in calcestruzzo armato adibita a parcheggio sopraelevato.
- Punto 2: Definizione dello schema statico di un portale principale, costruzione della matrice di rigidezza con il metodo degli spostamenti, determinazione degli spostamenti incogniti e delle caratteristiche delle sollecitazione.
- Punto 3: Progetto e verifica delle sezioni armate della trave e delle colonne costituenti il telaio principale.
- Punto 4: Esempio di calcolo del punzonamento di una piastra in calcestruzzo armato.
- Punto 5: Esempio di calcolo di una trave parete con il metodo STRUT&TIE.
- Punto 6: Analisi modale con risposta spettrale del portale pricipale di cui ai punti precedenti con riferiemento alla zona dell'Aquila (Abruzzi).
- Punto 7: Criterio di Gerarchia delle Resistenze applicato alla trave ed alle colonne.
PUNTO 5 - ESEMPIO DI CALCOLO DI UNA TRAVE PARETE CON PILASTRO IN FALSO:
Analizzare la trave parete illustrata nella figura successiva, con il metodo STRUT&TIE. La trave avente dimensione 110x50 cm, in calcestruzzo C30/37 è soggetta ad un carico "in falso" pari a 4300 kN, trasmessole da un pilastro 40x40. La trave è a sua volta sostenuta da due pilastri 35x50, disposti a 1.20m di distanza:
Calcestruzzo Classe C30/37 Rck:= 37 MPa⋅
fck:= 30 MPa⋅
αcc:= 0.85 (coefficiente che tiene in conto gli effetti dei carichi di lungo termine) γc:= 1.50 (coefficiente di sicurezza del calcestruzzo armato)
Resistenza a compressione di calcolo:
fcd
αcc fck⋅
γc =17 MPa⋅ :=
Acciaio per armatura B450C:
fyk:= 450 MPa⋅
γs:= 1.15 (coefficiente di sicurezza dell'armatura) Resistenza a trazione di calcolo:
fyd fyk
γs =391.3 MPa⋅ :=
Descrizione del modello Strut & Tie (Puntone - Tirante):
Le travi "tozze", ovvero quelle in cui la "luce" tra i supporti, è confrontabile con l'altezza della sezione trasversale, NON possono essere analizzate con i metodi classici forniti dal modello di De Saint Venant, in quanto il
comportamento a taglio predomina su quello flessionale.
Svariate campagne di sperimentazione hanno dimostrato che il collasso di queste tipologie di travi, avviene con formazione di un arco - tirante, che può essere descritto matematicamente attraverso il modello STRUT&TIE.
L'attento studio del flusso delle tensioni principali, rappresentabile attraverso la graficizzazione delle isostatiche di trazione e compressione determinate, ad esempio, con modelli agli elementi finiti, fornisce il metodo più rigoroso per individuare il "traliccio di calcolo" formato appunto da aste compresse ed aste tese.
La distanza "effettiva" tra il punto di carico ed il tirante inferiore costituito dall'armatura longitudinale, è fornita dal Model Code 1990 ed è pari a 0.67 H (2/3 H). Tale valore corrisponde alla distanza tra le risultanti di trazione e compressione, di una trave equivalente calcolata con i metodi elastici.
Altezza della trave:
ht:= 110 cm⋅
Larghezza della trave:
bt:= 50 cm⋅
Distanza tra i baricentri dei pilastri di supporto:
Lt:= 120 cm⋅
Distanza tra il lembo inferiore della trave ed il baricentro dell'armatura longitudinale:
d1:= 50 mm⋅
Momento statico di mezza sezione calcolato rispetto al baricentro:
SG:= 0.5 ht⋅ ⋅bt⋅(0.25 ht⋅ )=75625 cm3
Momento d'inerzia della sezione trasversale:
JG bt ht⋅ 3
12 =5545833.33 cm4 :=
Braccio di leva della coppia interna di trazione e compressione:
b JG
SG =73.33 cm
:= 2
3⋅ht=73.33 cm
Si noti che il braccio della coppia interna è pari a 2/3H. Tale valore è pari alla distanza di calcolo tra l'origine del puntone compresso ed il baricentro dell'armatura longitudinale.
