COMPITI DI MATEMATICA per le applicazioni economiche e finanziarie AA. 2004/05
Prova Intermedia Aprile 05 I M 1) Determinare le sei radici dell'equazione B B œ # Þ' $
I M 2) Data la matrice œ , se ne determinino gli autovalori, si veda
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se la matrice è diagonalizzabile e si stabilisca, per ciascun autovalore, una base per il suo au- tospazio.
I M 3) Data la matrice œ , si determini, per ciascuno degli autovalo-
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ri, la relazione che intercorre tra la molteplicità algebrica e quella geometrica.
I M 4) Data la matrice œ , determinare, al variare dei parametri,
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le dimensioni del Nucleo e dell'Immagine dell'applicazione lineare ‘% Ä‘$ da essa generata nei seguenti casi:
.) quando 0 "ß "ß "ß " œ 'ß 'ß # 5 ; ..) quando 0 "ß "ß "ß ! œ %ß !ß % Þ
I M 5) Dati i due vettori perpendicolari —" œ "ß #ß $ e —# œ #ß #ß # , si determini un terzo vettore —$ perpendicolare ad entrambi e, con i loro versori, si costituisca una base di ‘$. Quali sono le coordinate del vettore ˜ œ "ß "ß " in tale base ?
Giugno 1-05
I M 1) Data la matrice œ si determini il valore del parametro per il5
" ! "
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! " 5
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quale la matrice ammette come autovalore l'unità immaginaria .3
I M 2) Data la matrice œ e il vettore ˜œ #ß 'ß 7 , dopo aver de-
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terminato il valore di per il quale la caratteristica della matrice non è massima e il vettore7
˜ appartiene all'Immagine dell'applicazione lineare generata da , si determini una base del- l'Immagine fatta di vettori ortogonali contenente il vettore .˜
I M 3) Dato il sistema lineare , se ne determinino esistenza
Ú ÛÜ
B B B œ "
#B 7 B B 7 B œ 7 B 5 B B 5 B œ 5
" # %
" # $ %
" # $ %
e numerosità delle soluzioni al variare dei parametri e .7 5
I M 4) Data la matrice œ , determinare i valori di per i quali la matrice am-5
5 ! 5
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5 ! 5
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mette un autovalore multiplo e si trovi, in tali casi, una matrice ortogonale che diagonalizza
.
II M 1) Risolvere il problema: Max/min .
s.v. :
œ 0 Bß C œ / /
/ / œ "
#B #C
B C
II M 2) Data 0 Bß C œ B /C e dato P! œ !ß " , determinare tutte le direzioni per le quali@ risulta: PW@0 ! œW#@ @0 P .!
II M 3) Dato il sistema œ0 Bß Cß D œ BCD B C D œ ! e il punto P , si de- 1 Bß Cß D œ /BC /CD /BD œ / ! œ "ß "ß "
termini quale tipo di funzione può essere definita implicitamente e se ne calcolino le derivate nel punto opportuno.
II M 4) Risolvere il problema .
Max/min s.v. : Ú
ÛÜ œ
0 Bß C œ #B C B C Ÿ %
C %B % Ÿ !
#
# #
#
Giugno 2-05
I M 1) Calcolare il prodotto delle radici quarte di D œ " 3 # 3 .
" 3 " 3 3
I M 2) Dato il sottospazio di ’ ‘% generato dalla base e "ß "ß !ß ! ß "ß !ß "ß ! ß "ß !ß !ß " f, de- terminare, risolvendo un opportuno sistema lineare, tutti i vettori di ‘% che risultano perpen- dicolari ad ogni vettore di .’
I M 3) Data la matrice œ , dopo avere verificato che essa ammette uno
# $ %
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stesso autovalore qualunque sia il valore del parametro , si determini per quali valori di es-5 5 sa ammette autovalori multipli e per quali valori ammette autovalori complessi.
I M 4) Trovare le coordinate del vettore nella base — e "ß "ß " ß !ß "ß " ß "ß !ß " f sapendo che le sue coordinate nella base e "ß "ß ! ß "ß "ß " ß !ß "ß " f sono "ß "ß # . II M 1) Sia 0 Bß C differenziabile due volte in tutto ‘#; sapendo che le sue derivate seconde sono tutte uguali a , determinare i valori massimo e minimo di una sua qualunque derivata"
direzionale seconda W@ @# 0 Bß C .
II M 2) Risolvere il problema .
Max/min s.v. : Ú
ÛÜ œ
0 Bß C œ B #C C Ÿ % B
C #B %
#
#
II M 3) Dato il sistema œ0 Bß Cß Dß A œ B C D A BC DA œ ! e considerati i punti 1 Bß Cß Dß A œ BCD CDA B A œ !
