Coordinate curvilinee; integrazione
Antonino Polimeno
Universit`a degli Studi di Padova
Coordinate curvilinee - 1
x = x (q1, q2, q3) q1= q1(x , y , z) y = y (q1, q2, q3) q2= q2(x , y , z) z = z(q1, q2, q3) q3= q3(x , y , z)
Ad ogni superficie qi = costante possiamo associare un versore ei
perpendicolare; un generico vettore si scrive come v = v1e1+ v2e2+ v3e3
possiamo scrivere
dx = ∂x
∂q1dq1+ ∂x
∂q2dq2+ ∂x
∂q3dq3
dy = ∂y
∂q1dq1+ ∂y
∂q2dq2+ ∂y
∂q3dq3
dz = ∂z
∂q1
dq1+ ∂z
∂q2
dq2+ ∂z
∂q3
dq3
Coordinate curvilinee - 2
Assumiamo che il quadrato della distanza infinitesima fra due punti sia una forma quadratica:
ds2 =X
ij
gijdqidqj
Il quadrato della distanza infinitesima fra due punti `e ds2= dx2+ dy2+ dz2, quindi
gij = ∂x
∂qi
∂x
∂qj
+ ∂y
∂qi
∂y
∂qj
+ ∂z
∂qi
∂z
∂qj
i coefficienti gij formano il tensore metrico del sistema di coordinate (q1, q2, q3). Se il sistema `e ortogonale
gij = h2iδij
e quindi ds2 = ds12+ ds22+ ds32 con ds1 = hidqi
Coordinate curvilinee - 3
I Vettore d r e integrale di linea
d r = ds1e1+ ds2e2+ ds3e3= h1dq1e1+ h2dq2e2+ h3dq3e3
Z
v · d r = X
i
Z vihidqi
I Elemento di superficie e integrale di superficie
d σij = dsidsj= hihjdqidqj
d σ = ds2ds3e1+ ds3ds1e2+ ds1ds2e3=
= h2h3dq2dq1e1+ h3h1dq3dq1e2+ h1h2dq1dq2e3
Z
v · d σ = Z
v1h2h3dq2dq3+ Z
v2h3h1dq3dq1+ Z
v3h1h2dq1dq2
I Elemento di volume e integrale di volume
dv = ds1ds2ds3= h1h2h3dq1dq2dq3
Z
f (q1, q2, q3)dv = Z
h1h2h3f (q1, q2, q3)dq1dq2dq3
Operatori differenziali
I Gradiente: somma vettoriale dei vettori perpendicolari a qi = costante
∇f (q1, q2, q3) =X
i
ei∂f
∂si =X
i
ei 1 hi
∂f
∂qi
I Divergenza : dal teorema di Gauss
∇ · v = 1 h1h2h3
∂
∂q1
(v1h2h3) + ∂
∂q2
(v2h3h1) + ∂
∂q3
(v3h1h2)
I Rotore : dal teorema di Stokes
∇ × v = 1 h1h2h3
h1e1 h2e2 h3e3
∂
∂q1
∂
∂q2
∂
∂q3
h1v1 h2v2 h3v3
Coordinate cartesiane
Per le coordinatecartesiane : hx = hy = hz = 1
∇f = x∂f
∂x + y∂f
∂y + z∂f
∂z
∇ · v = ∂vx
∂x +∂vy
∂y +∂vz
∂z
∇2f = ∂2f
∂x2 + ∂2f
∂y2 +∂2f
∂z2
∇ × v =
x y z
∂
∂x ∂
∂y ∂
∂z vx vy vz
Coordinate cilindriche
Coordinate cilindriche: ρ =p
x2+ y2, φ = arctan yx, z. Quindi:
hρ= 1, hφ= ρ, hz = 1.
∇f = ρ∂f
∂ρ+ φ1 ρ
∂f
∂φ + z∂f
∂z
∇ · v = 1 ρ
∂
∂ρ(ρvρ) + 1 ρ
∂vφ
∂φ + ∂vz
∂z
∇2f = 1 ρ
∂
∂ρ
ρ∂f
∂ρ
+ 1
ρ2
∂2f
∂φ2 +∂2f
∂z2
∇ × v = 1 ρ
ρ ρφ z
∂
∂ρ ∂
∂φ ∂
∂z vρ ρvφ vz
Coordinate sferiche
Coordinate sferiche: r =p
x2+ y2+ z2, θ = arccos zr, φ = arctan yx. Quindi: hr = 1, hθ = r , hφ= r sin θ.
