Sistemi di coordinate curvilinee (1)

Sistemi di coordinate curvilinee (1)

• Un sistema di coordinate curvilinee (u

₁

, u

₂

, u

₃

) nello spazio R

³

è definito, con riferimento ad un sistema cartesiano, da 3 funzioni del tipo:

con riferimento ad un sistema cartesiano, da 3 funzioni del tipo:

) u , u , (u z) y, (x,

: →

_{1 2 3}

La funzione vettoriale: u

⎪ ⎧ = u ₁ u ₁ ( x , y , z )

3 2 1

si dirà un cambiamento di coordinate.

⎪ ⎩

⎪ ⎨

=

=

) , , (

) , , (

3 3

2 2

z y x u u

z y x u u

• In modo analogo, si definisce il cambiamento di coordinate inverso:

z) y, (x,

) u , u , (u

:

_{1 2 3}

→

⎪ r

⎨

⎧

=

=

) (

) , ,

( _{1 2 3} u u u y y

u u u x x

⎪ ⎩

⎨

=

=

) , , (

) , , (

3 2 1

3 2 1

u u u z z

u

u

u

y

y

Sistemi di coordinate curvilinee (2)

Chiameremo superfici coordinate le superfici di equazione u

_i

=costante:

⎧ ( )

Su una superficie coordinata variano solo 2 coordinate

⎪

⎪ ⎨

⎧

=

=

2 2

1 1

) , , (

) , , (

c z

y x u

c z

y x u

Chiameremo linee coordinate le 3 linee che si ottengono intersecando a 2 a 2

⎪ ⎩ u ₃ ( x , y , z ) = c ₃

le 3 superfici coordinate. Lungo tali linee varia solo una coordinata u

_i

.

Chiameremo infine versori fondamentali relativi al

( )

generico punto P di coordinate (u

₁

, u

₂

, u

₃

) i versori tangenti alle tre linee coordinate

passanti per P, nel punto P stesso

ds₁

u ˆ

₁

, u ˆ

₂

, u ˆ

₃

Un sistema di coordinate curvilinee (u

₁

, u

₂

, u

₃

), si dice ortogonale se i versori u ˆ

₁

, u ˆ

₂

, u ^ˆ

₃

passanti per P, nel punto P stesso

ds₃ ds₂

sono mutuamente ortogonali in ogni punto.

sistema ortogonale destrorso

Se inoltre u ˆ

1

× u ˆ

2

= u ˆ

3

Sistemi di coordinate curvilinee (3)

Si noti che i versori fondamentali sono in generale delle funzioni del punto!!!

⎧ ˆ ˆ ( ) ˆ ( )

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

=

=

) u u ˆ (u

ˆ (P) ˆ

) u , u , u ˆ ( ˆ (P)

ˆ

) u , u , u ˆ ( P) ˆ (

ˆ

3 2 1 1 1

1

3 2 1 1 1

1

u u

u

u u

u

u u

u

Le quantità:

⎪ ⎩ u ₁ = u ₁ (P) = u ₁ (u ₁ , u ₂ , u ₃ )

2 2

2

1,2,3 i

u z u

y u

x h u

2

i 2

i 2

i i

i

⎟⎟ ⎠ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

∂

= ∂ r

sono dette coefficienti metrici Si può dimostrare che risulta: p

1,2,3 i

u

h ˆ 1

i i

i =

∂

= ∂ r u

con

i i

z 3 2 1 y

3 2 1 x

3 2

1 , u , u ) ˆ y(u , u , u ) ˆ z(u , u , u ) ˆ

x(u i i i

r = + +

Sistemi di coordinate curvilinee (4)

Se si incrementa la coordinata u

_i

di un du

_i

, senza variare le altre 2, P si

sposterà di un arco elementare di lunghezza ds

_i,i,

, in generale non uguale a du

_i

(come in coordinate cartesiane), ma ad esso proporzionale!

