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Si calcola div−→ F = ∂F1 ∂x + ∂F2 ∂y + ∂F3 ∂z z2 Allora

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Academic year: 2021

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(1)

Integrali di superficie

Esercizio 13 (Scritto 11/12/06)

Calcolare il flusso del campo vetoriale

−

→F (x, y, z) = y−→

i + x−→

j + z3−→ k

attraverso la superficie sferica S di centro (0, 0, 0) e raggio 2

Applichiamo il Teorema della divergenza

∫∫

S

−

→F · −→n dS = ∫∫∫

V

div−→

F dxdydz

dove

V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 ≤ 4} .

Si calcola div−→

F = ∂F1

∂x + ∂F2

∂y + ∂F3

∂z = 0 + 0 + 3z2

Allora:

∫∫

S

−

→F · −→n dS = 3 ∫∫∫

V z2 dxdydz

(2)

Per simmetria:

∫∫∫

V

z2 dxdydz = 8

∫∫∫

V +

z2 dxdydz .

ove V + `e l’intersezione di V con il primo ot- tante.

Passaggio a coordinate sferiche

x = ρ cos(ϑ) sin(ϕ) y = ρ sin(ϑ) sin(ϕ) z = ρ cos(ϕ)

J (ρ, ϑ, ϕ) = ρ2 sin(ϕ)

V + → Ve + = {(ρ, ϑ, ϕ) : 0 ≤ ρ ≤ 2 , 0 ≤ ϑ, ϕ ≤ π/2}

Quindi:

∫∫∫

V

z2dxdydz

= 24

∫∫∫

V+

z2dxdydz

= 24

∫∫∫

e

V+

ρ4sin(ϕ) cos2(ϕ)dρdϑdϕ

= 12π

(∫ 2

0

ρ4 dρ

) (∫ π/2

0

cos2(ϕ) sin(ϕ) dϕ )

= 12π [ρ5

5 ]2

0

[

−cos3(ϕ) 3

]π/2

0

= 4π32 5

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