∇f = r∂f
∂r +θ r
∂f
∂θ + 1 r sin θφ∂f
∂θ
∇ · v = 1
r2sin θ
sin θ ∂
∂r(r2vr) + r ∂
∂θ(sin θvθ) + r∂vφ
∂φ
∇2f = 1
r2sin θ
sin θ ∂
∂r
r2∂f
∂r
+ r ∂
∂θ
sin θ∂f
∂θ
+ 1
sin θ
∂2f
∂φ2
∇ × v = 1
r2sin θ
r r θ r sin θφ
∂
∂r ∂
∂θ ∂
∂φ vr rvθ r sin θvφ
L’atomo di idrogeno - 1
L’hamiltoniano del sistema `e:
H = −ˆ ~2
2µ∇ˆ2− e2 4π0
1 r
dove µ `e la massa ridotta e il secondo termine `e il potenziale coulombiano attrattivo tra il nucleo con carica +e e l’elettrone con carica −e a distanza r .
I Il potenziale `e a simmetria radiale.
I introduzione di coordinate sferiche
I fattorizzazione della funzione d’onda in una parte angolare dipendente da θ e φ e in una parte radiale dipendente da r ;
ΨE(r , θ, φ) = R(r )Ylml(θ, φ)
L’atomo di idrogeno - 2
Sostituendo nell’Eq. di Schr¨odinger:
1 r2
d drr2dR
dr −l (l + 1)
r2 R + 2m
~2
E + e2 4π0
1 r
R = 0 Lo spettro degli autovalori sar`a discreto per E < 0, e continuo per E > 0. Gli autostati e le autoenergie dell’atomo di idrogeno a riposo sono:
Ψn,l ,ml(r , θ, φ) = Rnl(r )Ylml(θ, φ) dove le funzioni radiali Rnl sono
Rnl = − 2 na
(n − l − 1)!
2n [(n + l )!]3ρlL2l +1n+l (ρ) exp(−ρ/2) e gli autovalori corrispondenti sono
En,l ,ml = − µe4 32π220~2
1 n2 dove ρ = 2r /na ed a = 4π0~2/µe2.
La molecola di idrogeno ionizzato - 1
Considereremo il sistema molecolare H+2. Gli autostati e i livelli energetici della molecola di idrogeno ionizzata saranno in generale funzioni parametriche di R, distanza internucleare. Per R → 0 la molecola diviene l’atomo di elio ionizzato, ed i suoi orbitali e stati energetici sono quelli di un atomo idrogenoide con Z = 2. Per R → ∞ la molecola diviene equivalente alla coppia H+ + H.
Scriviamo l’equazione di Schr¨odinger (parte elettronica) nella forma
−1
2∇ˆ2− 1 rA − 1
rB
Ψ = E Ψ L’energia di un autostato elettronico `e data in funzione dell’autovalore E come
Eel = E + 1 R
La molecola di idrogeno ionizzato - 2
Introduciamo lecoordinate ellissoidali µ, ν e l’angolo azimutale φ relativo alla rotazione intorno all’asse internucleare; valgono le relazioni dirette ed inverse:
µ = rA+ rB/R ν = rA− rB/R
x =
q
(µ2− 1)(1 − ν2)/R cos φ
y =
q
(µ2− 1)(1 − ν2)/R sin φ
z = µνR/2
con µ ≥ 1, −1 ≤ ν ≤ 1; µ descrive gli ellissoidi di rivoluzione aventi come fuochi i nuclei, mentre ν descrive gli iperboloidi confocali di rivoluzione. Il laplaciano pu`o essere espresso in queste coordinate nella forma:
∇ˆ2= 4 R2(µ2− ν2)
"
∂
∂µ(µ2− 1)∂
∂µ+ ∂
∂ν(1 − ν2)∂
∂ν+ ∂
∂φ
(µ2− ν2) (µ2− 1)(1 − ν2)
∂
∂φ
#
La molecola di idrogeno ionizzato - 3
Sostituendo nell’equazione di Schr¨odinger, si ottiene un’equazione differenziale separabile, cio`e ponendo
Ψ(µ, ν, φ) = M(µ)N(ν)F (φ) si trovano le tre equazioni separate:
d
d µ(µ2− 1) d
d µ − µ2+ 2Rµ − λ2 ν2− 1+ κ
M(µ) = 0
d
d ν(1 − ν2) d
d ν + ν2+ λ2 1 − ν2 − κ
N(ν) = 0 d2
d φ2 + λ2
!
