ESEMPIO DI CALCOLO DEL CENTRO DI RIGIDEZZA E DELL'ELLISSE DELLE RIGIDEZZE

ESERCITAZIONE DI PROGETTO DI STRUTTURE - Anno Accademico 2013/2014 Redattore: Dott. Ing. Simone Caffè

ESEMPIO DI CALCOLO DEL CENTRO DI RIGIDEZZA E DELL'ELLISSE DELLE RIGIDEZZE Si consideri un'altezza di interpiano pari a 5 m: h = 5000 mm

Definizione del modulo di elasticità del calcestruzzo C25/30:

E_cm = 30000 MPa G_cls = 15000 MPa γ_cls ^{25 kN}

m³

= Definizione delle coordinate di ciascun elemento strutturale:

Pilastro P1: x_P1 = 150 mm y_P1 = 300 mm Pilastro P2: x_P2 = 5000 mm y_P2 = 300 mm Pilastro P3: x_P3 = 12500 mm y_P3 = 300 mm Pilastro P4: x_P4 = 19700 mm y_P4 = 300 mm Pilastro P5: x_P5 = 300 mm y_P5 = 6000 mm Pilastro P6: x_P6 = 5000 mm y_P6 = 6000 mm Pilastro P7: x_P7 = 12500 mm y_P7 = 6000 mm Pilastro P8: x_P8 = 19700 mm y_P8 = 6000 mm Pilastro P9: x_P9 = 300 mm y_P9 = 11000 mm Pilastro P10: x_P10 = 5000 mm y_P10 = 11000 mm Pilastro P11: x_P11 = 150 mm y_P11 = 14700 mm Pilastro P12: x_P12 = 5000 mm y_P12 = 14700 mm Setto S1: x_S1 = 16250 mm y_S1 = 14750 mm Setto S2: x_S2 = 16250 mm y_S2 = 11000 mm

Definizione delle proprietà geometriche e meccaniche di ciascun elemento strutturale:

Pilastri P1 e P11: 300x600 (definiti d'ora in poi TIPO A):

b_A = 300 mm h_A = 600 mm Area della sezione trasversale:

A_A = b_Ah_A=1800 cm² Momenti principali di inerzia:

I_{x_A}

b_Ah_A³

12 =540000 cm⁴

= I_{y_A}

h_Ab_A³

12 =135000 cm⁴

=

Raggi di inerzia:

i_{x_A}

I_{x_A}

A_A =17.32 cm

= i_{y_A}

I_{y_A}

A_A =8.66 cm

=

Momento d'inerzia torsionale:

ψ_A ³

1 0.63 min b

(

_A, h_A

)

max b

(

_A, h_A

)

−

=4.38

=

J_{T_A} 1

ψ_A ^{max b}

(

^{A, hA}

)

^{min b}

(

^{A, hA}

)

^{3=369900 cm4}

=

Calcolo del fattore di taglio (l'area di taglio di una sezione rettangolare è pari a 5/6 dell'area della sezione):

t_A A_A 5 6 A_A

=1.2

=

Coefficiente β di riduzione di rigidezza dovuto alla fessurazione (cautelativamente si può assumere pari a 0.50) β_A = ^0.5

Calcolo delle rigidezze traslazionali nelle due direzione X e Y:

k_{x_A} β_AE_cmA_A h

1 1 12

h i_{y_A}

 



 



2 2 t_A



+

 



 

1927.35 kN

= m

= k_{y_A} β_AE_cmA_A

h

1 1 12

h i_{x_A}

 



 



2 2 t_A



+

 



 

7516.24 kN

= m

=

Si noti che si sarebbe potuti pervenire ad un risultato simile utilizzando la classica formula di rigidezza traslazionale per pilastri appartenenti ad un telaio, adottando tuttavia il coefficiente riduttivo beta:

kx_A_classico β_A

(

^{12 EcmIy_A}

)

h³

1944 kN

= m

= ky_A_classico β_A

(

^{12 EcmIx_A}

)

h³

7776 kN

= m

=

Pilastri P2, P3, P4, P5, P8, P9, P12 : 600x600 (definiti d'ora in poi TIPO B):

b_B = 600 mm h_B = 600 mm Area della sezione trasversale:

A_B = b_Bh_B=3600 cm² Momenti principali di inerzia:

