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(1)

COMPITI DI MATEMATICA per le applicazioni economiche e finanziarie AA. 2004/05

Prova Intermedia Aprile 05 I M 1) Determinare le sei radici dell'equazione B  B œ # Þ' $

I M 2) Data la matrice  œ , se ne determinino gli autovalori, si veda

 ( #  &

#  # #

&  # $

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se la matrice è diagonalizzabile e si stabilisca, per ciascun autovalore, una base per il suo au- tospazio.

I M 3) Data la matrice  œ , si determini, per ciascuno degli autovalo-

! $  " !

# ! # !

!  $ " !

" " " "

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ri, la relazione che intercorre tra la molteplicità algebrica e quella geometrica.

I M 4) Data la matrice  œ , determinare, al variare dei parametri,

" *  % "!

$  $ '  '

% ' 5 7

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le dimensioni del Nucleo e dell'Immagine dell'applicazione lineare ‘% Ä‘$ da essa generata nei seguenti casi:

.) quando 0 "ß  "ß  "ß " œ 'ß  'ß #  5 ; ..) quando 0 "ß  "ß  "ß ! œ  %ß !ß  % Þ

I M 5) Dati i due vettori perpendicolari —" œ "ß #ß  $ e —# œ #ß #ß # , si determini un terzo vettore —$ perpendicolare ad entrambi e, con i loro versori, si costituisca una base di ‘$. Quali sono le coordinate del vettore ˜ œ "ß "ß " in tale base ?

Giugno 1-05

I M 1) Data la matrice  œ si determini il valore del parametro per il5

" ! "

" "  "

! " 5

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quale la matrice ammette come autovalore l'unità immaginaria .3

I M 2) Data la matrice œ e il vettore ˜œ #ß 'ß 7 , dopo aver de-

" 7  " "

# " " #

"  "  % "

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terminato il valore di per il quale la caratteristica della matrice non è massima e il vettore7

˜ appartiene all'Immagine dell'applicazione lineare generata da , si determini una base del- l'Immagine fatta di vettori ortogonali contenente il vettore .˜

I M 3) Dato il sistema lineare , se ne determinino esistenza

Ú ÛÜ

B  B  B œ "

#B  7 B  B  7 B œ 7 B  5 B  B  5 B œ 5

" # %

" # $ %

" # $ %

e numerosità delle soluzioni al variare dei parametri e .7 5

(2)

I M 4) Data la matrice  œ , determinare i valori di per i quali la matrice am-5

5 ! 5

! " !

5 ! 5

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mette un autovalore multiplo e si trovi, in tali casi, una matrice ortogonale che diagonalizza

.

II M 1) Risolvere il problema: Max/min .

s.v. :

œ 0 Bß C œ /  /

/  / œ "

#B #C

B C

II M 2) Data 0 Bß C œ B /C e dato P! œ !ß " , determinare tutte le direzioni per le quali@ risulta: PW@0 ! œW#@ @0 P .!

II M 3) Dato il sistema œ0 Bß Cß D œ BCD  B  C  D œ ! e il punto P , si de- 1 Bß Cß D œ /BC  /CD  /BD œ / ! œ "ß "ß "

termini quale tipo di funzione può essere definita implicitamente e se ne calcolino le derivate nel punto opportuno.

II M 4) Risolvere il problema .

Max/min s.v. : Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ #B  C B  C Ÿ %

C  %B  % Ÿ !

#

# #

#

Giugno 2-05

I M 1) Calcolare il prodotto delle radici quarte di D œ "  3 #  3 .

"  3 "  3  3

I M 2) Dato il sottospazio di ’ ‘% generato dalla base e "ß "ß !ß ! ß "ß !ß "ß ! ß "ß !ß !ß " f, de- terminare, risolvendo un opportuno sistema lineare, tutti i vettori di ‘% che risultano perpen- dicolari ad ogni vettore di .’

I M 3) Data la matrice  œ , dopo avere verificato che essa ammette uno

#  $ %

$  % 5

$  $  "

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stesso autovalore qualunque sia il valore del parametro , si determini per quali valori di es-5 5 sa ammette autovalori multipli e per quali valori ammette autovalori complessi.