Archi elementari lungo le 3 linee coordinate:

Archi elementari lungo le 3 linee coordinate:

I 3 archi individuano una cella elementare o parallelepipedo elementare di cui

1,2,3 i

u

s _i = h _i d _i = d

I 3 archi individuano una cella elementare, o parallelepipedo elementare, di cui essi formano 3 spigoli. Area delle facce:

⎪ ⎧ d S

₁

= ds

₂

ds

₃

= h

₂

h

₃

d u

₂

d u

₃

⎪ ⎩

⎪ ⎨

=

=

=

=

2 1 2 1 2

1 3

3 1 3 1 3

1 2

u u S

u u S

d d h h ds

ds d

d d h h ds

ds d

Volume del parallelepipedo elementare:

(i)

L f l (i) è i l il ll i l i di i li di l

3 2 1 3 2 1 3

2

1

ds ds h h h du du du

ds

dV = =

La formula (i) è particolarmente utile nella risoluzione di integrali di volume:

∫

V

dV

f ( u

₁

, u

₂

, u

₃

)

Sistemi di coordinate curvilinee (5)

• Il sistema fondamentale di versori è particolarmente importante perché mediante esso si possono ricavare le

1 2 3

ˆ , , ˆ ˆ u u u

importante perché mediante esso si possono ricavare le componenti di un generico vettore dello spazio rispetto al sistema di coordinate curvilinee (u ₁ , u ₂ , u ₃ ).

sistema di coordinate curvilinee (u ₁ , u ₂ , u ₃ ).

• Le componenti di un generico vettore v nel riferimento curvilineo si ottengono proiettando tale vettore lungo ciascuno g p g dei versori fondamentali:

i ˆ 1 2 3

v = ⋅ v u _i (u , u , u ) i 1,2,3 =

Coordinate cilindriche e sferiche

Esistono molteplici sistemi di coordinate curvilinee usati nello studio dei campi E.M. Ad esempio, l’equazione di Helmholtz è risolvibile per separazione di E.M. Ad esempio, l equazione di Helmholtz è risolvibile per separazione di variabili in coordinate:

¾ cartesiane ortogonali, cilindriche, sferiche, paraboliche, coniche, sferoidali, paraboloidali ellissoidali ecc

paraboloidali,ellissoidali, ecc.

In questo corso vedremo solamente le coordinate cilindriche (utili nello studio delle strutture guidanti a simmetria circolare) e le g ) coordinate sferiche (utili nello ( studio della radiazione di onde E.M.)

1) C di t ili d i h 1) Coordinate cilindriche

Φ è detta azimut o longitudine, z è detta quota

z u

u

u ₁ = ρ ; ₂ = Φ ; ₃ =

Φ è detta azimut o longitudine, z è detta quota

Le superfici coordinate sono cilindri aventi per asse l’asse z (ρ

= cost), dei semipiani per l’asse z (φ = cost) e dei piani ortogonali all’asse z

ortogonali all asse z.

Nel piano xy, il generico punto P è identificato da una coppia di

coordinate (ρ,φ) coord. polari piane (caso particolare)

Coordinate cilindriche e sferiche (2)

Formule di trasformazione da coord. cartesiane a coord. cilindriche:

( )

⎧ ( )

( )

⎪

⎪ ⎪

⎨

⎧

<

Φ

⎟ ≤

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ Φ

+∞

<

≤ +

= x y

π ρ

ρ

2 0

x arctan y

0

2 2

⎪ ⎪

⎩ =

⎠

⎝ z

z

x

Formule di trasformazione inverse:

Mediante le formule inverse si possono calcolare facilmente i coefficienti metrici:

⎪ ⎨

⎧

Φ

=

Φ

= y x

sin cos ρ ρ

I versori fondamentali relativi al generico punto P di coord. (ρ,φ,z) sono quindi:

facilmente i coefficienti metrici:

1

1

_{2 3}

1

= h = h =

h ρ

⎪ ⎩

⎨

=

Φ

= z z

y ρ sin

g p (ρ,φ, ) q

⎪⎪ ⎨

⎧

+ Φ

+ Φ

−

=

+ Φ

+ Φ

=

_{x y z}

0 ˆ cos ˆ

sin ˆ ˆ

ˆ ˆ 0

ˆ sin ˆ cos

i i

i i

i i

i

i

_ρ

Le formule di trasformazione dei versori si

potevano ricavare anche mediante considerazioni geometriche oltre che

⎪ ⎪

⎩

⎨

=

+ Φ

+ Φ

−

Φ

=

z z

z y

x

ˆ ˆ

0 cos

sin i

i

i i

i

i considerazioni geometriche, oltre che

analiticamente …

Coordinate cilindriche e sferiche (3)

