di una espressione "expr&#34

(* PACCHETTI GAUSSIANI *)

(* Questo Notebook vi consente di esaminare vari esempi di pacchetti gaussiani e di studiarne le varie caratteristiche *)

(* In questa sezione sono riportate alcune funzioni utili nel seguito *) (* La sostitusione "conj" esegue il complesso coniugato di una espressione, cambiando solo i numeri complessi e supponendo che ogni altro simbolo rappresenti una quantita’ reale *)

conj = {Complex[a , b ] :→ Complex[a, −b]};

(* Procedura per semplificare la parte "l" di una espressione "expr" *)

SemplIn[expr , l ]:=Module[{bb, bb1, exp1}, bb = Fold[Part, expr, l]; (1) bb1 = FullSimplify[bb]; (2) exp1 = expr/.{bb → bb1}; (3)

Return[exp1]] (4)

(*Procedura per raccogliere a fattore il termine "form" nella parte

"l" di una espressione "expr" *)

CollIn[expr , form , pos ]:= (5)

Module[{bb, bb1, exp1}, bb = Fold[Part, expr, pos]; (6)

bb1 = Collect[bb, form]; (7)

exp1 = expr/.{bb → bb1}; (8)

Return[exp1]] (9)

(* Definizione di un pacchetto d’onda unidimensionale ( nella variabile x) gaussiano ψ[x0, σ, k0],

dove i parametri rappresentano x0 e’ il valor medio del pacchetto, σ la deviazione standard,

k0 il momento dell’onda portante. Questa e’ una funzione COMPLESSA *)

ψ[x0 , σ , k0 ]:=Exp[Ik0x]Exp[−(x − x0)^∧2/(4σ^∧2)]/((2π)^∧(1/4)σ^∧(1/2)) (10)

(* Esempi *) ψ[−2, 1, 0]

ψ[ξ, σ, k₀]

e^{− 14 (2+x)2} (2π)^1/4

e⁻

(x−ξ)2 4σ2 +ixk0

(2π)^1/4√ σ

(* Il modulo quadro del pacchetto precedente e’ dato dall’espressione *)

psimod2[x0 , σ , k0 ]:=ψ[x0, σ, k0](ψ[x0, σ, k0]/.conj) (11)

(* Esempi *) psimod2[−2, 1, 0]

e^{− 12 (2+x)}√ ² 2π

psimod2[ξ, σ, k₀]

e⁻

(x−ξ)2

√2σ2

2πσ

(* Tracciamo il grafico del modulo quadro di una famiglia di pacchetti centrati in x0 =0, di momento k0=0, ma deviazione standard σ = 4/i, dove l’indicei²{1, 2, ..., 10} *)

sGauss = Table[Plot[psimod2[0, 4/i, 0], {x, −8, 8}, PlotRange → {0, 1},PlotStyle → {Hue[i/10]}], {i, 1, 10}]

(12)

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

(* La stessa famiglia in un unico grafico *) Show[sGauss]

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

(* Tutti i pacchetti costruiti sono normalizzati, nel senso cheR

|ψ|²dx e’

indipendentemente dai parametri che li caratterizzano. Effettivamente ψ puo’ rappresentare l’ampiezza di probabilita’ di presenza di

una particella lungo l’asse x. La probabilita’ di trovarla in

un certo intervallo infinitesimo dx e’ data dall’espressione dP = |ψ|²dx*)

Integrate[psimod2[x0, σ, k0], {x, −Infinity, Infinity}, (13) Assumptions → {σ ∈ Reals, σ > 0}]//FullSimplify (14)

1

(* Il valor medio della posizione e’ data allora dall’espressione *)

Integrate[psimod2[x0, σ, k0]x, {x, −Infinity, Infinity}, (15) Assumptions → {σ ∈ Reals, σ > 0}]//FullSimplify (16)

x0

(* Lo scarto quadratico medio e’ invece dato da *)

∆x2 = Integrate[psimod2[x0, σ, k0](x − x0)^∧2, {x, −Infinity, Infinity}, (17) Assumptions → {σ ∈ Reals, σ > 0}] (18)

