Prova Scritta di Probabilit`a e Statistica - 26.03.2018

Universit`a degli Studi di Brescia

Prova Scritta di Probabilit` a e Statistica - 26.03.2018

Cognome e Nome . . . . C. d. L.: . . . . Anno di Corso: 1 2 3 altro

Matricola . . . Firma . . . FILA 1

Istruzioni

1. SCRIVERE cognome e nome (in stampatello), numero di matricola e firmare.

2. SCRIVERE la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.

3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla fine di ogni quesito.

4. PROIBITO usare libri, quaderni, telefoni cellulari.

5. CONSEGNARE questi fogli e tutti i fogli di protocollo.

6. TEMPO a disposizione: 120 min.

7. AMMISSIONE alla prova orale con PUNTI 18.

Quesito C1 C2 C3 C4 C5 C6 QT1 QT2 TOT

Punti

(C1) Sia X una variabile casuale distribuita normalmente con media µ e varianza 4. Calcolare µ affinch`e P[X > 3.6] = 0.0778.

[punti 4]

C1

(C2) La probabilit` a di vincere in una determinata lotteria settimanale `e p = 0.0002. Supponendo di giocare tutte le settimane, calcolare la probabilit` a di vincere almeno due volte in 20 anni (utilizzare un’opportuna approssimazione).

[punti 4]

C2

(C3) Sia X una variabile casuale continua con funzione di ripartizione

F X (x) =



 

 

0 x ≤ 1,

ln x 1 < x ≤ e, 1 x > e.

Calcolare la probabilit` a condizionata P [X > √

e | − 1 < X < e ³ ].

[punti 4]

C3

Probabilit` a e Statistica - 26.03.2018 - FILA 1

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(C4) Supponendo che la temperatura giornaliera nel mese di aprile sia una variabile casuale uniformemente distribuita sull’intervallo [15 ^◦ C, 20 ^◦ C], calcolare la probabilit` a che in una settimana la temperatura superi i 18 ^◦ C in 4 giorni su 7.

[punti 4]

C4

(C5) Sia (X, Y ) una coppia di variabili casuali discrete con la seguente funzione densit` a di probabilit` a congiunta X = 0 X = 1 X = 3

Y = −1 p

2 0 1

2

Y = 1 p

4

1

4 0

Calcolare il coefficiente di correlazione ρ[5X, 3Y ].

[punti 4]

C5

(C6) Sia X 1 , ..., X n un campione casuale di ampiezza n, estratto da una popolazione con funzione densit` a di probabilit` a

f X (x, θ) =



 

  3

θ e ^{−3(x−2)/θ} se x > 2,

0 altrove,

con θ ∈ R ⁺ .

Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza T di θ.

[punti 4]

C6

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Cognome e Nome . . . . C. d. L.: . . . . Anno di Corso: 1 2 3 altro Matricola . . . Firma . . . FILA 1

Quesito Teorico 1

Date due variabili casuali X ed Y = X + 2, dimostrare che il coefficiente di correlazione:

ρ

= 1.

[punti 4]

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Quesito Teorico 2

Siano A, B, C tre eventi tali che A sia indipendente da B e da C, B e C siano incompatibili. Dimostrare che

P [A|B ∪ C] = P [A].

[punti 4]

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