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LAMINE DI RITARDO
Si è detto che, a causa dell'esistenza di una direzione preferenziale nei cristalli uniassici, si possono definire due indici di rifrazione diversi 𝑛𝑜 e 𝑛𝑠 . A seconda dell'angolo formato dal vettore d'onda k e dall'asse ottico del cristallo, le due componenti di polarizzazione possono risentire o meno di questa distinzione tra gli indici. Se la configurazione presa in esame prevede diversità tra gli incidi per le due componenti, si avranno due diverse propagazioni dell'onda all'interno del cristallo a causa del legame tra indice di rifrazione e velocità di fase (che coincide con la velocità di propagazione dell'onda nel caso di monocromaticità). Le due diverse velocità (in modulo e in direzione) portano al fenomeno della birifrangenza, ovvero all'esistenza di due raggi distinti all'uscita del cristallo. Inoltre il cammino ottico dell'onda è dato dal prodotto dell'indice di rifrazione con il cammino geometrico compiuto. Se si sceglie una configurazione per cui
l'incidenza dell'onda è normale alla superficie del cristallo e l'asse ottico è parallelo alla superficie stessa, si ha che k è perpendicolare all' a.o. con la conseguenza che una delle due componenti di polarizzazione vibrerà parallelamente all'asse ottico, l'altra ortogonalmente. Quindi la prima risentirà di 𝑛𝑠, la seconda di 𝑛𝑜. Inoltre poiché l'asse ottico è parallelo alla superficie del cristallo, si eliminerà il fenomeno della birifrangenza, ovvero i due raggi avranno la stessa direzione pur
avendo velocità differenti in modulo. Quindi in questa configurazione, il cammino geometrico è lo stesso per entrambi i raggi e coincide con lo spessore d nella lamina, mentre il cammino ottico sarà per l'onda straordinaria pari a 𝑛𝑠𝑑 e per l'onda ordinaria sarà pari a 𝑛𝑜𝑑. Questo implica che le due componenti in uscita dalla lamina avranno un ritardo relativo pari a ∆𝜑 =2𝜋𝜆
0(𝑛𝑠− 𝑛0)𝑑. In generale, in ambito sperimentale, ci si riferisce all'asse veloce del sistema, ovvero a quella
direzione in cui la propagazione dell'onda avviene con velocità maggiore. L'asse veloce quindi coinciderà con l'asse ottico nel caso di cristalli uniassici negativi mentre nel caso di quelli positivi l'asse ottico coinciderà con l'asse lento. Se si considera come direzione di propagazione di k l'asse z, il piano di polarizzazione sarà xy e conterrà l'asse ottico. Supponiamo che l'asse veloce coincida con l'asse x e che il vettore di polarizzazione formi con esso un angolo 𝜃 . Supponiamo di avere in ingresso un'onda monocromatica coerente, il che implica che 𝐸0𝑥, 𝐸0𝑦, 𝛿𝑥, 𝛿𝑦 siano tutte costanti.
Risulta:
{𝐸𝑥= 𝐸0𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝛿𝑥) 𝐸𝑦 = 𝐸0𝑦cos(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 + 𝛿𝑦)}
La differenza 𝛿 = 𝛿𝑦− 𝛿𝑥 determina la relazione di fase tra le due componenti e quindi la polarizzazione iniziale dell'onda. In particolare per 𝛿 generico, si avrà polarizzazione ellittica con assi ruotati rispetto agli assi coordinati. Per 𝛿 = 𝜋
2,3𝜋
2 si avrà polarizzazione ellittica con assi coincidenti con gli assi coordinati. Se in aggiunta 𝐸𝐸0𝑥
0𝑦 = ±1 si avrà polarizzazione circolare antioraria o oraria. Se 𝛿 = 𝑚𝜋 , m intero, si avrà polarizzazione lineare. Se m è pari il vettore
A cura di Sara Codella
2 polarizzazione starà nel 1° e 3° quadrante, se è dispari starà nel 2° e 4°. Il valore di 𝜃 determinerà il tipo di polarizzazione lineare, orizzontale (H) se 𝜃 = 0, verticale (V) se 𝜃 =𝜋
2 , (H±V ) se 𝜃 = ±𝜋
4. Dopo aver attraversato il cristallo, la relazione di fase sarà 𝛿′= 𝛿 + ∆𝜑. Così questi materiali giocano il ruolo di ritardatori di fase e prendono il nome di lamine di ritardo. A seconda dello spessore d della lamina si potrà avere un ritardo piuttosto che un altro. Quando lo spessore d è proporzionale a 𝜆40 si parla di lamine a quarto d'onda e in questo caso il ritardo relativo è pari a
(2𝑚+1)𝜋
2 . Quando d è proporzionale a 𝜆0
2 si parla di lamine a mezz'onda e il ritardo relativo è pari a (2m+1)𝜋 . In entrambi i casi m è intero.