I M 4) Trovare le coordinate del vettore nella base — e "ß "ß " ß !ß "ß " ß "ß !ß " f sapendo che le sue coordinate nella base e "ß "ß ! ß "ß  "ß " ß !ß  "ß  " f sono "ß  "ß # . II M 1) Sia 0 Bß C differenziabile due volte in tutto ‘#; sapendo che le sue derivate seconde sono tutte uguali a , determinare i valori massimo e minimo di una sua qualunque derivata"

direzionale seconda W@ @# 0 Bß C .

II M 2) Risolvere il problema .

Max/min s.v. : Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  #C C Ÿ %  B

C    #B  %

#

#

II M 3) Dato il sistema œ0 Bß Cß Dß A œ B C  D A  BC  DA œ ! e considerati i punti 1 Bß Cß Dß A œ BCD  CDA  B  A œ !

$ $

P" œ "ß "ß "ß " , P# œ "ß !ß !ß " e P$ œ !ß "ß "ß ! , si determini se in ciascuno dei tre punti è possibile definire implicitamente una funzione avente sempre le stesse variabili indi- pendenti.

II M 4) Data 0 Bß Cß D œ B B  D  #  C #C  #D  "  D#, se ne determinino gli even- tuali punti di massimo e/o minimo relativo.

Luglio 05

(3)

I M 1) Calcolare le radici quadrate di D œ /ˆlog #&#13.

I M 2) Data la matrice  œ , si determini il valore di per il quale la5

 # #  $

"  # "

#  $ 5

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matrice ammette l'autovalore - œ " e si determini se, in tale caso, la matrice risulta diagona- lizzabile.

I M 3) Dato il sistema lineare , se ne determinino esistenza,

Ú ÛÜ

B  #B  B œ "

#B  B  5 B  #B œ # 5 B  #B  )B  B œ 5

" $ %

" # $ %

" # $ %

numerosità e forma delle soluzioni al variare del parametro .5

I M 4) Data la matrice  si determini, al variare dei parametri , , e ,α α

œ + , -

" + ,

! " -

! !

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quando essa risulta diagonalizzabile.

II M 1) Risolvere il problema: Max/min .

s.v. :

œ 0 Bß C œ B  C

B  C  #B Ÿ !# #

II M 2) Data 0 Bß Cß D œ B  C  BC  #D  D$ $ #, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

II M 3) Sia data 0 Bß C œ B  + BC  + B  , C# # # e sia il versore di @ "ß " . Determinare per quali valori dei parametri e risulta: + , 0 "ß " œ ( e 0 "ß " œ %.

W@ # W#@ @

È

II M 4) Data l'equazione 0 Bß C œ B /  C /C B œ !, che risulta verificata in tutti i punti 5ß  5 , si verifichi se il Teorema del Dini è applicabile in ciascuno dei punti dati, e si cal- colino le derivate prima e seconda della funzione C œ C B definita implicitamente da tale e- quazione.

Settembre 1-05

I M 1) Dopo aver trovato il valore di per il quale 5 #3  5 œ #3, dette , e le radici ter-D D D

"  3 " # $ ze di , si calcoli 5 D  D  D" # $.

I M 2) Date le matrici œ " # e œ " " , si verifichi che e non hanno 

%  " 5 #

ºº ºº ºº ºº

mai gli stessi autovalori, qualunque sia , mentre invece 5    † e † hanno sempre gli stessi autovalori.

I M 3) Data l'applicazione lineare generata dalla matrice  œ ,

" !  " #  #

! " !  & % 7 "  #  " !

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trovare il valore di per il quale la dimensione del Nucleo è pari a , e determinare, in tale7 $ caso, per quale valore di il vettore 5 ˜œ 5ß  "ß $ appartiene all'immagine di tale applica- zione.

I M 4) Data la matrice  œ , si determini una base per lo spazio (o sot-

 $ $  #

# ! #

#  $ "

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tospazio) generato dagli autovettori della matrice.