$ $
P" œ "ß "ß "ß " , P# œ "ß !ß !ß " e P$ œ !ß "ß "ß ! , si determini se in ciascuno dei tre punti è possibile definire implicitamente una funzione avente sempre le stesse variabili indi- pendenti.
II M 4) Data 0 Bß Cß D œ B B D # C #C #D " D#, se ne determinino gli even- tuali punti di massimo e/o minimo relativo.
Luglio 05
I M 1) Calcolare le radici quadrate di D œ /ˆlog #
‰.
I M 2) Data la matrice œ , si determini il valore di per il quale la5
# # $
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matrice ammette l'autovalore - œ " e si determini se, in tale caso, la matrice risulta diagona- lizzabile.
I M 3) Dato il sistema lineare , se ne determinino esistenza,
Ú ÛÜ
B #B B œ "
#B B 5 B #B œ # 5 B #B )B B œ 5
" $ %
" # $ %
" # $ %
numerosità e forma delle soluzioni al variare del parametro .5
I M 4) Data la matrice si determini, al variare dei parametri , , e ,α α
œ + , -
" + ,
! " -
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quando essa risulta diagonalizzabile.
II M 1) Risolvere il problema: Max/min .
s.v. :
œ 0 Bß C œ B C
B C #B Ÿ !# #
II M 2) Data 0 Bß Cß D œ B C BC #D D$ $ #, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.
II M 3) Sia data 0 Bß C œ B + BC + B , C# # # e sia il versore di @ "ß " . Determinare per quali valori dei parametri e risulta: + , 0 "ß " œ ( e 0 "ß " œ %.
W@ # W#@ @
È
II M 4) Data l'equazione 0 Bß C œ B / C /C B œ !, che risulta verificata in tutti i punti 5ß 5 , si verifichi se il Teorema del Dini è applicabile in ciascuno dei punti dati, e si cal- colino le derivate prima e seconda della funzione C œ C B definita implicitamente da tale e- quazione.
Settembre 1-05
I M 1) Dopo aver trovato il valore di per il quale 5 #3 5 œ #3, dette , e le radici ter-D D D
" 3 " # $ ze di , si calcoli 5 D D D" # $.
I M 2) Date le matrici œ " # e œ " " , si verifichi che e non hanno
% " 5 #
ºº ºº ºº ºº
mai gli stessi autovalori, qualunque sia , mentre invece 5 † e † hanno sempre gli stessi autovalori.
I M 3) Data l'applicazione lineare generata dalla matrice œ ,
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trovare il valore di per il quale la dimensione del Nucleo è pari a , e determinare, in tale7 $ caso, per quale valore di il vettore 5 ˜œ 5ß "ß $ appartiene all'immagine di tale applica- zione.
I M 4) Data la matrice œ , si determini una base per lo spazio (o sot-
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tospazio) generato dagli autovettori della matrice.
II M 1) Data 0 Bß C œ B C# #, siano @ œ cosαßsenα e A œ cos"ßsen" . Sapendo che α" œ1, si verifichi che W@ A# 0 P! œcost. qualunque siano e e qualunque sia@ A P .!
II M 2) Data 0 Bß Cß D œ B #C D $BC $CD$ $ $ , se ne trovino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativo.
II M 3) Risolvere il problema .
Max/min s.v. : Ú
ÛÜ œ
0 Bß C œ B BC C B C % Ÿ !
#B C % Ÿ !
#
II M 4) Data l'equazione 0 Bß C œ B C %B %C œ !$ $ , verificato che è soddisfatta an- che nei punti del tipo C œ B, si verifichi se in ciascuno di essi sono soddisfatte le ipotesi del teorema del Dini e si calcolino C Bw e C Bww .
Settembre 2-05 I M 1) Trovare le tre soluzioni dell'equazione B " $ œ 3.
I M 2) Determinare la matrice œ + + sapendo che "ß " è un autovettore relativo
+ +
¾ ""#" "###¾
all'autovalore - œ " mentre !ß " è un autovettore relativo a - œ #.
I M 3) Date le matrici œ # " " e œ , si determini la relazione che inter-
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corre tra gli autovalori della matrice † e quelli della matrice † .
I M 4) Dato il sistema lineare , se ne determinino esistenza e
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B #B B B œ "
#B %B 7 B #B œ #
$B 'B $B 5B œ %
" # $ %
" # $ %
" # $ %
numerosità delle soluzioni al variare dei parametri e .7 5 II M 1) Risolvere il problema Max/min .
s.v. :
œ 0 Bß C œ B C
! Ÿ C Ÿ " B#
II M 2) Risolvere il problema Max/min log log . s.v. :
œ 0 Bß C œ B C
B C œ "
II M 3) Dato il sistema œ0 Bß Cß D œ B C D œ " e i punti P e 1 Bß Cß D œ B C D œ "#$ #$ #$ " œ "ß "ß "
P# œ "ß "ß " che lo soddisfano, si determini in quale dei due punti è possibile definire una funzione implicita avente Bß C come variabili dipendenti e di tale funzione si calcolino le derivate nel punto opportuno.