Soluzione del traliccio isostatico Strut & Tie (Puntone - Tirante):
La distanza tra i punti di carico posti immediatamente al di sotto del pilastro in falso, può essere assunta pari alla metà della dimensione del pilastro stesso:
Dimensione del pilastro in falso:
a:= 40 cm⋅
Distanza tra i punti di carico:
a
2 =20 cm
L'angolo che si forma tra il puntone inclinato ed il tirante inferiore si calcola nel seguente modo:
θ atan 2 3⋅ht 0.5 Lt a
− 2
⋅
55.71 °
= :=
Stante ciò, le azioni agenti sul puntone e sul tirante, si determinano imponendo l'equilibrio del nodo 1 (vedi figura):
FEd:= 4300 kN⋅ (forza trasmessa alla trave dal pilastro in falso) REd:= 0.5 FEd⋅ =2150 kN (reazione di appoggio)
Forza di compressione agente nel puntone:
CEd REd
sin( )θ =2602.19 kN :=
Forza di trazione agente nell'armatura longitudinale:
TEd:= CEd cos⋅ ( )θ =1465.91 kN
Determinazione delle resistenze di calcolo secondo il paragrafo 6.5 - Eurocodice 2:
Progetto dell'armatura longitudinale:
L'area d'armatura necessaria per equilibrare l'azione sul tirante si ricava come segue:
As.min TEd
fyd =37.46 cm2 :=
Tale armatura può essere disposta su un singolo strato o su più strati. Si noterà più avanti come la seconda soluzione sia più conveniente al fine di incrementare le prestazioni del puntone compresso.
Soluzione (a) su un singolo strato:
Si adottano armature φ30 e se ne calcola il numero:
ϕa:= 30 mm⋅
na 4 As.min⋅ π ϕ⋅ a2
=5.3 :=
Su un singolo strato si devono disporre 6 armature φ30.
Soluzione (b) su tre strati:
Si adottano armature φ20 e se ne calcola il numero:
ϕb:= 20 mm⋅
nb 4 As.min⋅ π ϕ⋅ b2
11.92
= :=
Su tre strati si devono disporre 12 armature φ20, in ragione di 4 ferri su ciascuno strato.
Resistenza del puntone compresso:
La resistenza del puntone deve calcolarsi secondo quanto prescritto nel paragrafo 6.5.2 EC.2, per quanto attiene i "puntoni di calcestruzzo soggetti a tensioni trasversali di trazione".
I puntoni di calcestruzzo disposti come nel nostro esempio, sono soggetti a trazioni trasversali che ne riducono sensibilmente la resistenza a compressione, secondo la seguente espressione:
σRd_max 0.6 1 fck 250 MPa⋅
−
⋅ ⋅fcd=8.98 MPa :=
Come si nota la resistenza del puntone teso trasversalmente è decisamente inferiore a quella di calcolo per pura compressione. Qualora tuttavia si dispongano opportune armature trasversali atte ad equilibrare le tensioni di trazione, è possibile omettere la verifica dei puntoni, limitandosi a verificare i "nodi" del traliccio.
Esistono quattro tipologie di nodi:
CCC = nodi con tre puntoni.
CCT = nodi con due puntoni ed un tirante (caso in esempio).
CTT = nodi con un puntone e due tiranti.
TTT = tre tiranti.
Di seguito di riportano le resistenze a compressione delle tre tipologie principali di nodi (6.5.4 EC.2):
σRd_ccc 1 fck 250 MPa⋅
−
⋅fcd=14.96 MPa
:=
σRd_cct 0.85 1 fck 250 MPa⋅
−
⋅fcd=12.72 MPa
:=
σRd_ctt 0.75 1 fck 250 MPa⋅
−
⋅fcd=11.22 MPa
:=
Il nodo "1" appartiene alla tipologia CCT, dal momento chè, la porzione inferiore a contatto con il pilastro di supporto è soggetta a tensioni di compressione, la faccia diagonale è anch'essa compressa in ragione dell'azione assiale del puntone e nel contempo i suddetti sforzi sono equilibrati dalle tensioni di trazione nelle armature.