I_{x_B} b_Bh_B³

12 =1080000 cm⁴

= I_{y_B} h_Bb_B³

12 =1080000 cm⁴

= Raggi di inerzia:

i_{x_B} I_{x_B}

A_B =17.32 cm

= i_{y_B} I_{y_B}

A_B =17.32 cm

=

Momento d'inerzia torsionale:

ψ_B ³

1 0.63 min b

(

_B, h_B

)

max b

(

_B, h_B

)

−

=8.11

=

J_{T_B} 1

ψ_B ^{max b}

(

^{B, hB}

)

^{min b}

(

^{B, hB}

)

^{3=1598400 cm4}

=

Calcolo del fattore di taglio (l'area di taglio di una sezione rettangolare è pari a 5/6 dell'area della sezione):

t_B A_B 5 6 A_B

=1.2

=

Coefficiente β di riduzione di rigidezza dovuto alla fessurazione (cautelativamente si può assumere pari a 0.50)

β_B = ^0.5

Calcolo delle rigidezze traslazionali nelle due direzione X e Y:

k_{x_B} β_BE_cmA_B h

1 1 12

h i_{y_B}

 



 



2 2 t_B



+

 



 

15032.48 kN

= m

= k_{y_B} β_BE_cmA_B

h

1 1 12

h i_{x_B}

 



 



2 2 t_B



+

 



 

15032.48 kN

= m

=

Si noti che si sarebbe potuti pervenire ad un risultato simile utilizzando la classica formula di rigidezza traslazionale per pilastri appartenenti ad un telaio, adottando tuttavia il coefficiente riduttivo beta:

kx_B_classico β_B

(

^{12 EcmIy_B}

)

h³

15552 kN

= m

= ky_B_classico β_B

(

^{12 EcmIx_B}

)

h³

15552 kN

= m

=

Pilastri P6, P7, P10: 600x1000 (definiti d'ora in poi TIPO C):

b_C = 600 mm h_C = 1000 mm Area della sezione trasversale:

A_C = b_Ch_C=6000 cm² Momenti principali di inerzia:

I_{x_C}

b_Ch_C³

12 =5000000 cm⁴

= I_{y_C}

h_Cb_C³

12 =1800000 cm⁴

= Raggi di inerzia:

i_{x_C}

I_{x_C}

A_C =28.87 cm

= i_{y_C}

I_{y_C}

A_C =17.32 cm

=

Momento d'inerzia torsionale:

ψ_C ³

1 0.63

min b

(

_C, h_C

)

max b

(

_C, h_C

)

−

=4.82

=

J_{T_C} 1

ψ_C ^{max b}

(

^{C, hC}

)

^{min b}

(

^{C, hC}

)

^{3=4478400 cm4}

=

Calcolo del fattore di taglio (l'area di taglio di una sezione rettangolare è pari a 5/6 dell'area della sezione):

t_C A_C 5 6 A_C

=1.2

=

Coefficiente β di riduzione di rigidezza dovuto alla fessurazione (cautelativamente si può assumere pari a 0.50) β_C = ^0.5

Calcolo delle rigidezze traslazionali nelle due direzione X e Y:

k_{x_C}

β_CE_cmA_C h

1 1 12

h i_{y_C}

 



 



2 2 t_C



+

 



 

25054.13 kN

= m

= k_{y_C}

β_CE_cmA_C h

1 1 12

h i_{x_C}

 



 



2 2 t_C



+

 



 

65693.43 kN

= m

=

Si noti che si sarebbe potuti pervenire ad un risultato simile utilizzando la classica formula di rigidezza traslazionale per pilastri appartenenti ad un telaio, adottando tuttavia il coefficiente riduttivo beta:

kx_C_classico β_C

(

^{12 EcmIy_C}

)

h³

25920 kN

= m

= ky_C_classico β_C

(

^{12 EcmIx_C}

)

h³

72000 kN

= m

=

Setti S1 e S2: 7500x500 (definiti d'ora in poi TIPO S):

b_S = 7500mm h_S = 500 mm Area della sezione trasversale:

A_S = b_Sh_S=37500 cm²

Momenti principali di inerzia:

I_{x_S}

b_Sh_S³

12 =7812500 cm⁴

= I_{y_S}

h_Sb_S³

12 =1757812500 cm⁴

= Raggi di inerzia:

i_{x_S}

I_{x_S}

A_S =14.43 cm

= i_{y_S}

I_{y_S}

A_S =216.51 cm

=

Momento d'inerzia torsionale:

ψ_S ³

1 0.63

min b

(

_S, h_S

)

max b

(

_S, h_S

)

−

=3.13

=

J_{T_S} 1

ψ_S ^{max b}

(

^{S, hS}

)

^{min b}

(

^{S, hS}

)

³=29937500 cm⁴

=

Calcolo del fattore di taglio (l'area di taglio di una sezione rettangolare è pari a 5/6 dell'area della sezione):

t_S A_S 5 6 A_S

=1.2

=

Coefficiente β di riduzione di rigidezza dovuto alla fessurazione (cautelativamente si può assumere pari a 0.50) β_S = ^0.5

Calcolo delle rigidezze traslazionali nelle due direzione X e Y:

Assumendo che l'edificio sia composto da quattro impalcati aventi tutti il medesimo interpiano si ha:

n_impalcati = 4 In direzione Y il setto lavora come un pilastro:

k_{x_S} β_SE_cmA_S h

1 n_impalcati

3 h i_{y_S}

 



 



2 2 t_S



+

 

 



1182827.1 kN

= m

= k_{y_S} β_SE_cmA_S

h

1 1 12

h i_{x_S}

 



 



2 2 t_S



+

 

 



109863.28 kN

= m

=

kx_S_classico β_S

(

^{3 EcmIy_S}

)

n_impalcatih³

1582031.25 kN

= m

= ky_S_classico β_S

(

^{12 EcmIx_S}

)

h³

112500 kN

= m

=

CALCOLO DELLE RIGIDEZZE TRASLAZIONALI COMPLESSIVE E BARICENTRO DELLE RIGIDEZZE:

Poichè i telai sono diretti in direzione Y per tutti i pilastri e in direzione X unicamente per alcini pilastri di bordo, nel calcolo della rigidezza in direzione X si dovranno omettere tutti pilastri non collegati da travi disposte in direzione X:

Pilastro P1: k_{x_P1} k_{x_A} 1927.35 kN

= m

= k_{y_P1} k_{y_A} 7516.24 kN

= m

= J_{T_P1} = J_{T_A}=369900 cm⁴

Pilastro P2: k_{x_P2} k_{x_B} 15032.48 kN

= m

= k_{y_P2} k_{y_B} 15032.48 kN

= m

= J_{T_P2} = J_{T_B}=1598400 cm⁴

Pilastro P3: k_{x_P3} k_{x_B} 15032.48 kN

= m

= k_{y_P3} k_{y_B} 15032.48 kN

= m

= J_{T_P3} = J_{T_B}=1598400 cm⁴

Pilastro P4: k_{x_P4} k_{x_B} 15032.48 kN

= m

= k_{y_P4} k_{y_B} 15032.48 kN

= m

= J_{T_P4} = J_{T_B}=1598400 cm⁴

Pilastro P5: k_{x_P5} 0 kN

= m k_{y_P5} k_{y_B} 15032.48 kN

= m

= J_{T_P5} = J_{T_B}=1598400 cm⁴

Pilastro P6: k_{x_P6} 0 kN

= m k_{y_P6} k_{y_C} 65693.43 kN

= m

= J_{T_P6} = J_{T_C} =4478400 cm⁴

Pilastro P7: k_{x_P7} 0 kN

= m k_{y_P7} k_{y_C} 65693.43 kN

= m

= J_{T_P7} = J_{T_C} =4478400 cm⁴

Pilastro P8: k_{x_P8} 0 kN

= m k_{y_P8} k_{y_B} 15032.48 kN

= m

= J_{T_P8} = J_{T_B}=1598400 cm⁴

Pilastro P9: k_{x_P9} 0 kN

= m k_{y_P9} k_{y_B} 15032.48 kN

= m

= J_{T_P9} = J_{T_B}=1598400 cm⁴

Pilastro P10: k_{x_P10} 0 kN

= m k_{y_P10} k_{y_C} 65693.43 kN

= m

= J_{T_P10} = J_{T_C}=4478400 cm⁴

Pilastro P11: k_{x_P11} k_{x_A} 1927.35 kN

= m

= k_{y_P11} k_{y_A} 7516.24 kN

= m

= J_{T_P11} = J_{T_A}=369900 cm⁴

Pilastro P12: k_{x_P12} k_{x_B} 15032.48 kN

= m

= k_{y_P12} k_{y_B} 15032.48 kN

= m

= J_{T_P12} = J_{T_B}=1598400 cm⁴

Pilastro S1: k_{x_S1} k_{x_S} 1182827.1 kN

= m

= k_{y_S1} k_{y_S} 109863.28 kN

= m

= J_{T_S1} = J_{T_S} =29937500 cm⁴

Pilastro S2: k_{x_S2} k_{x_S} 1182827.1 kN

= m

= k_{y_S2} k_{y_S} 109863.28 kN

= m

= J_{T_S2} = J_{T_S} =29937500 cm⁴

Rigidezza complessiva lungo l'asse X e l'asse Y:

K_x = k_{x_P1}+ k_{x_P2}+ k_{x_P3}+ k_{x_P4}+ k_{x_P5}+ k_{x_P6}+ k_{x_P7}+ k_{x_P8}+ k_{x_P9}+ k_{x_P10} +k_{x_P11}+ k_{x_P12}+ k_{x_S1}+ k_{x_S2}

K_y = k_{y_P1}+ k_{y_P2}+ k_{y_P3}+ k_{y_P4}+ k_{y_P5}+ k_{y_P6}+ k_{y_P7}+ k_{y_P8}+ k_{y_P9}+ k_{y_P10} +k_{y_P11} +k_{y_P12}+ k_{y_S1}+ k_{y_S2}

K_x 2429638.81 kN

= m K_y 537066.68 kN

= m

Coordinate del centro delle rigidezze:

X_CR

k_{y_P1}x_P1+k_{y_P2}x_P2+ k_{y_P3}x_P3+k_{y_P4}x_P4+k_{y_P5}x_P5+ k_{y_P6}x_P6+k_{y_P7}x_P7+ k_{y_P8}x_P8+ k_{y_P9}x_P9+k_{y_P10}x_P10+ k_{y_P11}x_P11+ k_{y_P12} x_P12 +k_{y_S1}x_S1+ k_{y_S2}x_S2 K_y

=

Y_CR k_{x_P1}y_P1+k_{x_P2}y_P2+ k_{x_P3}y_P3+k_{x_P4}y_P4+k_{x_P5}y_P5+ k_{x_P6}y_P6+k_{x_P7}y_P7+ k_{x_P8}y_P8+ k_{x_P9}y_P9+k_{x_P10}y_P10+ k_{x_P11}y_P11+ k_{x_P12} y_P12 +k_{x_S1}y_S1+ k_{x_S2}y_S2 K_x

=

X_CR=11.15 m

Y_CR=12.64 m

Calcolo delle coordinate di ciascun elemento strutturale rispetto al centro delle rigidezze:

Pilastro P1: x_{P1_CR} = x_P1−X_CR=−11m y_{P1_CR} = y_P1−Y_CR=−12.34m Pilastro P2: x_{P2_CR} = x_P2−X_CR=−6.15m y_{P2_CR} = y_P2−Y_CR=−12.34m Pilastro P3: x_{P3_CR} = x_P3−X_CR=1.35 m y_{P3_CR} = y_P3−Y_CR=−12.34m Pilastro P4: x_{P4_CR} = x_P4−X_CR=8.55 m y_{P4_CR} = y_P4−Y_CR=−12.34m Pilastro P5: x_{P5_CR} = x_P5−X_CR=−10.85m y_{P5_CR} = y_P5−Y_CR=−6.64m Pilastro P6: x_{P6_CR} = x_P6−X_CR=−6.15m y_{P6_CR} = y_P6−Y_CR=−6.64m Pilastro P7: x_{P7_CR} = x_P7−X_CR=1.35 m y_{P7_CR} = y_P7−Y_CR=−6.64m Pilastro P8: x_{P8_CR} = x_P8−X_CR=8.55 m y_{P8_CR} = y_P8−Y_CR=−6.64m Pilastro P9: x_{P9_CR} = x_P9−X_CR=−10.85m y_{P9_CR} = y_P9−Y_CR=−1.64m Pilastro P10: x_{P10_CR} = x_P10 −X_CR=−6.15m y_{P10_CR} = y_P10 −Y_CR=−1.64m Pilastro P11: x_{P11_CR} = x_P11 −X_CR=−11m y_{P11_CR} = y_P11 −Y_CR=2.06 m Pilastro P12: x_{P12_CR} = x_P12 −X_CR=−6.15m y_{P12_CR} = y_P12 −Y_CR=2.06 m Setto S1: x_{S1_CR} = x_S1−X_CR=5.1 m y_{S1_CR} = y_S1−Y_CR=2.11 m Setto S2 x_{S2_CR} = x_S2−X_CR=5.1 m y_{S2_CR} = y_S2−Y_CR=−1.64m