Poiché l'orientazione dell'asse della lamina rispetto al vettore di polarizzazione è determinante per comprendere il ritardo, è opportuno dare un'espressione generale per i ritardatori di fase valida per qualsiasi ritardo e per qualsiasi angolo di orientazione. Infatti a seconda dell'angolo e a seconda della polarizzazione di partenza si avranno in uscita polarizzazioni differenti. Risulta:
𝑇𝛿,𝜃= (𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑒𝑖𝛿𝑠𝑖𝑛2𝜃 (1 − 𝑒𝑖𝛿)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 (1 − 𝑒𝑖𝛿)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑒𝑖𝛿𝑐𝑜𝑠2𝜃)
Questa scrittura non è valida per ogni elemento ottico. Racchiude quelli che non modificano l'intensità dell'onda incidente. Quindi è corretta per le lamine di ritardo ma non per i polarizzatori lineari. Infatti la funzione delle lamine di ritardo è di ruotare il vettore polarizzazione mentre i polarizzatori lineari proiettano tale vettore sulla direzione dell'asse permissivo. Di conseguenza non alterano l'intensità dell'onda incidente solo nel caso particolare in cui la polarizzazione iniziale è lineare e diretta lungo l'asse permissivo. In tutti gli altri casi, si perde una frazione dell'intensità di partenza.
Per la lamina a quarto d'onda con orientazione generica si ha:
𝑇𝜋
2,𝜃= (𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛2𝜃 (1 − 𝑖)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 (1 − 𝑖)𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑖𝑐𝑜𝑠2𝜃) Per la lamina a mezz'onda con orientazione generica si ha:
𝑇𝜋,𝜃 = (𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝜃 −𝑐𝑜𝑠2𝜃) Come casi particolari si hanno:
𝜃 = 0 (asse veloce orizzontale):
𝑇𝜋
2,𝐻 = (1 0 0 𝑖) 𝑇𝜋,𝐻 = (1 0
0 −1)
𝜃 =𝜋
2 (asse veloce verticale):
3 𝑇𝜋
2,𝑉 = (𝑖 0 0 1) 𝑇𝜋,𝑉 = (−1 0
0 1)
𝜗 =𝜋
4 (asse veloce H+V):
𝑇𝜋
2,𝐻+𝑉 =1
2(1 + 𝑖 1 − 𝑖 1 − 𝑖 1 + 𝑖) 𝑇𝜋,𝐻+𝑉 = (0 1
1 0)
Il motivo per cui si usa una scrittura matriciale sta nel fatto che spesso vengono usati più elementi ottici in serie e questa procedura sperimentale si traduce matematicamente nel prodotto con ordine tra matrici, ognuna caratterizzante un elemento ottico distinto. Per prima va messa la matrice corrispondente all'ultimo elemento ottico. L'ultima matrice, che corrisponde quindi al primo elemento ottico della serie, va a moltiplicare il vettore colonna che rappresenta lo stato di polarizzazione iniziale.