II M 4) Si consideri la composizione di funzioni ‘$ Ä1 ‘# Ä0 ‘ “$, Ä1 —Ä0 ˜, con e 1 0
differenziabili nei punti e “ — . Sapendo che “ e che
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` B ß B
` > ß > ß > œ # " "
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` C ß C ß C ` C ß C ß C
` B ß B œ ` > ß > ß >
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, si calcoli . Quali derivate risultano nulle ?
Dicembre 05
I M 1) Calcolare il prodotto delle due radici quadrate del numero $ " .
# 3 #3 "
I M 2) Data l'applicazione lineare generata dalla matrice œ , determi-
" " "
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nare una base per il Nucleo ed una base per l'Immagine di tale applicazione lineare, sapendo che la dimensione del Nucleo è pari a ."
I M 3) Dopo aver verificato che la matrice œ risulta diagonalizzabi-
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le, si verifichi se la matrice che realizza la diagonalizzazione può essere ortogonale.
I M 4) Data la matrice œ , si studi la possibilità di trovare una base di ‘
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costituita da autovettori della matrice data.
II M 1) Risolvere il problema Max/min .
s.v. : log log
œ 0 Bß C œ B C B "
B C œ "
II M 2) Data 0 Bß Cß D œ /B C# #ˆ#D D#‰, se ne determinino gli eventuali punti di massimo e/o minimo relativoÞ
II M 3) Data una funzione 0 Bß C differenziabile due volte, siano ?ß @ e i versori di A "ß ! ß
!ß " e "ß " . Sapendo che W#? @0 P! œ ", W@ A# 0 P! œ # Ww w# 0 P! œ !, si determini l'Hessiana di 0 Bß C in P .!
II M 4) Data l'equazione 0 Bß C œ $B #C logB $logC œ ", si verifichi che con essa si può definire, in un intorno del punto "ß " , una funzione implicita C œ C B , e di questa si determini l'espressione del polinomio di Taylor.
Gennaio 06
I M 1) Dato il numero complesso D œlog# 31 , si calcolino le radici cubiche di A œ /D e si verifichi infine che la somma di queste tre radici è nulla.
I M 2) Determinare i valori del parametro per i quali la matrice 5 œ ammette 5 " "
" 5 "
" " 5
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autovalori multipli.
I M 3) Data la matrice œ , sapendo che —œ "ß "ß $ß $
" " 7 # 7 " " 5
5 $ $ %
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appartiene al Nucleo dell'applicazione lineare generata da , si determini una base ortogonale per l'immagine di tale applicazione.
I M 4) Dopo aver determinato per quali valori di i vettori 5 5ß 5ß ! , 5ß !ß 5 e 5ß 5ß 5 costi- tuiscono una base di ‘$, sapendo che il vettore #ß $ß " ha coordinate "ß "ß # in tale base, si trovino, sempre in questa base, le coordinate del vettore "ß #ß $ .
II M 1) Data la funzione 0 Bß C œ B $BC C# # e dati i due versori @ œ cosαßsenα e A œ cos"ßsen" , sapendo che e sono due angoli complementari, si verifichi cheα "
W#@ A0 P! !ß aP .!
II M 2) Data l'equazione 0 Bß Cß D œ B /CD C /BD œ !, si verifichi che in P! œ !ß !ß ! non è definibile come variabile dipendente da D Bß C . Si determini invece quali variabili pos-
sono essere assunte come variabile dipendente, e si determini l'equazione del piano tangente nel punto opportuno per la funzione implicita definita dall'equazione data.
II M 3) Risolvere il problema Max/min .
s.v. :
œ 0 Bß C œ B C
B " Ÿ C Ÿ " B#
II M 4) Data 0 Bß C œ B /5BC# si determini, al variare del parametro , la natura degli even-5 tuali punti stazionari.
Febbraio 1-06
I M 1) Siano B ß B" # e le tre radici dell'equazione B$ B $B (B & œ !$ # . Si calcoli È$ B B B" # $.
I M 2) Dato il sistema lineare se ne determini, al variare dei para- ÚÝ
Ý ÛÝ ÝÜ
B #B œ #
7B B $B œ # B B œ 7
B 7B œ 5
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" # $
# $
" #
metri e , esistenza e numerosità delle soluzioni.7 5
I M 3) Data la matrice œ , sapendo che essa ammette l'autovalore -œ ", si
" 5 "
5 " !
