Prova Scritta di Probabilit`a e Statistica - 10.07.2017

Universit` a degli Studi di Brescia

Prova Scritta di Probabilit` a e Statistica - 10.07.2017

Cognome e Nome . . . . C. d. L.: . . . . Anno di Corso: 1 2 3 altro

Matricola . . . Firma . . . FILA 1

Istruzioni

1. SCRIVERE cognome e nome (in stampatello), numero di matricola e firmare.

2. SCRIVERE la risposta nello spazio lasciato dopo ogni quesito; in caso di correzione, barrare la risposta errata e scrivere accanto la nuova risposta.

3. I PUNTEGGI attribuiti per la risposta esatta sono indicati alla fine di ogni quesito.

4. PROIBITO usare libri, quaderni, telefoni cellulari.

5. CONSEGNARE questi fogli e tutti i fogli di protocollo.

6. TEMPO a disposizione: 120 min.

7. AMMISSIONE alla prova orale con PUNTI 18.

Quesito C1 C2 C3 C4 C5 C6 QT1 QT2 TOT

Punti

(C1) Sia X una variabile casuale distribuita normalmente, con media µ

= 1 e varianza σ

² = 4.

Posto Y = aX + b, (a > 0), calcolare la probabilit` a:

P [|Y − a − b| < 4a]

[punti 4]

C1

(C2) Una macchina produce componenti, ognuno dei quali, indipendentemente dagli altri, risulta non difettoso con probabilit` a 9

10 . Se X indica il numero di pezzi da produrre fino ad ottenere 1 pezzo difettoso, calcolare la probabilit` a P [X = 3].

[punti 4]

C2

(C3) Siano dati due lotti L ₁ , contenente 1 pezzo difettoso e 4 pezzi non difettosi ed L ₂ , contenente 1 pezzo non difettoso e 4 pezzi difettosi. Scelto a caso uno dei due lotti ed estratto un pezzo, calcolare la probabilit` a che sia stato scelto il lotto L ₂ , supposto che il pezzo estratto sia non difettoso.

[punti 4]

C3

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(C4) Una variabile casuale continua X ha funzione di ripartizione:

F _X (x) =

( 1 − e ^−2x se x > 0,

0 altrimenti .

Posto Y = 3X + 1, calcolare il valore atteso E[Y ].

[punti 4]

C4

(C5) Sia (X, Y ) una coppia di variabili casuali discrete con la seguente funzione di densit` a di probabilit` a congiunta:

X = −1 X=0 X=1

Y = −1 1/5 0 1/5

Y = 0 0 b 0

Y = 1 1/5 0 1/5

Determinare la covarianza cov[X, Y ].

[punti 4]

C5

(C6) I pesi, in decagrammi, di 10 confezioni di semi di erba sono:

46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2, 46.0 .

Trovare un’intervallo di confidenza bilaterale al 95% per la varianza dei pesi di tutte le confezioni.

[punti 4]

C6

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Cognome e Nome . . . . C. d. L.: . . . . Anno di Corso: 1 2 3 altro Matricola . . . Firma . . . FILA 1

Quesito Teorico 1

Date due variabili casuali X, Y , identicamente distribuite, si ponga U = 2X + Y e V = 2X − Y . Dimostrare che:

cov[U, V ] = 3 var[X] . [punti 4]

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Quesito Teorico 2

Il numero di clienti uomini che si presentano ad uno sportello in un fissato giorno ` e una variabile casuale Y di Poisson di parametro 20. Il numero di clienti donne che si presentano allo stesso sportello nello stesso giorno ` e una variabile casuale X di Poisson di parametro 30. Supponendo X, Y indipendenti, calcolare la distribuzione di probabilit` a del numero totale di clienti che si presentano allo sportello nello stesso giorno.

[punti 4]

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