1227 36 Li 37 Mg Li 1940 1327 1123 K Al Na 1427 Si 1633 S 2141 Sc 3683 Kr 4193 Nb

Fisica Nucleare e Subnucleare – Esercitazione 3 Paolo Maestro 1

1) Se l’energia nucleare dei nuclei speculari ⁴¹Sc e ⁴¹Ca, sono rispettivamente 343.143 MeV e 350.420 MeV, stimare il raggio dei due nuclei usando la formula semiempirica di massa [Z_Sc=21 Z_Ca=20].

2) L’idrogeno naturale è una miscela di due isotopi stabili, idrogeno e deuterio. Il nucleo di deuterio ha energia di legame 2.23 MeV. La massa atomica dell’idrogeno naturale è 940.19 MeV/c². Calcolare l’abbondanza relativa dei due isotopi nell’idrogeno naturale. [m_p=938.27 MeV/c² , m_n=939.56 MeV/c²] 3) Trovare le configurazioni di protoni e neutroni nello shell model e determinare gli spin (momento angolare totale) e la parità dello stato fondamentale J₀ e dei primi eccitati (J₁ J₂) dei seguenti nuclei

Utilizzare la successione dei livelli energetici derivante da interazione spin-orbita.

4) Lo spin dei nuclei dispari-dispari è dato dalla somma dei momenti angolari di due nucleoni spaiati.

Quali valori J^P sono possibili per

5) Calcolare l’energia di legame dei nuclei isobari con A=27

Determinare qual è il nucleo più stabile ed indicare quali sono i contributi all’energia di legame che rendono gli altri meno stabili. [a_V=15.7 a_S=17.2 a_C=0.71 a_A= 93.2]

6) Indicare sulla base del modello a shell, gli stati degli isotopi ¹¹C, ¹²C, ¹³C, ¹⁴C. Calcolare lo spin del nucleo, la parità, il momento di dipolo magnetico.

7) Calcolare il momento magnetico del nucleo di deuterio ²H.

8) Studiare i livelli fondamentale ed eccitati del nucleo di ¹³⁰Sn (Z=50)

3

7Li ₁₁²³Na ₁₆³³S ₂₁⁴¹Sc ₃₆⁸³Kr ⁹³₄₁Nb

3

6Li ₁₉⁴⁰K

12

27Mg ₁₃²⁷Al ₁₄²⁷Si

Esercizi su masse e modelli nucleari

Esercizio 1

Se l’energia nucleare dei nuclei speculari ⁴¹Sc e ⁴¹Ca, sono rispettivamente 343.143 MeV e 350.420 MeV, stimare il raggio dei due nuclei usando la formula semiempirica di massa [Z_Sc=21 Z_Ca=20]

Soluzione

La differenza di energia di legame di nuclei speculari, dipende solo dal termine coulombiano della formula di Wiezsacker

E = −0.86 Z Z −1 ( )

R( fm) MeV

20

41Ca → B_el^Ca = −0.86 × 20 ×19

R

21

41Sc → Bel

Sc = −0.86 × 21× 20 R

Esercizio 2

L’idrogeno naturale è una miscela di due isotopi stabili, idrogeno e deuterio. Il nucleo di deuterio ha energia di legame 2.23 MeV. La massa atomica dell’idrogeno naturale è 940.19 MeV/c². Calcolare l’abbondanza relativa dei due isotopi nell’idrogeno naturale. [m_p=938.27 MeV/c² , m_n=939.56 MeV/c²]

Soluzione

M_AT^HN = α M_AT^H + β M_AT^D

α + β = 1 β = 1 - α

B^D = [m_p + m_n – (M_AT^D - m_e)] c²

M_AT^D = m_p + m_n + m_e – B^D = 1876.111 MeV/c² M_AT^H= m_p + m_e= 938.781 MeV/c²

M_AT^HN = α M_AT^H + (1 - α) M_AT^D = α (M_AT^H - M_AT^D) + M_AT^D

Esercizio 3

Trovare le configurazioni di protoni e neutroni nello shell model e determinare gli spin (momento angolare totale) e la parità dello stato fondamentale J₀ e dei primi eccitati (J₁ J₂) dei seguenti nuclei

Utilizzare la successione dei livelli energetici derivante da interazione spin-orbita.