" ! 5
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determini se esistono valori del parametro per i quali gli autovalori della matrice hanno tutti5 lo stesso segno.
I M 4) Data la matrice œ " 5 " , si determini se esistono valori del parametro 5 " 5
ºº ºº
5 per i quali la matrice non risulta diagonalizzabile.
II M 1) Dati il sistema Ú log log ed il punto che
ÛÜ
0 Bß Cß D œ B C C D B D œ ! 1 Bß Cß D œ BC B D C D D œ "
%
# #
lo soddisfa Pœ "ß ß "" , si determini quale funzione implicita è possibile definire e di tale Œ #
funzione si calcolino le derivate nel punto opportuno.
II M 2) Risolvere il problema Max/min , limitando lo studio al solo s.v. :
Ú ÛÜ
0 Bß C œ B C
#
B Ÿ C Ÿ $ B
#
primo quadrante B !ß C !.
II M 3) Data 0 Bß C œ B $5BC 7C# $, si determini, al variare dei parametri e , esi-7 5 stenza e natura dei punti stazionari.
II M 4) Data la composizione di funzioni ‘# Ä2 ‘Ä1 ‘Ä0 ‘#, > ß >" # Ä B Ä C Ä D ß D2 1 0 " # , B œ 2 > ß >" # , C œ 1 B D œ 0 C œ 0 1 2 > ß >" # , con , e differenziabili, sapendo2 1 0
che , d e , si calcoli .
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` B C ` D ß D ` D ß D
` > ß > œ " # B œ $ ` C œ # ` > ß >
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Febbraio 2-06
I M 1) Data la matrice œ " 5 , dopo aver determinato i valori del parametro 5
#5 "
ºº ºº
per i quali essa ammette come autovalore l'unità immaginaria , si esprimano tali valori di in3 5 forma trigonometrica.
I M 2) Data la matrice œ , dopo aver determinato il valore dei parame-
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" ! 5
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tri e per i quali la dimensione del nucleo dell'applicazione lineare generata da è pari a7 5
", si trovi una base per l'immagine di tale applicazione lineare.
I M 3) Data la matrice œ , si stabilisca se la matrice risulta diagonalizzabi-
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le, nel qual caso si trovi anche una matrice che la diagonalizza.
I M 4) Determinare gli autovalori della matrice œ .
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II M 1) Data 0 Bß C œ B C 5 B C# # # #, si trovino i suoi punti stazionari e se ne determini la natura al variare di .5
II M 2) Data 0 Bß Cß D œ B C D B C D #BC D œ !% # # # # $ $ e dati i punti P! œ !ß !ß ! , P" œ "ß "ß " , P# œ !ß "ß " e P$ œ "ß "ß ! che lo soddisfano, determinare in quale di questi punti è definibile una funzione implicita la cui variabile dipendente può essere scelta in uno ed un solo modo.
II M 3) Risolvere il problema Max/min s.v. :
œ 0 Bß C œ B C B
B C Ÿ "# # Þ
II M 4) Data 0 Bß C œ , si determini, mediante la definizione, se essa B C
B B Á !
! B œ !
Ú ÛÜ
# #
ammette derivate parziali nel punto !ß ! .
Aprile 06
I M 1) Data la matrice œ , dopo aver determinato i valori (reali o complessi) + ! "
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di +ß , - e per i quali risultaÀ † œ, si mettano questi in forma trigonometricaÞ
I M 2) Date la matrici œ e œ se ne calcolino gli autovalori
" ! ! ! ! "
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si confrontino poi con quelli delle matrici † e † Þ
I M 3) Determinare per quali valori di e il vettore 7 5 ˜œ !ß 5ß %ß 7 risulta esprimibile come combinazione lineare dei vettori —" œ "ß #ß "ß " e —# œ #ß "ß 7ß ! .
I M 4) Partendo dal vettore — œ "ß "ß " si costruisca una matrice ortogonale.
II M 1) Risolvere il problema .
Max/min s.v. : Ú
ÛÜ œ
0 Bß C œ C B B C & Ÿ ! B $C & Ÿ !
# #
II M 2) Risolvere il problema Max/min .
s.v. : log log
œ 0 Bß C œ B C B
B C œ "
II M 3) Data 0 Bß C œ + B , C# #, sia il versore di @ "ß " . Determinare tutti i punti Bß C per i quali risulta W@0 Bß C œW#@ @0 Bß C œ !.
II M 4) Dati il sistema œ0 Bß Cß D œ B #C $D œ " ed il punto P Œ che 1 Bß Cß D œ $B #C D œ " œ "ß !ß"
# #
# # #
# # #
lo soddisfa, si determini quale funzione implicita è possibile definire e di tale funzione si cal- colino le derivate nel punto opportuno.