2. Trovare tutte le funzioni f : [0, +∞) → R, derivabili, tali che f (x + y) = f (x) + yf (x + y) + yf (x + y)f (x) 3. Trovare tutte le funzioni f : R → R tali che

Esercizi sulle equazioni differenziali

Raccolti da MathLinks

1. Dimostrare che il seguente problema di Cauchy non ha soluzioni in (0, 3).

y ⁰ = y ² + x y(0) = 0

2. Trovare tutte le funzioni f : [0, +∞) → R, derivabili, tali che f (x + y) = f (x) + yf (x + y) + yf (x + y)f (x) 3. Trovare tutte le funzioni f : R → R tali che

f ⁰⁰ + 4xf ⁰ + (3 + 4x ² )f = 0

4. Trovare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale:

f ⁰ (x) = −f (x)f (−x) f (0) = 1/2

5. Trovare tutte le funzioni f : R → R derivabili tali che

f (x) − f (y) = (x − y)f ⁰  x + y 2



∀x, y 6. Esistono f : [0, 1] → R tali che

f (x) = 1 x

Z x 0

f (x)dx non costanti?

7. Trovare tutte le funzioni f : R → R differenziabili due volte tali che f ⁰⁰ = f ⁰ f

8. Trovare tutte le funzioni f : (0, +∞) → R differenziabili due volte tali che valgano le seguenti due condizioni:

∀x ∈ (0, +∞) f ⁰ (x) > 0

∀x ∈ (0, +∞) f (f ⁰ (x)) = −f (x)

1

9. Trovare tutte le funzioni f : R → R differenziabili tali che

∀x ∈ R f ⁰ (x) + xf (−x) = 1

10. Sia y : [1, +∞) → R una funzione differenziabile tale che y ⁰ (t) + e ^−t

y(t) = sin t

per ogni t ∈ [1, +∞) e che Z +∞

1

y ² (t)dt < +∞

Dimostrare che

t→+∞ lim y = 0

2