Nicola Pellicanò

Nicola Pellicanò

March 21, 2013

1.+∞

P

n=1

ne⁻ⁿ²

Conviene usare il criterio integrale o quello della radice o quello del rapporto.

Eseguo lo svolgimento dei primi due:

CRITERIO INTEGRALE

Occorre vericare le ipotesi > f(x) = xe^−x2 è sicuramente positiva e con- tinua. Devo vericare la non-crescenza. Ricordiamo da Analisi 1 che per studi- are l'andamento ne facciamo la derivata.

f⁰(x) = e^−x2 + x · (−2x)e^−x2 = e^−x2(1 − 2x²) > 0 ⇒ (1 − 2x²) > 0 =⇒

−^√1

2 < x < ^√1

2

La funzione non è non-crescente MA(!!!!) dal valore 1 in poi lo è! ed a noi interessa proprio integrare da lì! Quindi il criterio integrale è in denitiva AP- PLICABILE. (perdonate lo scarso formalismo matematico nel trattare il +inf)

+∞´

1

xe^−x2dx =h

−¹₂e^−x2i

+∞

1 = _2e¹ -> L'integrale improprio converge ⇒La serie converge

CRITERIO DELLA RADICE

n→+∞lim

√n

ne⁻ⁿ² = lim

n→+∞

√n

nⁿ

√

e⁻ⁿ² = lim

n→+∞1 · e⁻ⁿ= 0 < 1 =⇒la serie con- verge

1

si tenga sempre a mente lim

n→+∞

√n

n = 1perchè spesso non viene in mente di fare il criterio della radice perche non si sa semplicare questa cosa qua, quando abbiamo visto che in questo caso era abbastanza più veloce.

2. ^+∞P

n=0 (−1)ⁿ

n!

Criterio di Leibniz:

n→+∞lim

1

n! = 0, ok

1 n!

n≥0non-crescente, ovviamente vero.

Verica di non-crescenza:

bn+1≤ bn→ _(n+1)!¹ ≤ _n!¹ ⇒ n! ≤ (n + 1)!, vero per tutti gli n La serie è in denitiva convergente

Per calcolare la stima ricorriamo alla formula |s − sn| ≤ bn+1≤₁₀₀¹

1

(n+1)! ≤₁₀₀¹ ⇒ (n + 1)! ≥ 100 ⇒ n ≥ 4 Scegliamo n=4

s₄= 1 − 1 +¹₂−¹₆+₂₄¹ = ³₈

3. ^+∞P

n=2 1 (log(n))^n/2

CRITERIO DELLA RADICE

n→+∞lim

1

√n

(log(n))^n/2 = lim

n→+∞

1

(log(n))^1/2 = 0 < 1 =⇒La serie converge

4. ^+∞P

n=5

√1

n, armonica generalizzata con α = 1/2 =⇒La serie diverge 5. ^+∞P

n=1 1 n²+√

n

CONFRONTO ASINTOTICO

1 n²+√

n ' _n¹2 =⇒La serie converge

6. ^+∞P

n=0 2n² 1+4ⁿ

CRITERIO DEL RAPPORTO

n→+∞lim

2(n+1)²

1+4ⁿ⁺¹ · ¹⁺⁴_2n2ⁿ = lim

n→+∞

2(n+1)²

2n² · _1+4·4¹⁺⁴ⁿ_n = lim

n→+∞1 ·⁴₄ⁿ_n⁽₍⁴ⁿ¹1⁺¹⁾

4n+4) = ¹₄ <

1 =⇒La serie converge

2

7. ^+∞P

n=1 1

(1+a)ⁿ, a parametro reale

Si tratta di una serie geometrica, quindi (ricordandone la denizione) imponi- amo:

Serie convergente per −1 < _1+a¹ < 1 =⇒ a < −2 ∨ a > 0 Serie divergente per _1+a¹ ≥ 1 =⇒ −1 < a ≤ 0 Serie indeterminata per _1+a¹ ≤ −1 =⇒ −2 ≤ a < −1

ATTENZIONE ADESSO! L'esercizio vuole a anchè la somma faccia 1/3! Ma quella serie geometrica non parte da 0! Dobbiamo imporre:

+∞

P

n=1 1 (1+a)ⁿ =

+∞

P

n=0 1

(1+a)ⁿ−_(1+a)¹ 0 =₁₋¹1 1+a

− 1 = ¹₃ Risolvendo l'equazione di destra viene a=3.

N.B Si deve controllare se a=3 è un valore che rende la serie eettivamente convergente, e siccome è così,

la soluzione è accettabile.

8. ^+∞P

n=1 1 5ⁿn

CRITERIO DELLA RADICE (quello del rapporto è facile lo stesso)

n→+∞lim

1

√n

5ⁿn = lim

n→+∞

1

n√ n√ⁿ

5ⁿ = ¹₅ < 1 =⇒La serie converge 9. ^+∞P

n=1

sin(nπ+^π₂)

√n =

+∞

P

n=1 cos(nπ)

√n =

+∞

P

n=1 (−1)ⁿ

√n

Usiamo il criterio di Leibniz:

n→+∞lim

√1

n = 0, ok n√1

n

o

n≥1

non − crescente, ok=⇒La serie converge

10. ^+∞P

n=1

√1 n2ⁿ

CRITERIO DEL RAPPORTO(quello della radice è facile lo stesso) lim

n→+∞

√ 1

n+12ⁿ⁺¹ ·√

n2ⁿ= ¹₂ < 1converge

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