3

7Li ₁₁²³Na ₁₆³³S ₂₁⁴¹Sc ₃₆⁸³Kr ₄₁⁹³Nb

N=4 Z=3

3 7

Li

J₀^P = 3 2

−

J₁^P = 1 2

−

Stato fondamentale

Stati eccitati

J₁^P = 1 2

+

N=12

Z=11

11

23

Na

J₀^P = 5 2

+

J₁^P = 1 2

+

Stato fondamentale

1° Stato eccitato

Z=11

Z=11 1D_5/2¹

N=12

11

23

Na

2° stato eccitato

J₁^P = 1 2

−

Z=11

Z=11

1P_1/2⁻¹

Stato fondamentale

J₀^P = 3 2

+

16 33

S

Stato N=17 Z=16

1S_1/2 2 2

1P_3/2 4 4

1P_1/2 2 2

1D_5/2 6 6

2S_1/2 2 2

1D_3/2 1

Stato N=17 Z=16

1S_1/2 2 2

1P_3/2 4 4

1P_1/2 2 2

1D_5/2 6 6

2S_1/2 2 2

1D_3/2

1F_7/2 1

1° stato eccitato

J₁^P = 7 2

−

Stato N=17 Z=16

1S_1/2 2 2

1P_3/2 4 4

1P_1/2 2 2

1D_5/2 6 6

2S_1/2 1 2

1D_3/2 2 1F_7/2

2° stato eccitato

J₁^P = 1 2

+

J₁^P = 3 2

−

Stato N=20 Z=21

1S_1/2 2 2

1P_3/2 4 4

1P_1/2 2 2

1D_5/2 6 6

2S_1/2 2 2

1D_3/2 4 4

1F_7/2

2P_3/2 1

Stato fondamentale

J₀^P = 7 2

−

21 41

Sc

Stato N=20 Z=21

1S_1/2 2 2

1P_3/2 4 4

1P_1/2 2 2

1D_5/2 6 6

2S_1/2 2 2

1D_3/2 4 4

1F_7/2 1

1° stato eccitato 2° stato eccitato

J₁^P = 3 2

+

Stato N=20 Z=21

1S_1/2 2 2

1P_3/2 4 4

1P_1/2 2 2

1D_5/2 6 6

2S_1/2 2 2

1D_3/2 4 3

1F_7/2 2

Stato N=47 Z=36

1S_1/2 2 2

1P_3/2 4 4

1P_1/2 2 2

1D_5/2 6 6

2S_1/2 2 2

1D_3/2 4 4

1F_7/2 8 8

2P_3/2 4 4

1F_5/2 6 4

2P_1/2 2 1G_9/2 7 1G_7/2

36 83

Kr

Stato N=47 Z=36

1S_1/2 2 2

1P_3/2 4 4

1P_1/2 2 2

1D_5/2 6 6

2S_1/2 2 2

1D_3/2 4 4

1F_7/2 8 8

2P_3/2 4 4

1F_5/2 6 4

2P_1/2 2 1G_9/2 6 1G_7/2 1

Stato N=47 Z=36

1S_1/2 2 2

1P_3/2 4 4

1P_1/2 2 2

1D_5/2 6 6

2S_1/2 2 2

1D_3/2 4 4

1F_7/2 8 8

2P_3/2 4 4

1F_5/2 6 4

2P_1/2 1 1G_9/2 8 1G_7/2

Stato N=52 Z=41

1S_1/2 2 2

1P_3/2 4 4

1P_1/2 2 2

1D_5/2 6 6

2S_1/2 2 2

1D_3/2 4 4

1F_7/2 8 8

2P_3/2 4 4

1F_5/2 6 6

2P_1/2 2 3

1G_9/2 10 1G_7/2 2 41

93

Nb

Stato N=52 Z=41

1S_1/2 2 2

1P_3/2 4 4

1P_1/2 2 2

1D_5/2 6 6

2S_1/2 2 2

1D_3/2 4 4

1F_7/2 8 8

2P_3/2 4 4

1F_5/2 6 6

2P_1/2 2 2

1G_9/2 10 1 1G_7/2 2

Stato N=52 Z=41

1S_1/2 2 2

1P_3/2 4 4

1P_1/2 2 2

1D_5/2 6 6

2S_1/2 2 2

1D_3/2 4 4

1F_7/2 8 8

2P_3/2 4 4

1F_5/2 6 5

2P_1/2 2 4

1G_9/2 10 1G_7/2 2

Esercizio 4

Lo spin dei nuclei dispari-dispari è dato dalla somma dei momenti angolari di due nucleoni spaiati. Quali valori J^P sono possibili per

Soluzione

6Li nello stato fondamentale ha il neutrone spaiato in 1P_3/2 il protone spaiato in 1P_3/2 La parità dello stato è (-1)¹×(-1)¹=1

J può assumere valori compresi fra |3/2-3/2|=0 ≤ j ≤ (3/2+3/2)=3 Quindi gli stati possibili sono 0⁺ 1⁺ 2⁺ 3⁺

40K nello stato fondamentale ha il neutrone spaiato in 1F_7/2 il protone spaiato in 1D_3/2 La parità dello stato è (-1)²×(-1)³=-1

3

6

Li

K

Esercizio 5

Calcolare l’energia di legame dei nuclei isobari con A=27

Determinare qual è il nucleo più stabile ed indicare quali sono i contributi all’energia di legame che rendono gli altri meno stabili.