1. Studio della lamina a quarto d'onda per i diversi stati di polarizzazione a. 𝜃 = 0
(1 0 0 𝑖) ∙ (1
0)= (1 0)
(1 0 0 𝑖) ∙ (0
1)=(0
𝑖) = 𝑖 (0 1)
Si ha quindi che quando lo stato di polarizzazione è parallelo o perpendicolare all'asse veloce, la lamina non modifica tale stato. Ciò dipende dal fatto che per queste due configurazioni il vettore polarizzazione risente globalmente dello stesso indice di rifrazione che varrà o 𝑛𝑓𝑎𝑠𝑡 o 𝑛𝑠𝑙𝑜𝑤 a seconda che sia parallelo all'asse veloce o ortogonale ad esso. Tali valori corrisponderanno a 𝑛𝑠 o a 𝑛𝑜 a seconda che l'asse veloce coincida con l'asse ottico o meno. Al massimo quindi si otterrà un termine aggiuntivo globale di fase (come si vede nel secondo prodotto) che non conta né per quanto riguarda la polarizzazione (essendo aggiuntivo ad entrambe le componenti) né per quanto riguarda l'intensità (essa è proporzionale al valor medio del modulo quadro del campo
elettrico,pertanto se davanti al vettore si ha un numero puramente immaginario il modulo del numero complesso corrispondente è sempre pari a 1).
1
√2(1 0 0 𝑖) ∙ (1
1) = 1
√2(1 𝑖)
4 Quindi una lamina a quarto d'onda, aggiungendo un termine di fase pari a 𝜋
2 alla componente y del campo elettrico (𝐸𝑦′ = 𝐸𝑦∙ 𝑒𝑖𝜋2 = 𝑖 ∙ 𝐸𝑦), trasforma una polarizzazione lineare a 45° in una
circolare antioraria.
1
√2(1 0
0 𝑖) ∙ (1
−1) = 1
√2(1
−𝑖)
Così una polarizzazione a -45° viene trasformata in una circolare oraria.
1
√2(1 0 0 𝑖) ∙ (1
𝑖) = 1
√2(1
−1)
Una polarizzazione circolare antioraria dopo che la componente y del campo elettrico ha acquistato un ritardo di 𝜋
2,diventa una polarizzazione a lineare a -45° . Infatti 𝐸𝑦 = 𝐸𝑥∙ 𝑒𝑖𝜋2 .Dopo aver attraversato la lamina si ha 𝐸𝑦′ = 𝐸𝑦∙ 𝑒𝑖𝜋2 = 𝐸𝑥∙ 𝑒𝑖𝜋2 ∙ 𝑒𝑖𝜋2 = 𝐸𝑥∙ 𝑒𝑖𝜋 = −𝐸𝑥 .
1
√2(1 0
0 𝑖) ∙ (1
−𝑖) = 1
√2(1 1)
Una polarizzazione circolare oraria dopo aver attraversato la lamina diventa lineare a +45°.
𝐸𝑦′ = 𝐸𝑦∙ 𝑒−𝑖𝜋2 = 𝐸𝑥∙ 𝑒−𝑖𝜋2∙ 𝑒𝑖𝜋2 = 𝐸𝑥∙ 𝑒0 = 𝐸𝑥 .
b. 𝜗 =𝜋2
(𝑖 0 0 1) ∙ (1
0) = (𝑖
0) = 𝑖 (1 0)
Come detto prima, se l'asse veloce è parallelo o ortogonale (come in questo caso) al vettore di polarizzazione, la lamina di ritardo non modifica lo stato di polarizzazione (la fase aggiuntiva è globale). Poiché in questo caso l'asse veloce è parallelo all'asse y, è proprio lo stato di
polarizzazione H che acquista una fase globale pari ad 𝑖 analogamente al caso precedente in cui, essendo l'asse veloce parallelo all'asse x, era la polarizzazione V che acquistava una fase globale pari ad 𝑖 .
