Prova Scritta di Probabilit`a e Statistica - 19.06.2017

Universit`a degli Studi di Brescia

Prova Scritta di Probabilit` a e Statistica - 19.06.2017

Cognome e Nome . . . . C. d. L.: . . . . Anno di Corso: 1 2 3 altro

Matricola . . . Firma . . . FILA 1

Istruzioni

1. SCRIVERE cognome e nome (in stampatello), numero di matricola e firmare.

2. SCRIVERE la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.

3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla fine di ogni quesito.

4. PROIBITO usare libri, quaderni, telefoni cellulari.

5. CONSEGNARE questi fogli e tutti i fogli di protocollo.

6. TEMPO a disposizione: 120 min.

7. AMMISSIONE alla prova orale con PUNTI 18.

Quesito C1 C2 C3 C4 C5 C6 QT1 QT2 TOT

Punti

(C1) Un macchinario effettua un controllo di qualit` a su barre metalliche: esse vengono accettate se la lunghezza della barra `e compresa tra 1.74 cm e 1.86 cm. Supposto che la lunghezza delle barre sia distribuita normalmente con media µ = 1.8 cm e varianza σ ² = 0.16 cm, calcolare la probabilit` a che una barra venga scartata.

[punti 4]

C1

(C2) Il numero di chiamate ad un centralino, tra le 10 e le 11, `e una variabile casuale di Poisson di parametro λ. Sapendo che il numero medio di chiamate nell’ora considerata `e pari a 4, calcolare la probabilit` a che arrivino meno di 3 telefonate.

[punti 4]

C2

(C3) Da un lotto contenente 4 pezzi difettosi e 8 buoni si estraggono in blocco 3 pezzi. Calcolare la probabilit` a che al massimo uno dei pezzi estratti sia difettoso, supposto che al massimo due dei pezzi estratti siano difettosi.

[punti 4]

C3

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(C4) La durata di un dispositivo `e una variabile casuale X con funzione di densit` a:

f X (x) =

( 4xe ^{−2 x}

se x > 0,

0 altrimenti .

Calcolare la probabilit` a P [X > 2|X > 1].

[punti 4]

C4

(C5) Lanciando 10 volte un dado non truccato, calcolare la probabilit` a che appaia 1 per tre volte, 2 per tre volte e 3 per quattro volte.

[punti 4]

C5

(C6) Il contenuto di acido solforico (in litri) di sette contenitori uguali `e il seguente:

9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2, 9.6 .

Calcolare la lunghezza dell’intervallo di confidenza bilaterale al 95% per il contenuto medio di questo tipo di contenitori.

[punti 4]

C6

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Quesito Teorico 1

Siano X ed Y = −X + 1 due variabili casuali. Dimostrare che:

cov[X, Y ] = − var[X] . [punti 4]

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Quesito Teorico 2

Dati due eventi A e B tali che P [A] = 1/2, P [A|B] = 1/5, P [B|A] = 1/4, stabilire se la seguente affermazione `e vera o falsa, giustificando la risposta:

P [A ∪ B] = 1 [punti 4]

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