Soluzione (a) su un singolo strato:
La resistenza del nodo è funzione della dimensione del pilastro di supporto a1 e della dimensione del puntone compresso a2:
a1:= 35 cm⋅
La dimensione a2 del puntone compresso si ricava trigonometricamente nel seguente modo:
ua:= 2 d1⋅ =10 cm (nel caso di armatura disposta su un unico strato, "u" è pari al doppio della distanza tra il bordo inferiore della trave ed il baricentro dell'armatura longitudinale).
a2_a:= a1 sin⋅ ( )θ +ua cos⋅ ( )θ =34.55 cm
Sotto questa ipotesi la tensione dovuta all'azione del puntone risulta:
σc_a CEd
a2_a bt⋅ =15.06 MPa :=
Il tasso di lavoro risulta:
ρc_a
σc_a
σRd_cct =1.18
:= la verifica NON è soddisfatta.
Proviamo ad eseguire la medesima verifica utilizzando tre strati d'armatura.
Soluzione (b) su tre strati:
Sia "sa" il passo verticale tra le armature:
sa:= 70 mm⋅
ub:= 2 d1⋅ +2sa=24 cm
a2_b:= a1 sin⋅ ( )θ +ub cos⋅ ( )θ =42.44 cm
Sotto questa ipotesi la tensione dovuta all'azione del puntone risulta:
σc_b CEd
a2_b bt⋅ =12.26 MPa :=
Il tasso di lavoro risulta:
ρc_b
σc_b
σRd_cct =0.96
:= la verifica risulta soddisfatta.
NOTA:
E' sempre più conveniente utilizzare armature aventi diametro minore disposte su più strati in modo da aumentare il più possibile la dimensione del puntone compresso.
La tensione sulla sommità dei pilastri di supporto è pari a:
σc 0.5 FEd
⋅
a1 bt⋅ =12.29 MPa :=
Il tasso di lavoro risulta:
ρc
σc
σRd_cct =0.97
:= la verifica risulta soddisfatta.
Determinazione delle armature trasversali secondo il paragrafo 6.5.3 - Eurocodice 2:
La armatura trasversale utilizzata per equilibrare le tensioni di trazione perpendicolari al puntone, si possono calcolare con riferimento al modello di "tirante con parziale discontinuita o con totale discontinuità":
Lunghezza del puntone:
Hc 2
3 ht sin( )θ
⋅ =88.76 cm :=
Cautelativamente si può assumere un'orditura trasversale dimensionata con una forza di trazione pari al 50%
della forza di compressione agente nel puntone:
NEd:= 0.5 CEd⋅ =1301.09 kN
La suddetta azione di trazione necessita della seguente area di acciaio per essere equilibrata:
Ast_min NEd
fyd =33.25 cm2 :=
Si utilizzano staffe φ16 a 4 braccia con passo 100 mm (9 staffe su metà trave).
ϕst:= 16 mm⋅ (diametro delle staffe) nb_st:= 4 (numero braccia delle staffe) nst:= 9 (numero staffe su metà trave)
α:= 90°−θ=34.29 ° (angolo che si forma tra la staffa ed il puntone compresso)
NRd_st nst nb_st⋅ π ϕ⋅ st2 4
⋅ ⋅fyd⋅sin( )α =1595.57 kN
:= armatura VERIFICATA
Si noti che la resistenza delle staffe è stata proitettata in direzione "perpendicolare" al puntone compresso in modo da garantire l'efficacia nel contrastare le trazioni perpendicolari al puntone stesso.
In aggiunta alle armature calcolate è buona norma inserire armature longitudinali al lembo superiore al fine di garantire una certa duttilità della sezione, ed un'orditura di parete (ferri orizzontali) atti a contenere la formazione di fessure allo Stato Limite di Esercizio.