σ²

(* Probabilita’ di presenza :

Qual e’ la probabilita’ di trovare la particella nell’intervallo [a,b]

se la sua funzione d’onda e’ data da ψ[x0, σ, k0] ? Risposta: Prob[ψ, [a, b]] =R_b

a|ψ|²dx *)

Prob[{x0 , σ , k0 }, {a , b }]:=Integrate[psimod2[x0, σ, k0], {x, a, b}] (19)

Prob[{x0, σ, k0}, {a, b}]

1

2(−Erf[^a−x0√

2σ] + Erf[^b−x0√

2σ]) Prob[{0, σ, k0}, {−σ, σ}]

Erf[^√1

2]

Prob[{0, σ, k0}, {−σ, σ}]//N 0.682689

Plot[Prob[{0, 1, 0}, {0, b}]//Evaluate, {b, 0, 5}, PlotRange → {0, 1}]

1 2 3 4 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

−Graphics−

(* Calcoliamo la trasformata di Fourier del pacchetto d’onda ψ[x0, σ, k0] *)

Foupsi = (20) 1/Sqrt[2π]Integrate[Exp[−Ikx]ψ[x0, s, k0], {x, −Infinity, Infinity}]// (21) ExpandAll//CollIn[#, s^∧2, {1, 2}]&//CollIn[#, x0, {1, 2}]&// (22)

SemplIn[#, {1, 2, 1, 1}]& (23)

1 (2π)^3/4√

sIf[Re[s²] > 0, 2e^{−(k−k0)(ks2−k0s2+ix0)}√ π√

s²,

Integrate[e^{−ikx+ik0x−(x−x0)24s2} , {x, −∞, ∞}, Assumptions → Re[s²] ≤ 0]]

(* Si osservi che la Foupsi possiede la stessa struttura della funzione

d’onda ψ[x0, σ, k0]: ha ancora l’espressione di una funzione d’ onda gaussiana, ma ora nello

"spazio dei momenti k". Infatti: *)

(* Definiamo per comodita’ il pacchetto d’onda nello spazio dei momenti *)

g[x0 , σ , k0 ]:=σ^∧(1/2) e^{−(k−k0)2σ2−i(k−k0)x0}(2

π)^1/4 (24)

g[a, b, c]

√be−ia(−c+k)−b²(−c+k)²(_π²)^1/4

(* Modulo quadro del pacchetto *)

gMod2[x0 , σ , k0 ]:=(g[x0, σ, k0]/.conj)g[x0, σ, k0]//ExpandAll//FullSimplify (25) (26) gMod2[x0, ss, k0] (27)

e^{−2(k−k0)2ss2} q2

πss gMod2[1, 2, 3]

2e^{−8(−3+k)2} q

π2

(* Normalizzazione del pacchetto *)

Integrate[gMod2[x0, σ, k0], {k, −Infinity, Infinity}, (28) Assumptions → {σ ∈ Reals, σ > 0}]//FullSimplify (29)

1

(* Valor medio del numero d’onda k *)

Integrate[gMod2[x0, σ, k0]k, {k, −Infinity, Infinity}, (30) Assumptions → {σ ∈ Reals, σ > 0}]//FullSimplify (31)

k0

(* Scarto quadratico medio nel numero d’onda *)

∆k2 = Integrate[gMod2[x0, σ, k0](k − k0)^∧2, {k, −Infinity, Infinity}, (32) Assumptions → {σ ∈ Reals, σ > 0}]//FullSimplify (33)

4σ1²

(* Si osservi la forma che in questo caso particolare assume il principio di Heisenberg,

nell’ipotesi che le incertezze nella misura di posizione e di momento k siano date dalle loro deviazioni standard: *)

Sqrt[∆x2 ∆k2]//FullSimplify (34)

12

(* Tracciamo il grafico del modulo quadro di una famiglia di pacchetti centrati in x0 =0, di momento k0=0, ma deviazione standard σ = 4/i, dove l’indice i²{1, 2, ..., 10} *)