(𝑖 0 0 1) ∙ (0
1) = (0
1) = (0 1)
1
√2(𝑖 0 0 1) ∙ (1
1) = (𝑖
1) = 𝑖 (1
1 𝑖
) = 𝑖 (1
−𝑖)
Se l'asse veloce è parallelo all'asse y, è la componente x del campo elettrico che acquista un termine di fase pari a 𝑖 , di conseguenza si ottiene una polarizzazione circolare destra.
5 1
√2(𝑖 0
0 1) ∙ (1
−1) = (𝑖
−1) = 𝑖 (1
−1
𝑖
) = 𝑖 (1 𝑖) Circolare sinistra.
1
√2(𝑖 0 0 1) ∙ (1
𝑖) = 1
√2(𝑖 𝑖) = 1
√2𝑖 (1 1) = 1
√2𝑖 (1 1) 1
√2(𝑖 0 0 1) ∙ (1
−𝑖) = 1
√2(𝑖
−𝑖) = 1
√2𝑖 (1
−1) = 1
√2𝑖 (1
−1)
Da una polarizzazione circolare antioraria si arriva ad una lineare a +45°. Mentre da polarizzazione circolare oraria si ottiene una polarizzazione lineare a -45° . Scegliendo quindi come asse veloce quello verticale, partendo dalla stessa polarizzazione circolare si ottiene la polarizzazione lineare ortogonale a quella che si otterrebbe scegliendo come asse veloce quello orizzontale. Infatti nel caso a. si aveva polarizzazione lineare a +45° se la polarizzazione in ingresso era circolare oraria, mentre in questo caso si ottiene con in ingresso una polarizzazione circolare antioraria. Viceversa si aveva polarizzazione lineare a -45° se la polarizzazione in ingresso era circolare antioraria, mentre in questo caso si ottiene con in ingresso una polarizzazione circolare oraria.
c. 𝜃 =𝜋
4
1
2(1 + 𝑖 1 − 𝑖 1 − 𝑖 1 + 𝑖) ∙ (1
0) =1 2(1 + 𝑖
1 − 𝑖) = 1
2(1 + 𝑖) ( 1
1−𝑖 1+𝑖
) =1
2(1 + 𝑖) ( 1
1−1−2𝑖 2
) =1
2(1 + 𝑖) (1
−𝑖) Se si fa incidere un'onda polarizzata H su una lamina a quarto d'onda con asse veloce a 45° si ottiene una polarizzazione circolare oraria. Questo comportamento dipende dal fatto che per la polarizzazione finale, come già detto, conta l'angolo compreso tra il vettore polarizzazione e l'asse veloce calcolato a partire dall'asse veloce. Quindi se l'asse veloce è H si avrà in uscita
polarizzazione circolare sinistra se la polarizzazione iniziale è lineare a +45°, si avrà polarizzazione circolare destra se la polarizzazione iniziale è a -45°. Pertanto questa configurazione è equivalente a quella trattata nel punto a. dove si aveva in partenza una polarizzazione lineare a -45° e una lamina a quarto d'onda con asse veloce H, in quanto in questo caso la polarizzazione lineare iniziale H si trova a -45° rispetto all'asse veloce.
1
2(1 + 𝑖 1 − 𝑖 1 − 𝑖 1 + 𝑖) ∙ (0
1) =1 2(1 − 𝑖
1 + 𝑖) =1
2(1 − 𝑖) (1
1+𝑖 1−𝑖
) =1
2(1 + 𝑖) ( 1
1−1+2𝑖 2
) =1
2(1 + 𝑖) (1 𝑖)
6 Vale un discorso analogo al caso precedente, chiaramente in questo caso la polarizzazione iniziale, essendo V si trova a +45° rispetto all'asse veloce e quindi la configurazione è analoga al caso del punto a. con in ingresso polarizzazione iniziale lineare a +45°.