(4)

II M 1) Data 0 Bß C œ B  C# #, siano @ œ cosαßsenα e A œ cos"ßsen" . Sapendo che α" œ1, si verifichi che W@ A# 0 P! œcost. qualunque siano e e qualunque sia@ A P .!

II M 2) Data 0 Bß Cß D œ B  #C  D  $BC  $CD$ $ $ , se ne trovino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.

II M 3) Risolvere il problema .

Max/min s.v. : Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ B  BC  C B  C  % Ÿ !

#B  C  % Ÿ !

#

II M 4) Data l'equazione 0 Bß C œ B  C  %B  %C œ !$ $ , verificato che è soddisfatta an- che nei punti del tipo C œ  B, si verifichi se in ciascuno di essi sono soddisfatte le ipotesi del teorema del Dini e si calcolino C Bw e C Bww .

Settembre 2-05 I M 1) Trovare le tre soluzioni dell'equazione B  " $ œ 3.

I M 2) Determinare la matrice  œ + + sapendo che "ß " è un autovettore relativo

+ +

¾ ""#" "###¾

all'autovalore - œ " mentre !ß " è un autovettore relativo a - œ #.

I M 3) Date le matrici œ # " " e œ , si determini la relazione che inter-

" # #

" !

! "

" !

ºº ºº

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corre tra gli autovalori della matrice  † e quelli della matrice  † .

I M 4) Dato il sistema lineare , se ne determinino esistenza e

Ú ÛÜ

B  #B  B  B œ "

#B  %B  7 B  #B œ #

$B  'B  $B  5B œ %

" # $ %

" # $ %

" # $ %

numerosità delle soluzioni al variare dei parametri e .7 5 II M 1) Risolvere il problema Max/min .

s.v. :

œ 0 Bß C œ B C

! Ÿ C Ÿ "  B#

II M 2) Risolvere il problema Max/min log log . s.v. :

œ 0 Bß C œ B  C

B  C œ "

II M 3) Dato il sistema œ0 Bß Cß D œ B  C  D œ " e i punti P e 1 Bß Cß D œ B  C  D œ "#$ #$ #$ " œ "ß "ß "

P# œ "ß  "ß  " che lo soddisfano, si determini in quale dei due punti è possibile definire una funzione implicita avente Bß C come variabili dipendenti e di tale funzione si calcolino le derivate nel punto opportuno.

II M 4) Si consideri la composizione di funzioni ‘$ Ä1 ‘# Ä0 ‘ “$, Ä1 —Ä0 ˜, con e 1 0

differenziabili nei punti e “ — . Sapendo che “ e che

! ! " # !

" # $

` B ß B

` > ß > ß > œ # "  "

" ! #

ºº ºº

` C ß C ß C ` C ß C ß C

` B ß B œ ` > ß > ß >

" #

! "

$ "

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" # $ ! " # $ !

" # " # $

— “

, si calcoli . Quali derivate risultano nulle ?

Dicembre 05

I M 1) Calcolare il prodotto delle due radici quadrate del numero $ " .

#  3  #3  "

(5)

I M 2) Data l'applicazione lineare generata dalla matrice  œ , determi-

"  " "

 "  " 7

! " #

" ! 5

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nare una base per il Nucleo ed una base per l'Immagine di tale applicazione lineare, sapendo che la dimensione del Nucleo è pari a ."

I M 3) Dopo aver verificato che la matrice  œ risulta diagonalizzabi-

#  #  %

 " $ %

"  #  $

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le, si verifichi se la matrice che realizza la diagonalizzazione può essere ortogonale.

I M 4) Data la matrice œ , si studi la possibilità di trovare una base di ‘

& $ $

#  # #

!  * #

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$

costituita da autovettori della matrice data.

II M 1) Risolvere il problema Max/min .

s.v. : log log

œ 0 Bß C œ B C  B  "

B  C œ "

II M 2) Data 0 Bß Cß D œ /B C# #ˆ#D  D#‰, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativoÞ

II M 3) Data una funzione 0 Bß C differenziabile due volte, siano ?ß @ e i versori di A "ß ! ß

!ß " e "ß " . Sapendo che W#? @0 P! œ  ", W@ A# 0 P! œ # Ww w# 0 P! œ !, si determini l'Hessiana di 0 Bß C in P .!