CALCOLO DELLA RIGIDEZZA TORSIONALE:

Pilastro P1: k_{T_P1} k_{x_P1}y_{P1_CR}²+ k_{y_P1}x_{P1_CR}² G_clsJ_{T_P1}

+ h 1214919.22 kN m

= rad

=

Pilastro P2: k_{T_P2} k_{x_P2}y_{P2_CR}²+ k_{y_P2}x_{P2_CR}² G_clsJ_{T_P2}

+ h 2907953.76 kN m

= rad

=

Pilastro P3: k_{T_P3} k_{x_P3}y_{P3_CR}²+ k_{y_P3}x_{P3_CR}² G_clsJ_{T_P3}

+ h 2365881.84 kN m

= rad

=

Pilastro P4: k_{T_P4} k_{x_P4}y_{P4_CR}²+ k_{y_P4}x_{P4_CR}² G_clsJ_{T_P4}

+ h 3436530.23 kN m

= rad

=

Pilastro P5: k_{T_P5} k_{x_P5}y_{P5_CR}²+ k_{y_P5}x_{P5_CR}² G_clsJ_{T_P5}

+ h 1818919.03 kN m

= rad

=

Pilastro P6: k_{T_P6} k_{x_P6}y_{P6_CR}²+ k_{y_P6}x_{P6_CR}² G_clsJ_{T_P6}

+ h 2622277.74 kN m

= rad

=

Pilastro P7: k_{T_P7} k_{x_P7}y_{P7_CR}²+ k_{y_P7}x_{P7_CR}² G_clsJ_{T_P7}

+ h 253369.23 kN m

= rad

=

Pilastro P8: k_{T_P8} k_{x_P8}y_{P8_CR}²+ k_{y_P8}x_{P8_CR}² G_clsJ_{T_P8}

+ h 1145834.82 kN m

= rad

=

Pilastro P9: k_{T_P9} k_{x_P9}y_{P9_CR}²+ k_{y_P9}x_{P9_CR}² G_clsJ_{T_P9}

+ h 1818919.03 kN m

= rad

=

Pilastro P10: k_{T_P10} k_{x_P10}y_{P10_CR}²+k_{y_P10}x_{P10_CR}² G_clsJ_{T_P10}

+ h 2622277.74 kN m

= rad

=

Pilastro P11: k_{T_P11} k_{x_P11}y_{P11_CR}²+k_{y_P11}x_{P11_CR}² G_clsJ_{T_P11}

+ h 929368.37 kN m

= rad

=

Pilastro P12: k_{T_P12} k_{x_P12}y_{P12_CR}²+k_{y_P12}x_{P12_CR}² G_clsJ_{T_P12}

+ h 680780.77 kN m

= rad

=

Pilastro S1: k_{T_S1} k_{x_S1}y_{S1_CR}²+ k_{y_S1}x_{S1_CR}² G_clsJ_{T_S1}

+ h 8995535.1 kN m

= rad

=

Pilastro S2: k_{T_S2} k_{x_S2}y_{S2_CR}²+ k_{y_S2}x_{S2_CR}² G_clsJ_{T_S2}

+ h 6949433.17 kN m

= rad

=

Rigidezza torsionale complessiva:

K_T k_{T_P1}+k_{T_P2}+k_{T_P3}+k_{T_P4}+k_{T_P5}+ k_{T_P6}+ k_{T_P7}+ k_{T_P8}+ k_{T_P9}+k_{T_P10}+ k_{T_P11}+k_{T_P12}+ k_{T_S1}+k_{T_S2} 3.78× 10⁷ kN m

= rad

=

Determinazione dei raggi dell'ellisse delle rigidezze:

r_x K_T

K_y =8385.2 mm

= r_y

K_T

K_x =3942.36 mm

=

CALCOLO DELLA POS IZIONE DEL CENTRO DI MASSA E DEL RAGGIO POLARE DELLE MASSE:

Il calcolo corretto dovrebbe effettuarsi conoscendo il carico assiale agente su ciascu pilastro. In questo caso assumiamo che le masse presenti sul solaio siano distribuite uniformemente in modo da poter svolgere calcoli semplificati in ragione dell'area di influenza di ciascun pilastro.