1
2√2(1 + 𝑖 1 − 𝑖 1 − 𝑖 1 + 𝑖) ∙ (1
1) = 1
2√2(1 + 𝑖 + 1 − 𝑖
1 − 𝑖 + 1 + 𝑖) = 1 2√2(2
2) = 2 2√2(1
1) = 1
√2(1 1) In questo caso l'asse veloce è parallelo al vettore di polarizzazione iniziale e quindi in uscita necessariamente si deve avere la stessa polarizzazione. Analogamente si ha per polarizzazione iniziale lineare a -45°, essendo l'asse veloce ortogonale ad essa.
1
2√2(1 + 𝑖 1 − 𝑖
1 − 𝑖 1 + 𝑖) ∙ (1
−1) = 1
2√2(1 + 𝑖 − 1 + 𝑖
1 − 𝑖 − 1 − 𝑖) = 1 2√2(2𝑖
−2𝑖) = 2𝑖 2√2(1
−1) = 𝑖
√2(1
−1) Se in ingresso si ha polarizzazione circolare antioraria o oraria risulta:
1
2√2(1 + 𝑖 1 − 𝑖 1 − 𝑖 1 + 𝑖) ∙ (1
𝑖) = 1
2√2(1 + 𝑖 + 𝑖 + 1
1 − 𝑖 + 𝑖 − 1) = 1
2√2(2 + 2𝑖
0 ) =2(𝑖 + 1) 2√2 (1
0) =(𝑖 + 1)
√2 (1 0) 1
2√2(1 + 𝑖 1 − 𝑖
1 − 𝑖 1 + 𝑖) ∙ (1
−𝑖) = 1
2√2(1 + 𝑖 − 𝑖 − 1
1 − 𝑖 − 𝑖 + 1) = 1
2√2( 0
2 − 2𝑖) =2(1 − 𝑖) 2√2 (0
1) =(1 − 𝑖)
√2 (0 1) In uscita si ha un'onda polarizzata H se in ingresso si aveva un'onda polarizzata circolarmente antioraria oppure un'onda polarizzata V se in ingresso si aveva un'onda polarizzata circolarmente oraria. Il termine di fase (𝑖 ± 1) corrisponde a 𝑒±𝜋4 .
2. Studio della lamina a mezz'onda per diversi tipi di polarizzazione
a. 𝜃 = 0
(1 0 0 −1) ∙ (1
0) = (1 0)
(1 0 0 −1) ∙ (0
1) = (0
−1) = −1 (0 1)
1
√2(1 0 0 −1) ∙ (1
1) = 1
√2(1
−1) = 1
√2(1
−1)
7 La lamina a mezz'onda ha come effetto quello di ribaltare la polarizzazione lineare di un angolo pari a 2𝛼 rispetto all'asse veloce se 𝛼 è l'angolo formato tra il vettore di polarizzazione e l'asse veloce.Nel caso di polarizzazione H 𝛼 = 0 , il ribaltamento è di 2𝛼 = 0 , la polarizzazione resta inalterata. Nel caso di polarizzazione V 𝛼 =𝜋2 , il ribaltamento è di 2𝛼 = 𝜋 ,la polarizzazione rimane la stessa ma con verso opposto. Nel caso di polarizzazione H+V 𝛼 =𝜋4 , il ribaltamento è di 2𝛼 =𝜋
2 ,pertanto si ottiene la polarizzazione ortogonale a quella di partenza ovvero lineare a -45°.
Quindi ancora una volta si ritrova il risultato per cui se la polarizzazione in ingresso è parallela o ortogonale all'asse veloce della lamina, rimane la stessa anche in uscita.