F (φ) = 0
λ e κ sono costanti di separazione, mentre = −R2E /2. In particolare, λ `e il numero quantico associato con la componente del momento angolare elettronico lungo l’asse internucleare, ed assume i valori 0, ±1, ±2, . . ..
La molecola di idrogeno ionizzato - 4
I L’autovalore E dipende da λ2, ovvero `e presente una doppia degenerazione dovuta all’equivalenza delle due direzioni di rotazione attorno all’asse.
I I valori permessi di κ e sono determinabili numericamente.
I In generale i vari stati, doppiamente degeneri, di H+2 sono simboleggiati da una notazione del tipo nl αu,g dove: n ed l sono riferiti ai numeri quantici dell’orbitale atomico
idrogenoide, cui l’orbitale molecolare tende per R → 0
I α `e un una lettera greca σ, π, δ, φ, . . . corrispondente a
|λ| = 0, 1, 2, 3, . . .; u o g corrispondono alla simmetria dell’orbitale molecolare rispetto all’operazione di inversione rispetto al punto centrale tra i nuclei - si pu`o dimostrare che l’orbitale molecolare cambia di segno (u) o resta invariato (g ) rispetto questa operazione di simmetria.
Integrali
L’integrale indefinito
F (x ) = Z
f (x )dx
`
e una possibile soluzione dell’equazione differenziale dF dx = f I =
Z b
a
f (x )dx
`
e un numero, definito come F (b) − F (b), interpretabile geometricamente come l’area sottesa dalla curva y = f (x ) nell’intervallo [a, b].
Integrali multipli
Data una funzione f (x) definita per semplicit`a in Rn ed un dominio D ⊆ Rn, definiamo l’integrale multiplo I come
I = Z
x∈D
f (x)dxn
indichiamo semplicemente con dxn il prodotto dx1, . . . xn. Gli integrali multipli in R2 e R3 sono detti rispettivamente integrali doppi e tripli
I = Z
x∈D
f (x)dx2= Z Z
x∈D
f (x)dx1dx2
I = Z
x∈D
f (x)dx3= Z Z Z
x∈D
f (x)dx1dx2dx3
Integrali generalizzati
Un integrale generalizzato `e definito come il limite di un integrale definito.
1. Siano a e b reali tali che a < b, e la funzione sia f definita in ]a, b] ; f sia invece illimitata in un intorno (destro) di a, cio`e in pratica tende all’infinito per x → a+; allora si dice che f `e integrabile in senso generalizzato se esiste
I = lim
α→a+
Z b
α
f (x )dx
se I `e finito l’integrale converge, altrimenti se I → ∞ l’integrale diverge.
2. Se f `e per esempio definita in ] − ∞, b]
I = lim
α→−∞
Z b
α
f (x )dx in pratica di solito si scrive semplicementeRb
a f (x )dx , Rb
−∞f (x )dx .
Esempi
I Consideriamo una sostanza a pressione costante, ad una data temperatura Ti. L’entropia a una temperatura Tf `e
S (Tf) = S (Ti) +
N
X
n=1
"
Z Tn
Tn−1
Cp n(T )
T dT + ∆Hn
Tn
# +
+ Z Tf
TN
Cp N+1(T )
T dT
I Il coefficiente di fugacit`a di una gas reale `e ln γ =
Z pmis
0
Z − 1 p
dp T cost.
I L’elemento di matrice dell’hamiltoniano della molecola H+2 rispetto a due orbitali atomici 1s centrati sui due nuclei A, B `e
H1sA,1sB = Z ∞
0
dr Z π
0
d θsinθ Z 2π
0
d φ1sA(r , θ, φ) ˆH1sB(r , θ, φ)
Integrali elementari
f (x ) F (x ) xa xa+1a+1 a 6= 1
1
x ln x
ax ln aax sin x − cos x
cos x sin x
1
sin2x − cot x
1
cos2x − tan x
1
1+x2 arctan x
√ 1
1−x2 arcsin x
Integrazione per parti
Se f e g sono due funzioni generiche e G `e l’integrale di g : Z
f (x )g (x )dx = f (x )G (x ) − Z
f0(x )G (x )dx dato che (fG )0 = fg + f0G .