Table[Show[GraphicsArray[ (35) {Plot[psimod2[0, 4/i, 0], {x, −8, 8}, PlotRange → {0, 1}, (36) PlotStyle → {Hue[i/10]}, DisplayFunction → Identity], (37) Plot[gMod2[0, 4/i, 0], {k, −8, 8}, PlotRange → {0, 1}, PlotStyle → {Hue[i/10]}, (38) DisplayFunction → Identity]}], DisplayFunction → $DisplayFunction],{i, 1, 10}] (39)

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

-7.5-5-2.5 2.557.5 0.2

0.4 0.6 0.8 1

(* Probabilita’ di quantita’ di moto :

Qual e’ la probabilita’ di trovare la particella con quantita’

di moto compresa nell’intervallo [p0,p0+δp] se la sua funzione d’onda e’ data da

ψ[x0, σ, k0]?

ProbMom[{x0 , σ , k0 }, {p0 , b }]:=Integrate[gMod2[x0, σ, k0], {k, p0/~, b/~}] (40) (41) ProbMom[{x0, σ, k0}, {p0, b}] (42)

12(−Erf[

√2σ(−b+k0~)

~ ] + Erf[

√2σ(−p0+k0~)

~ ])

Plot[ProbMom[{0, 1, 2}, {0, ~k}]//Evaluate, {k, 0, 5}, PlotRange-¿{0, 1}]

1 2 3 4 5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

(* Rappresenzione dell’osservabile momento nella base di posizione: p = −i~∂_x *) (* Calcolo del valor medio della quantita’ di moto per funzioni d’

onda gaussiane in rappresentazione di posizione *)

p_m[x0 , σ , k0 ]:=Integrate[(ψ[x0, σ, k0]/.conj)(−i~)D[ψ[x0, σ, k0], x], (43) {x, −Infinity, Infinity}, Assumptions → {σ ∈ Reals, σ > 0}] (44)

p_m[x0, σ, k0]

k0~

(* Calcolo del valor medio dell’energia cinetica per una particella di massa "M" avente funzione d’onda gaussiana in rappresentazione di posizione *)

K_m[x0 , σ , k0 ]:= (45) Integrate[(ψ[x0, σ, k0]/.conj)(−i~)^∧2D[ψ[x0, σ, k0], {x, 2}], (46) {x, −Infinity, Infinity}, Assumptions → {σ ∈ Reals, σ > 0}]/(2M )//FullSimplify (47)

K_m[x0, σ, k0]

(4k0²+_σ2¹ )~² 8M

K_m[x0, σ, 0]

~² 8M σ²

(* Evoluzione temporale di un pacchetto gaussiano "libero" : Si esegue l’ anti-trasformata di Fourier

g[x0, s, k0](k)– > ψ[x0, s, k0](x, t)

usando la base delle onde piane dipendenti dal tempo per la particella libera :Exp[I(kx − ^~∧_2M^2k∧2t)] *)

Psi[x0 , s , k0 , M ]:= (48) (1/Sqrt[2π]Integrate[Exp[I(kx − ~^∧2k^∧2t/(2M ))]g[x0, s, k0], (49) {k, −Infinity, Infinity}, Assumptions → {t ∈ Reals}])//Together (50)

(* Esempio *) Psi[0, 1, 2, ~^∧2]

e⁻

−2i+t +4t (8+ix)x 2(−2i+t)(_π²)^1/4

√2+it

PsiMod2 = Psi[0, 1, 2, ~^∧2](Psi[0, 1, 2, ~^∧2]/.conj)//Simplify

e⁻

2(−2t+x)2 4+t2 q

2

√ π

4+t²

Plot3D[PsiMod2, {x, −15, 15}, {t, −10, 10}, PlotPoints → 40, PlotRange → {0, 0.4}, (51) Mesh → True, ViewPoint → {.1, −1.5, 2}, Boxed → False, (52) AxesEdge → {{−1, −1}, {−1, −1}, {−1, −1}}, AxesLabel → {"x", "t", "—ψ|²"}] (53)

-10 0 10

x -10

-5 0

5 10

t

0.10 0.2 0.3 0.4 ÈΨȲ

-10 0 10