Esercizio 11
Calcolare il flusso del campo
−
→F (x, y, z) = xy−→
i 1 + xy−→
i 2 + z−→ i 3
attraverso la superficie chiusa S1 ∪ S2, dove S1 :
z = 1 − x2 − y2
z ≥ 0 e S2 :
z = 0
x2 + y2 ≤ 1
Passo 1: Uso il Teorema della divergenza:
∫∫
S
−
→F · −→n dS = ∫∫∫
V
div−→
F dx dy dz
dove
V = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ 1 − x2 − y2}
Passo 2: Calcolo div−→ F :
div−→
F = ∂F1
∂x + ∂F2
∂y + ∂F3
∂z = y + x + 1
Passo 3: Calcolo:
∫∫∫
V div−→
F dx dy dz
= ∫∫∫V y dx dy dz + ∫∫∫V x dx dy dz + ∫∫∫V 1 dx dy dz
= vol(V )
f1(x, y, z) = y ed f2(x, y, z) = x sono dispari in y ed x e V `e simmetrico. Quindi i primi due integrali sono zero.
Passo 4: calcolo vol(V ) passando a coordinate cilindriche
V → V =e
(ρ, ϑ, z) :
(ρ, ϑ) ∈ [0, 1] × [0, 2π]
0 ≤ z ≤ 1 − ρ2
vol(V ) =
∫∫∫
Ve ρ dρdϑdz
=
∫∫
[0,1]×[0,2π] ρ
(∫ 1−ρ2
0 dz
)
dρ dϑ
= 2π
∫ 1
0 ρ(1 − ρ2)dρ = π 2