1
√2(1 0 0 −1) ∙ (1
𝑖) = 1
√2(1
−𝑖) = 1
√2(1
−𝑖) 1
√2(1 0
0 −1) ∙ (1
−𝑖) = 1
√2(1 𝑖) = 1
√2(1 𝑖)
Le polarizzazioni circolari non hanno un asse preferenziale pertanto non possono subire un ribaltamento come le polarizzazioni lineari. Ciò che avviene è che la lamina determina un
cambiamento di verso, quindi da circolare antioraria si passa a circolare oraria e viceversa. Questo risultato è valido per qualsiasi orientamento dell'asse veloce, infatti risulta:
1
√2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝜃 −𝑐𝑜𝑠2𝜃) ∙ (1
𝑖) = 1
√2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝜃 − 𝑖𝑐𝑜𝑠2𝜃) = 1
√2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛2𝜃) (1
1 𝑖
)
= 1
√2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛2𝜃) (1
−𝑖) 1
√2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝜃
𝑠𝑖𝑛2𝜃 −𝑐𝑜𝑠2𝜃) ∙ (1
−𝑖) = 1
√2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑖𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑖𝑐𝑜𝑠2𝜃) = 1
√2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑖𝑠𝑖𝑛2𝜃) (1
1
−𝑖
)
= 1
√2(𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑖𝑠𝑖𝑛2𝜃) (1 𝑖)
b. 𝜃 =𝜋
2
(−1 0 0 1) ∙ (1
0) = (−1
0) = −1 (1 0) (−1 0
0 1) ∙ (0
1) = (0 1) 1
√2(−1 0 0 1) ∙ (1
1) = (−1
1) 1
√2(−1 0 0 1) ∙ (1
𝑖) = (−1
𝑖) = −1 (1
−𝑖) 1
√2(−1 0
0 1) ∙ (1
−𝑖) = (−1
−𝑖) = −1 (1 𝑖)
8 Si ottengono quindi i medesimi risultati del caso precedente.
c. 𝜃 =𝜋
4
(0 1 1 0) ∙ (1
0) = (0 1) (0 1
1 0) ∙ (0
1) = (1 0) 1
√2(0 1 1 0) ∙ (1
1) = 1
√2(1 1) 1
√2(0 1
1 0) ∙ (1
−1) = 1
√2(−1
1) In questo caso il ribaltamento è pari a 𝜋
2 quindi la polarizzazione H diventa polarizzazione V e viceversa. La polarizzazione a ±45° rimane inalterata essendo parallela (o ortogonale) all'asse veloce. Le polarizzazione circolari cambiano verso come mostrato prima per ogni angolo di orientazione dell'asse veloce.
NOTA: Il ribaltamento che la lamina a mezz'onda esercita sulle polarizzazioni lineari è sempre di due volte l'angolo formato con il vettore di polarizzazione quindi per un orientazione generica 𝜃 della lamina rispetto all'orizzontale, si avrà che la polarizzazione lineare H verrà ribaltata di 2𝜃 , la polarizzazione V verrà ribaltata di 2(𝜋
2− 𝜃). Il caso della polarizzazione V equivale quindi ad un ribaltamento di 2𝜃 rispetto all'asse lento.
NOTA: Tutto lo studio delle lamine di ritardo ha come punto di partenza il fatto che l'onda in ingresso sia polarizzata. Questo tipo di scrittura matriciale vede espresso il campo elettrico come vettore colonna, ovvero ci si è serviti del formalismo di Jones. Se l'onda in questione non risulta polarizzata, è necessario servirsi di altri tipi di formalismi. Poiché l'effetto delle lamine di ritardo è quello di ruotare il vettore polarizzazione e non di "creare" una polarizzazione, nel loro studio è implicito servirsi di onde polarizzate. Se in ingresso della lamina arriva un'onda non polarizzata, non succede nulla. Non a caso vengono chiamate lamine di ritardo, ovvero introducono un ritardo aggiuntivo tra le componenti. Se l'onda non è polarizzata 𝛿 = 𝛿(𝑡) , quindi se si aggiunge un qualsiasi valore 𝛿′ dipendente dal tipo di lamina considerata, la fase finale risulta essere 𝛿𝑓𝑖𝑛= 𝛿(𝑡) + 𝛿′= 𝛿𝑓𝑖𝑛(𝑡) pertanto non polarizzata. Il polarizzatore lineare invece, blocca
durante il passaggio dell'onda, la componente ortogonale al suo asse permissivo quindi determina sempre una polarizzazione lineare indipendentemente dal tipo di onda in ingresso. In particolare un' onda non polarizzata diventa polarizzata linearmente.
