CALCOLO DIFF. e INT./A

CALCOLO DIFF. e INT./A

cognome e nome firma appello del 12 settembre 2006

1.

Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy (y⁰(x) = y(x) log x , x > 0 ;

y(1) = 1 .

2.

Determinare le soluzioni complesse dell’equazione z²− 2z + 4 = 0 e scriverle in forma trigono- metrica.

3.

Studiare la natura dei punti critici della funzione f :R² →R definita da f (x, y) = x³

3 + x²y 2 − x²

2 − xy .

4.

Calcolare

x→0lim

log(1 + x³) sin x 1 − cos x² .

5.

Dopo averne stabilito l’esistenza dal punto di vista teorico, determinare i punti di massimo e mininimo assoluti della funzione

f (x) = x sin x + cos x − x² 4 nell’intervallo [−π, π] .

6.

Stabilire, giustificando la risposta, quale delle seguenti funzioni ha una discontinuit`a eliminabile in x = 1 :

A) f (x) =

½sin(|x| − 1) se x 6= 1

|x| − 1 se x = 1 B) f (x) =

½sin |x − 1| se x ≤ 1

|x − 1| se x > 1

C) f (x) =

½sin(|x| − 1) se x < 1

sin |x| se x ≥ 1 D) f (x) =

½sin |x| se x 6= 1

|x − 1| se x = 1

Tempo:

3 ore