L’integrazione per parti `e utile con integrali del tipo Z
xneaxdx Z
xnsin bx Z
xncos bx
Cambio di variabili - 1
Per un generico integrando f (x ), supponiamo di cambiare la variabile indipendente esprimendola in funzione di un’altra variabile, x = x (q), da cui dx = dxdqdq. L’integrale indefinito generico diventa
I = Z
f (x )fx = Z
f [x (q)]dx dqdq =
Z
g (q)dq dove g (q) = f [x (q)]x0(q). Nel caso di integrali multipli, la trasformazione di variabili richiede l’introduzione dello jacobiano.
poniamo x1 = x1(q1, . . . , qn), . . . , xn= xn(q1, . . . , qn) ovvero x = x(q). L’integrale diventa
I = Z
q∈D0
f [x(q)]|J|d q
Cambio di variabili - 2
D0 `e il dominio corrispondente a D, ma nello spazio q, mentre J `e il determinante della matrice delle derivate prime di x = x(q), detto appunto jacobiano
J = ∂x
∂q =
∂x1
∂q1
∂x2
∂q1 . . . ∂xn
∂q1
∂x1
∂q2
∂x2
∂q2 . . . ∂xn
∂q2 . . . .
∂x1
∂qn
∂x2
∂qn . . . ∂xn
∂qn
Funzioni razionali - 1
Dati due generici polinomi A(x ) e B(x ), consideriamo l’integrale I =
Z b a
A(x ) B(x )dx
I se il grado di A `e maggiore di quello di B possiamo scrivere la funzione integranda come la somma di un polinomio e di una funzione razionale di due polinomi, in cui il polinomio al numeratore ha un grado minore di quello al denominatore.
I Quindi l’integrazione della funzione A/B si pu`o ricondurre ad un integrale triviale (integrando polinomiale) sommato all’integrale di una funzione razionalecon grado del numeratore inferiore al grado del denominatore.
Assumeremo quindi che il grado di A sia minore di quello di B.
Si dimostra che
B(x ) = b0(x −α1)p1. . . (x −αm)pm(x2+β1x +γ1)q1. . . (x2+βnx +γn)qn dove p1+ . . . + pm+ 2q1+ . . . + 2qn `e uguale al grado di B.
Quindi A/B si pu`o scrivere A(x )
B(x ) = A(1)1 x − α1
+ A(1)2
(x − α1)2 + . . . + A(1)p1
(x − α1)p1 + . . . + A(m)1
x − αm + A(m)2
(x − αm)2 + . . . + A(m)pm
(x − αm)pm + + B1(1)x + C1(1)
x2+ β1x + γ1 + B2(1)x + C2(1)
(x2+ β1x + γ1)2 + . . . + Bq(1)1 x + Cq(1)1
(x2+ β1x + γ1)q1 + . . . + B1(n)x + C1(n)
x2+ βnx + γn + B2(n)x + C2(n)
(x2+ βnx + γn)2 + . . . + Bq(n)n x + Cq(n)n
(x2+ βnx + γn)qn + . . .
Integrazione numerica - 1
I Dividiamo l’intervallo [a, b] in sottointervalli
[x1= a, x2], [x2, x3], . . . , [xn−1, xn= b] ciascuno della stessa lunghezza h,
I Approssiamo l’arco della funzione f (x ) in ciascun intervallo con una retta che va dal punto (xi, f (xi) = fi) al punto (xi +1, f (xi +1) = fi +1)
I l’integrale pu`o essere approssimato alla somma delle aree dei trapezi adiacenti cos`ı formati.
I = h f1
2 + f2+ . . . + fn−1+fn 2
Integrazione numerica - 2
I Possiamo utilizzare schemi pi`u complessi, per esempio considerare terne successive, invece di coppie successive di punti, trovare la parabola che passa per essi ed integrare in ciascun intervallo [xi −1, xi +1].
In questo caso si trova I = h f1
3 +4f2
3 +2f3
3 + . . . +2fn−2
3 + 4fn−1
3 +fn
3
I L’algoritmo pi`u comune (detto diRomberg) costruisce approssimazioni successive all’integrale aumentando via via l’ordine del polinomio interpolante, fino a convergenza.