Si consideri un carico complessivo agente sul solaio pari a 4.50 + 2.50 + 2.00 kN/mq.

Carico agente sul solaio:

q_slab 4.50 kN m²

2.50 kN m²

+ 2.00 kN

m²

+ 9 kN

m²

=

=

Area totale del solaio:

A_slab = 300 m²

Calcolo delle masse agenti su ciascun pilastro in ragione della propria superficie di competenza:

Pilastro P1: A_P1 = 2.575 m 3.150 m=8.11 m² m_P1

0.5A_Ahγ_cls

g A_P1

q_slab

+ g =8591.24 kg

=

Pilastro P2: A_P2 = 6.175 m 3.150 m=19.45 m² m_P2

0.5A_Bhγ_cls

g A_P2

q_slab

+ g =20145.64 kg

=

Pilastro P3: A_P3 = 7.350 m 3.150 m=23.15 m² m_P3

0.5A_Bhγ_cls

g A_P3

q_slab

+ g =23542.44 kg

=

Pilastro P4: A_P4 = 3.900 m 3.150 m=12.29 m² m_P4

0.5A_Bhγ_cls

g A_P4

q_slab

+ g =13568.85 kg

=

Pilastro P5: A_P5 = 2.575 m 5.350 m=13.78 m² m_P5

0.5A_Bhγ_cls

g A_P5

q_slab

+ g =14937.44 kg

=

Pilastro P6: A_P6 = 6.175 m 5.350 m=33.04 m² m_P6

0.5A_Chγ_cls

g A_P6

q_slab

+ g =34142.78 kg

=

Pilastro P7: A_P7 = 7.350 m 5.350 m=39.32 m² m_P7

0.5A_Chγ_cls

g A_P7

q_slab

+ g =39911.95 kg

=

Pilastro P8: A_P8 = 3.900 m 5.350 m=20.86 m² m_P8

0.5A_Bhγ_cls

g A_P8

q_slab

+ g =21443.1 kg

=

Pilastro P9: A_P9 = 2.575 m 4.500 m=11.59 m² m_P9

0.5A_Bhγ_cls

g A_P9

q_slab

+ g =12928.73 kg

=

Pilastro P10: A_P10 = 6.175 m 4.500 m=27.79 m² m_P10

0.5A_Chγ_cls

g A_P10

q_slab

+ g =29325.76 kg

=

Pilastro P11: A_P11 = 2.575 m 2.000 m=5.15 m² m_P11

0.5A_Ahγ_cls

g A_P11

q_slab

+ g =5873.57 kg

=

Pilastro P12: A_P12 = 6.175 m 2.000 m=12.35 m² m_P12

0.5A_Bhγ_cls

g A_P12

q_slab

+ g =13628.51 kg

=

Setto S1: A_S1 = 11.250 m 2.000 m=22.5 m² m_S1

0.5A_Shγ_cls

g A_S1

q_slab

+ g =44548.85 kg

=

Setto S2: A_S2 = 11.250 m 4.500 m=50.63 m² m_S2

0.5A_Shγ_cls

g A_S2

q_slab

+ g =70360.42 kg

=

Massa totale: M_tot = m_P1+m_P2+m_P3+ m_P4+m_P5+ m_P6+ m_P7+m_P8+ m_P9+m_P10 +m_P11 +m_P12 +m_S1+m_S2=352949.27 kg

Calcolo delle coordinate del centro delle masse:

X_CM

m_P1x_P1+ m_P2x_P2+ m_P3x_P3+m_P4x_P4+m_P5x_P5+ m_P6x_P6+ m_P7x_P7+m_P8x_P8+m_P9x_P9+ m_P10x_P10+ m_P11x_P11+ m_P12x_P12+ m_S1x_S1+ m_S2x_S2

M_tot =10.9 m

=

Y_CM

m_P1y_P1+ m_P2y_P2+ m_P3y_P3+m_P4y_P4+m_P5y_P5+ m_P6y_P6+ m_P7y_P7+m_P8y_P8+m_P9y_P9+ m_P10y_P10+ m_P11y_P11+ m_P12y_P12+ m_S1y_S1+ m_S2y_S2