[a_V=15.7 a_S=17.2 a_C=0.71 a_A= 93.2]

Soluzione

Utilizziamo la formula di Weizsacker

I suddetti nuclei hanno A dispari, quindi il termine di pairing (δ) è nullo.

I termini di volume e superficiale dipendono da A e quindi sono uguali per tutti e tre i

12

27

Mg

Al

Si

B(A, Z ) = a

A − a

A

− a

Z Z −1 ( )

A

− a

( N − Z )

4A − δ

A

Il termine coulombiano è maggiore per Si (Z=14), seguito da Al (Z=13) e quindi Mg (Z=12).

Il termine di asimmetria è maggiore per Mg (N-Z=3), ed è uguale per Si e Al (N-Z=1)

Si a

Z Z −1 ( )

A

= 0.71 14 ×13

27

= 43.07 MeV Al a

Z Z −1 ( )

A

= 0.71 13×12

27

= 36.92 MeV Mg a

Z Z −1 ( )

A

= 0.71 12 ×11

27

= 31.24 MeV

Si, Al a

( N − Z )

4A = 93.2

4 × 27 = 0.863 MeV Mg a

( N − Z )

4A = 93.2 × 3

4 × 27 = 7.77 MeV

Esercizio 6

Indicare sulla base del modello a shell, gli stati degli isotopi ¹¹C, ¹²C, ¹³C, ¹⁴C.

Calcolare lo spin del nucleo, la parità, il momento di dipolo magnetico.

Soluzione

Tutti gli isotopi Z=6 (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴

11C N=5 (1S_1/2)² (1P_3/2)³ J^P=3/2^-

12C N=6 (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ J^P=0⁺

13C N=7 (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)¹ J^P=1/2^-

14C N=8 (1S_1/2)² (1P_3/2)⁴ (1P_1/2)² J^P=0⁺

12C, ¹⁴C µ_Nucleo = 0

11

C l = 1 µ

µ

= −3.83 2 ×1+1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 3

2 = −1.915

Esercizio 7

Calcolare il momento magnetico del nucleo di deuterio ²H.

Soluzione

Il deuterio ha due nucleoni spaiati, protone (1S_1/2)¹ e neutrone (1S_1/2)¹

Quindi lo spin del nucleo (momento angolare totale) J_nucleo può assumere valori 0 o 1.

Sperimentalmente si osserva che nello stato fondamentale J_nucleo=1.

Calcoliamo i momenti magnetici di p e n

Poiché J_nucleo=1, i momenti magnetici dei nucleoni si sommano e quindi il momento

µ

µ

^{= 1+}

5.58 -1 2 × 0 +1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 1

2 = +2.79 µ

µ

^{= 0 +}

−3.83- 0 2 × 0 +1

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ 1

2 = −1.915

Z=50 numero magico

N=80 mancano 2n a raggiungere numero magico 82 Gli ultimi livelli occupati dello stato fondamentale dai neutroni sono (2D_3/2)⁴ (3S_1/2)² (1H_11/2)¹⁰

Lo stato fondamentale ha J^P= 0⁺

Stati eccitati

(2D_3/2)⁴ (3S_1/2)¹ (1H_11/2)¹¹

J=5,6 (-1)⁰x(-1)⁵ = -1 à J^P= 5^- 6^- (2D_3/2)³ (3S_1/2)² (1H_11/2)¹¹

Esercizio 8

Studiare i livelli fondamentale ed eccitati del nucleo di ¹³⁰Sn (Z=50) Soluzione

Come si spiegano gli stati eccitati con parità + ?

Nel modello a shell a particelle totalmente indipendenti i nucleoni in ogni livello sono accoppiati; ogni coppia ha spin +J_z e –J_z. Se un numero di nucleoni pari occupa il livello, lo spin totale è 0.

Si può pensare che vi siano stati eccitati, in cui una coppia del livello è rotta e i due nucleoni restano nello stesso livello, ma hanno valori di |J_z| differenti. In tal caso si può avere spin diverso da zero anche con un numero pari di nucleoni.

Nel caso in esame, la configurazione dello stato eccitato è (2D_3/2)⁴ (3S_1/2)² (1H_11/2)¹⁰

ma una coppia di neutroni in H_11/2 è spaiata. Si possono avere valori (11/2 – 11/2) ≤J≤ (11/2+11/2) à 0 ≤ J ≤11

La parità è +1, perché entrambi i nucleoni spaiati sono nello stesso livello.

Per avere antisimmetria della funzione d’onda per scambio di fermioni identici, i due neutroni devono formare un singoletto di spin S=0 à solo J pari sono