Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 3 Paolo Maestro 1
1) Se l’energia nucleare dei nuclei speculari 41Sc e 41Ca, sono rispettivamente 343.143 MeV e 350.420 MeV, stimare il raggio dei due nuclei usando la formula semiempirica di massa [ZSc=21 ZCa=20].
2) L’idrogeno naturale è una miscela di due isotopi stabili, idrogeno e deuterio. Il nucleo di deuterio ha energia di legame 2.23 MeV. La massa atomica dell’idrogeno naturale è 940.19 MeV/c2. Calcolare l’abbondanza relativa dei due isotopi nell’idrogeno naturale. [mp=938.27 MeV/c2 , mn=939.56 MeV/c2]
3) Trovare le configurazioni di protoni e neutroni nello shell model e determinare gli spin (momento angolare totale) e la parità dello stato fondamentale J0 e dei primi eccitati (J1 J2) dei seguenti nuclei
Utilizzare la successione dei livelli energetici derivante da interazione spin-orbita.
4) Lo spin dei nuclei dispari-dispari è dato dalla somma dei momenti angolari di due nucleoni spaiati.
Quali valori JP sono possibili per
5) Calcolare l’energia di legame dei nuclei isobari con A=27
Determinare qual è il nucleo più stabile ed indicare quali sono i contributi all’energia di legame che rendono gli altri meno stabili. [aV=15.7 aS=17.2 aC=0.71 aA= 93.2]
6) Indicare sulla base del modello a shell, gli stati degli isotopi 11C, 12C, 13C, 14C. Calcolare lo spin del nucleo, la parità, il momento di dipolo magnetico.
7) Calcolare il momento magnetico del nucleo di deuterio 2H.
3
7Li 1123Na 1633S 2141Sc 3683Kr 9341Nb
3
6Li 1940K
12
27Mg 1327Al 1427Si
Esercizi su masse e modelli nucleari
Esercizio 1
Se l’energia nucleare dei nuclei speculari 41Sc e 41Ca, sono rispettivamente 343.143 MeV e 350.420 MeV, stimare il raggio dei due nuclei usando la formula semiempirica di massa [ZSc=21 ZCa=20]
Soluzione
La differenza di energia di legame di nuclei speculari, dipende solo dal termine coulombiano della formula di Wiezsacker
E = −0.86 Z Z −1 ( )
R( fm) MeV
20
41Ca → BelCa = −0.86 × 20 ×19
R
21
41Sc → Bel
Sc = −0.86 × 21× 20 R
Esercizio 2
L’idrogeno naturale è una miscela di due isotopi stabili, idrogeno e deuterio. Il nucleo di deuterio ha energia di legame 2.23 MeV. La massa atomica dell’idrogeno naturale è 940.19 MeV/c2. Calcolare l’abbondanza relativa dei due isotopi nell’idrogeno naturale. [mp=938.27 MeV/c2 , mn=939.56 MeV/c2]
Soluzione
MATHN = α MATH + β MATD
α + β = 1 β = 1 - α
BD = [mp + mn – (MATD - me)] c2
MATD = mp + mn + me – BD = 1876.111 MeV/c2 MATH= mp + me= 938.781 MeV/c2
MATHN = α MATH + (1 - α) MATD = α (MATH - MATD) + MATD
Esercizio 3
Trovare le configurazioni di protoni e neutroni nello shell model e determinare gli spin (momento angolare totale) e la parità dello stato fondamentale J0 e dei primi eccitati (J1 J2) dei seguenti nuclei
Utilizzare la successione dei livelli energetici derivante da interazione spin-orbita.
3
7Li 1123Na 1633S 2141Sc 3683Kr 4193Nb
N=4 Z=3
3 7
Li
J0P = 3 2
−
J1P = 1 2
−
Stato fondamentale
Stati eccitati
J1P = 1 2
+
N=12
Z=11
11
23
Na
J0P = 5 2
+
J1P = 1 2
+
Stato fondamentale
1° Stato eccitato
Z=11
Z=11 1D5/21
N=12
11
23
Na
2° stato eccitato
J1P = 1 2
−
Z=11
Z=11
1P1/2−1
Stato fondamentale
J0P = 3 2
+
16 33
S
Stato N=17 Z=16
1S1/2 2 2
1P3/2 4 4
1P1/2 2 2
1D5/2 6 6
2S1/2 2 2
1D3/2 1
Stato N=17 Z=16
1S1/2 2 2
1P3/2 4 4
1P1/2 2 2
1D5/2 6 6
2S1/2 2 2
1D3/2
1F7/2 1
1° stato eccitato
J1P = 7 2
−
Stato N=17 Z=16
1S1/2 2 2
1P3/2 4 4
1P1/2 2 2
1D5/2 6 6
2S1/2 1 2
1D3/2 2 1F7/2
2° stato eccitato
J1P = 1 2
+
J1P = 3 2
−
Stato N=20 Z=21
1S1/2 2 2
1P3/2 4 4
1P1/2 2 2
1D5/2 6 6
2S1/2 2 2