M_tot =8.12 m

=

Calcolo del momento polare delle masse:

J_{s_P1} m_P1

^  (

X_CM−x_P1

)

²⁺

(

^{YCM −yP1}

)

²





=1517.69 kN m s²

=

J_{s_P2} m_P2

^  (

X_CM−x_P2

)

²⁺

(

^{YCM −yP2}

)

²





=1932.15 kN m s²

=

J_{s_P3} m_P3

^  (

X_CM−x_P3

)

²⁺

(

^{YCM −yP3}

)

²





=1498.9 kN m s²

=

J_{s_P4} m_P4

^  (

X_CM−x_P4

)

²⁺

(

^{YCM −yP4}

)

²





=1880.06 kN m s²

=

J_{s_P5} m_P5

^  (

X_CM−x_P5

)

²⁺

(

^{YCM −yP5}

)

²





=1745.13 kN m s²

=

J_{s_P6} m_P6

^  (

X_CM−x_P6

)

²⁺

(

^{YCM −yP6}

)

²





=1341.29 kN m s²

=

J_{s_P7} m_P7

^  (

X_CM−x_P7

)

²⁺

(

^{YCM −yP7}

)

²





=281.13 kN m s²

=

J_{s_P8} m_P8

^  (

X_CM−x_P8

)

²⁺

(

^{YCM −yP8}

)

²





=1756.89 kN m s²

=

J_{s_P9} m_P9

^  (

X_CM−x_P9

)

²⁺

(

^{YCM −yP9}

)

²





=1559.96 kN m s²

=

J_{s_P10} m_P10

^  (

X_CM−x_P10

)

²⁺

(

^YCM−yP10

)

²





=1264.36 kN m s²

=

J_{s_P11} m_P11

^  (

X_CM−x_P11

)

²⁺

(

^YCM−yP11

)

²





=933.22 kN m s²

=

J_{s_P12} m_P12

^  (

X_CM−x_P12

)

²⁺

(

^YCM−yP12

)

²





=1064.91 kN m s²

=

J_{s_S1} m_S1

^  (

X_CM−x_S1

)

²⁺

(

^{YCM −yS1}

)

²





=3235.36 kN m s²

=

J_{s_S2} m_S2

^  (

X_CM−x_S2

)

²⁺

(

^{YCM −yS2}

)

²





=2599.14 kN m s²

=

Momento polare complessivo:

J_s = J_{s_P1}+J_{s_P2}+J_{s_P3}+J_{s_P4}+J_{s_P5}+J_{s_P6}+J_{s_P7}+J_{s_P8}+J_{s_P9}+J_{s_P10} +J_{s_P11}+ J_{s_P12} +J_{s_S1}+J_{s_S2}=22610.19 kN m s²

Calcolo del raggio polare delle masse:

I_s

J_s

M_tot =8.004 m

=

VALUTAZIONE DELLA REGOLARITA' DELLA STRUTTURA E DELLA BONTA' DELLA DISPOSIZIONE DEGLI ELEMENTI DI CONTROVENTO:

Calcolo delle eccentricità tra centro di massa e centro di rigidezza:

e_0x = X_CM−X_CR =0.25 m

e_0y = Y_CM−Y_CR =4.53 m

Eccentricità complessiva considerando il 5% di eccentricità accidentale:

Lunghezza del solaio: L_slab = 20 m Larghezza del solaio: B_slab = 15 m

e_x = e_0x+0.05 L_slab=1.25 m

e_y = e_0y + 0.05 B_slab=5.28 m

Verifica di regolarità in pianta:

Regolarità "SI"

e_x r_x

≤0.30 e_y r_y

≤0.30

∧ if

"NO" otherwise

"NO"

=

=

Verifica di deformabilità torsionale:

ρ_x ^rx I_s

=1.05

=

ρ_y ^ry I_s

=0.49

=

Deformabilità_torsionale "SI" r_x I_s

<0.8 r_y I_s

<0.8

∨ if

"NO" otherwise

"SI"

=

=

Conclusioni

La forma "schiacciata" dell'ellisse delle rigidezze dimostra che la struttura è molto resistente in direzione X, meno in direzione Y. Oltre a risultare "deformabile torsionalmente", la disposizione in pianta degli elementi controventanti non è certo ottimale infatti le notevoli eccentricità tra CM e CR provocheranno

indubbiamente momenti torcenti di notevole entità.