II M 4) Data l'equazione 0 Bß C œ $B  #C logB  $logC œ ", si verifichi che con essa si può definire, in un intorno del punto "ß " , una funzione implicita C œ C B , e di questa si determini l'espressione del polinomio di Taylor.

Gennaio 06

I M 1) Dato il numero complesso D œlog#  31 , si calcolino le radici cubiche di A œ /D e si verifichi infine che la somma di queste tre radici è nulla.

I M 2) Determinare i valori del parametro per i quali la matrice 5 œ ammette 5 " "

" 5 "

" " 5

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autovalori multipli.

I M 3) Data la matrice œ , sapendo che —œ "ß "ß  $ß  $

"  " 7  # 7 " " 5

5 $  $ %

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appartiene al Nucleo dell'applicazione lineare generata da , si determini una base ortogonale per l'immagine di tale applicazione.

I M 4) Dopo aver determinato per quali valori di i vettori 5 5ß 5ß ! , 5ß !ß 5 e 5ß 5ß 5 costi- tuiscono una base di ‘$, sapendo che il vettore #ß $ß " ha coordinate "ß  "ß # in tale base, si trovino, sempre in questa base, le coordinate del vettore "ß #ß $ .

II M 1) Data la funzione 0 Bß C œ B  $BC  C# # e dati i due versori @ œ cosαßsenα e A œ cos"ßsen" , sapendo che e sono due angoli complementari, si verifichi cheα "

W#@ A0 P!  !ß aP .!

II M 2) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B /CD  C /BD œ !, si verifichi che in P! œ !ß !ß ! non è definibile come variabile dipendente da D Bß C . Si determini invece quali variabili pos-

(6)

sono essere assunte come variabile dipendente, e si determini l'equazione del piano tangente nel punto opportuno per la funzione implicita definita dall'equazione data.

II M 3) Risolvere il problema Max/min .

s.v. :

œ 0 Bß C œ B C

B  " Ÿ C Ÿ "  B#

II M 4) Data 0 Bß C œ B /5BC# si determini, al variare del parametro , la natura degli even-5 tuali punti stazionari.

Febbraio 1-06

I M 1) Siano B ß B" # e le tre radici dell'equazione B$ B  $B  (B  & œ !$ # . Si calcoli È$ B B B" # $.

I M 2) Dato il sistema lineare se ne determini, al variare dei para- ÚÝ

Ý ÛÝ ÝÜ

B  #B œ  #

7B  B  $B œ  # B  B œ 7

B  7B œ 5

" $

" # $

# $

" #

metri e , esistenza e numerosità delle soluzioni.7 5

I M 3) Data la matrice œ , sapendo che essa ammette l'autovalore -œ ", si

" 5 "

5 " !

" ! 5

â â

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â â

determini se esistono valori del parametro per i quali gli autovalori della matrice hanno tutti5 lo stesso segno.

I M 4) Data la matrice  œ " 5  " , si determini se esistono valori del parametro 5  " 5

ºº ºº

5 per i quali la matrice non risulta diagonalizzabile.

II M 1) Dati il sistema Ú log log ed il punto che

ÛÜ

0 Bß Cß D œ B  C  C  D  B  D œ ! 1 Bß Cß D œ BC  B D  C D  D œ "

%

# #

lo soddisfa Pœ "ß ß "" , si determini quale funzione implicita è possibile definire e di tale Œ #

funzione si calcolino le derivate nel punto opportuno.

II M 2) Risolvere il problema Max/min , limitando lo studio al solo s.v. :

Ú ÛÜ

0 Bß C œ B  C

#

B Ÿ C Ÿ $  B

#

primo quadrante B  !ß C  !.

II M 3) Data 0 Bß C œ B  $5BC  7C# $, si determini, al variare dei parametri e , esi-7 5 stenza e natura dei punti stazionari.

