CALCOLO DIFF. e INT./A

(1)

cognome e nome firma

appello del 12 settembre 2005

Calcolare

n→+∞lim

µn + 2 n

¶ⁿ⁴⁺¹

n3+5 .

Determinare la soluzione y(x) del seguente problema di Cauchy:







y⁰(x) = (x cos x)y²(x) ,

y(0) = 1 .

Calcolare

(x,y)→(0,0)lim

x²(e^x²^+y²− 1) p(x²+ y²)³ .

Sia f :R→R definita da

f (x) = cos 2x +√ 3x .

Determinare massimo e minimo assoluti di f nell’intervallo [0, π] .

Si consideri, al variare del parametro reale α , il seguente integrale improprio Z _+∞

0

1 − e^−x

|x − α|^3/2 dx . 1. Stabilire se tale integrale esiste finito per α = −1 .

2. Stabilire se tale integrale esiste finito per α = 0 . 3. Stabilire se tale integrale esiste finito per α > 0 .

Sia f :R→R una funzione continua assegnata e si consideri la funzione integrale

F (x) = Z _x

0

t³f (t) dt .

Fornire una condizione sufficiente sulla funzione f , affinch´e F sia strettamente decrescente.

Tempo:

3 ore