1D3/2 4 4
1F7/2
2P3/2 1
Stato fondamentale
J0P = 7 2
−
21 41
Sc
Stato N=20 Z=21
1S1/2 2 2
1P3/2 4 4
1P1/2 2 2
1D5/2 6 6
2S1/2 2 2
1D3/2 4 4
1F7/2 1
1° stato eccitato 2° stato eccitato
J1P = 3 2
+
Stato N=20 Z=21
1S1/2 2 2
1P3/2 4 4
1P1/2 2 2
1D5/2 6 6
2S1/2 2 2
1D3/2 4 3
1F7/2 2
Stato N=47 Z=36
1S1/2 2 2
1P3/2 4 4
1P1/2 2 2
1D5/2 6 6
2S1/2 2 2
1D3/2 4 4
1F7/2 8 8
2P3/2 4 4
1F5/2 6 4
2P1/2 2 1G9/2 7 1G7/2
36 83
Kr
Stato N=47 Z=36
1S1/2 2 2
1P3/2 4 4
1P1/2 2 2
1D5/2 6 6
2S1/2 2 2
1D3/2 4 4
1F7/2 8 8
2P3/2 4 4
1F5/2 6 4
2P1/2 2 1G9/2 6 1G7/2 1
Stato N=47 Z=36
1S1/2 2 2
1P3/2 4 4
1P1/2 2 2
1D5/2 6 6
2S1/2 2 2
1D3/2 4 4
1F7/2 8 8
2P3/2 4 4
1F5/2 6 4
2P1/2 1 1G9/2 8 1G7/2
Stato N=52 Z=41
1S1/2 2 2
1P3/2 4 4
1P1/2 2 2
1D5/2 6 6
2S1/2 2 2
1D3/2 4 4
1F7/2 8 8
2P3/2 4 4
1F5/2 6 6
2P1/2 2 3
1G9/2 10 1G7/2 2 41
93
Nb
Stato N=52 Z=41
1S1/2 2 2
1P3/2 4 4
1P1/2 2 2
1D5/2 6 6
2S1/2 2 2
1D3/2 4 4
1F7/2 8 8
2P3/2 4 4
1F5/2 6 6
2P1/2 2 2
1G9/2 10 1 1G7/2 2
Stato N=52 Z=41
1S1/2 2 2
1P3/2 4 4
1P1/2 2 2
1D5/2 6 6
2S1/2 2 2
1D3/2 4 4
1F7/2 8 8
2P3/2 4 4
1F5/2 6 5
2P1/2 2 4
1G9/2 10 1G7/2 2
Esercizio 4
Lo spin dei nuclei dispari-dispari è dato dalla somma dei momenti angolari di due nucleoni spaiati. Quali valori JP sono possibili per
Soluzione
6Li nello stato fondamentale ha il neutrone spaiato in 1P3/2 il protone spaiato in 1P3/2 La parità dello stato è (-1)1×(-1)1=1
J può assumere valori compresi fra |3/2-3/2|=0 ≤ j ≤ (3/2+3/2)=3 Quindi gli stati possibili sono 0+ 1+ 2+ 3+
40K nello stato fondamentale ha il neutrone spaiato in 1F7/2 il protone spaiato in 1D3/2 La parità dello stato è (-1)2×(-1)3=-1
3
6
Li
1940K
Esercizio 5
Calcolare l’energia di legame dei nuclei isobari con A=27
Determinare qual è il nucleo più stabile ed indicare quali sono i contributi all’energia di legame che rendono gli altri meno stabili.
[aV=15.7 aS=17.2 aC=0.71 aA= 93.2]
Soluzione
Utilizziamo la formula di Weizsacker
I suddetti nuclei hanno A dispari, quindi il termine di pairing (δ) è nullo.
I termini di volume e superficiale dipendono da A e quindi sono uguali per tutti e tre i
12
27
Mg
1327Al
1427Si
B(A, Z ) = a
VA − a
SA
2/3− a
CZ Z −1 ( )
A
1/3− a
A( N − Z )
24A − δ
A
1/2Il termine coulombiano è maggiore per Si (Z=14), seguito da Al (Z=13) e quindi Mg (Z=12).
Il termine di asimmetria è maggiore per Mg (N-Z=3), ed è uguale per Si e Al (N-Z=1)
Si a
CZ Z −1 ( )
A
1/3= 0.71 14 ×13
27
1/3= 43.07 MeV Al a
CZ Z −1 ( )
A
1/3= 0.71 13×12
27
1/3= 36.92 MeV Mg a
CZ Z −1 ( )
A
1/3= 0.71 12 ×11
27
1/3= 31.24 MeV
Si, Al a
A( N − Z )
24A = 93.2
4 × 27 = 0.863 MeV Mg a
A( N − Z )
24A = 93.2 × 3
24 × 27 = 7.77 MeV
Esercizio 6
Indicare sulla base del modello a shell, gli stati degli isotopi 11C, 12C, 13C, 14C.
Calcolare lo spin del nucleo, la parità, il momento di dipolo magnetico.
Soluzione
Tutti gli isotopi Z=6 (1S1/2)2 (1P3/2)4
11C N=5 (1S1/2)2 (1P3/2)3 JP=3/2-
12C N=6 (1S1/2)2 (1P3/2)4 JP=0+
13C N=7 (1S1/2)2 (1P3/2)4 (1P1/2)1 JP=1/2-
14C N=6 (1S1/2)2 (1P3/2)4 (1P1/2)2 JP=0+
12C, 14C µNucleo = 0
11
C l = 1 µ
Nucleoµ
N= −3.83 2 ×1+1
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ 3
2 = −1.915
Esercizio 7
Calcolare il momento magnetico del nucleo di deuterio 2H.
Soluzione
Il deuterio ha due nucleoni spaiati, protone (1S1/2)1 e neutrone (1S1/2)1
Quindi lo spin del nucleo (momento angolare totale) Jnucleo può assumere valori 0 o 1.
Sperimentalmente si osserva che nello stato fondamentale Jnucleo=1.
Calcoliamo i momenti magnetici di p e n
Poiché Jnucleo=1, i momenti magnetici dei nucleoni si sommano e quindi il momento