II M 4) Data la composizione di funzioni ‘# Ä2 ‘Ä1 ‘Ä0 ‘#, > ß >" # Ä B Ä C Ä D ß D2 1 0 " # , B œ 2 > ß >" # , C œ 1 B D œ 0 C œ 0 1 2 > ß >" # , con , e differenziabili, sapendo2 1 0

che , d e , si calcoli .

d

` B C ` D ß D ` D ß D

` > ß > œ "  # B œ $ ` C œ # ` > ß >

"

kk kk ºº ºº

" # " #

" # " #

Febbraio 2-06

I M 1) Data la matrice  œ "  5 , dopo aver determinato i valori del parametro 5

#5 "

ºº ºº

per i quali essa ammette come autovalore l'unità immaginaria , si esprimano tali valori di in3 5 forma trigonometrica.

(7)

I M 2) Data la matrice  œ , dopo aver determinato il valore dei parame-

"  " "

 "  " 7

! " #

" ! 5

â â

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â â

tri e per i quali la dimensione del nucleo dell'applicazione lineare generata da è pari a7 5 

", si trovi una base per l'immagine di tale applicazione lineare.

I M 3) Data la matrice  œ , si stabilisca se la matrice risulta diagonalizzabi-

& $ $

#  # #

!  * #

â â

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â â

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â â

le, nel qual caso si trovi anche una matrice che la diagonalizza.

I M 4) Determinare gli autovalori della matrice  œ .

" " ! !

" ! ! !

! ! ! "

" ! " "

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â â

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â â

â â

II M 1) Data 0 Bß C œ B  C  5 B C# # # #, si trovino i suoi punti stazionari e se ne determini la natura al variare di .5

II M 2) Data 0 Bß Cß D œ B C D  B C D  #BC D œ !% # # # # $ $ e dati i punti P! œ !ß !ß ! , P" œ "ß "ß " , P# œ !ß "ß " e P$ œ "ß "ß ! che lo soddisfano, determinare in quale di questi punti è definibile una funzione implicita la cui variabile dipendente può essere scelta in uno ed un solo modo.

II M 3) Risolvere il problema Max/min s.v. :

œ 0 Bß C œ B C  B

B  C Ÿ "# # Þ

II M 4) Data 0 Bß C œ , si determini, mediante la definizione, se essa B  C

B B Á !

! B œ !

Ú ÛÜ

# #

ammette derivate parziali nel punto !ß ! .

Aprile 06

I M 1) Data la matrice  œ , dopo aver determinato i valori (reali o complessi) + ! "

! , !

" ! -

â â

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â â

di +ß , - e per i quali risultaÀ  † œ, si mettano questi in forma trigonometricaÞ

I M 2) Date la matrici œ e œ se ne calcolino gli autovalori

" ! ! ! ! "

! ! " " ! !

! " ! ! " !

â â â â

â â â â

â â â â

â â â â

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â â â â

â â â â

â â â â

â â â â

â â â â

â â â â e

si confrontino poi con quelli delle matrici  † e  † Þ

I M 3) Determinare per quali valori di e il vettore 7 5 ˜œ !ß 5ß  %ß 7 risulta esprimibile come combinazione lineare dei vettori —" œ "ß #ß  "ß " e —# œ #ß "ß 7ß ! .

I M 4) Partendo dal vettore — œ "ß "ß " si costruisca una matrice ortogonale.

II M 1) Risolvere il problema .

Max/min s.v. : Ú

ÛÜ œ

0 Bß C œ C  B B  C  & Ÿ ! B  $C  & Ÿ !

# #

II M 2) Risolvere il problema Max/min .

s.v. : log log

œ 0 Bß C œ B C  B

B  C œ "

II M 3) Data 0 Bß C œ + B  , C# #, sia il versore di @ "ß " . Determinare tutti i punti Bß C per i quali risulta W@0 Bß C œW#@ @0 Bß C œ !.

(8)

II M 4) Dati il sistema œ0 Bß Cß D œ B  #C  $D œ " ed il punto P Œ che 1 Bß Cß D œ $B  #C  D œ " œ "ß !ß"

# #

# # #

# # #

lo soddisfa, si determini quale funzione implicita è possibile definire e di tale funzione si cal- colino le derivate nel punto opportuno.

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