Formule di trasformazione inverse dei versori:

⎧ ˆ i = cos Φ ˆ i sin Φ ˆ i + 0 ˆ i

⎪ ⎪

⎪⎪ ⎨

⎧

+ Φ

+ Φ

=

+ Φ

Φ

=

Φ Φ

z y

z x

ˆ ˆ

0 ˆ cos ˆ

sin ˆ ˆ

0 sin

- cos

i i

i i

i i

i i

i i

ρ ρ

Sia u un generico vettore espresso mediante le sue componenti cartesiane:

⎪⎩ = i

^z

i

^z

ˆ ˆ

ˆ i i i

Proiettando u lungo i versori del sistema cilindrico si ottiene:

z z y

y x

x

u u

u i i i

u = + +

cos sin

u = u φ + u φ

⎧

z z

ˆ ˆ u

ˆ u

u i i i

u =

_{ρ ρ}

+

_{Φ Φ}

+

cos sin

sin cos

x y

x y

u u u

u u u

u u

ρ

φ φ

φ φ

Φ

⎧ +

⎪ = − +

⎨ ⎪ =

⎩ con

Tutte le operazioni definite nei sistemi cartesiani, si possono facilmente estendere ai sistemi di coordinate cilindriche.

z z

u u

⎩

z z

v u v

u v

u + +

=

⋅ v

_{ρ ρ Φ Φ}

Prodotto scalare: u

Coordinate cilindriche e sferiche (4)

Prodotto vettoriale:

z z

z z

z z

z

) ˆ v u v

u ˆ (

) v u v

u ˆ (

) v u v

u ( u

u u

ˆ ˆ ˆ

i i

i i

i i

v

u

_{ρ ρ ρ ρ ρ ρ}

ρ

Φ Φ

Φ Φ

Φ Φ

Φ

− +

− +

−

=

=

×

v

z

v v

_{ρ Φ}

2) Coordinate sferiche (o polari nello spazio):

φ

θ =

=

= _{2 3}

1 r ; u ; u u

Φ è ancora la longitudine, θ è detta colatitudine o elevazione.

Le superfici coordinate sono delle sfere con

centro nell’origine (r = cost), dei coni avente per asse l’asse z (θ = cost) e dei semipiani per

l’asse z (φ = cost).

Coordinate cilindriche e sferiche (5)

Le formule per il cambiamento di coordinate sono:

( )

⎪ ⎪

⎪ ⎧

+∞

<

≤ +

+

= x

²

y

²

z

²

0 r r

( )

⎪ ⎪

⎪⎪

⎪

⎨ ⎟ ⎟ ≤ ≤

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ +

= θ π

θ x 0

arctan

2 2

z y

Valgono poi le formule inverse: _⎪ ^{⎪ ⎪} ( )

⎩ ⎟ ≤ Φ <

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

Φ 0 2 π x

arctan y

⎧ i θ Φ Mediante le formule inverse si possono calcolare facilmente i coefficienti metrici:

θ sin

1 h r h r

h = = =

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

Φ

=

Φ

=

θ θ θ cos

sin sin

cos sin

r z

r y

r x

I versori fondamentali relativi al generico punto P di coord. (r,θ,φ) sono quindi:

θ sin

1

_{2 3}

1

h r h r

h = = =

⎪ ⎩ = z r cos θ

⎪⎪ ⎨

⎧

− Φ +

Φ

=

+ Φ +

Φ

=

z y

x θ

z y

x r

θ ˆ ˆ sin

sin θ ˆ cos

cos θ ˆ cos

ˆ θ ˆ cos

sin ˆ sinθ

cos θ ˆ sin

i i

i i

i i

i

i Le formule di trasformazione dei versori

si potevano ricavare anche mediante considerazioni geometriche oltre che

⎪ ⎪

⎩

⎨

+ Φ +

Φ

−

Φ

=

x y z

z y

x θ

ˆ ˆ 0

ˆ cos

ˆ i sin i i i

considerazioni geometriche, oltre che

analiticamente …

Coordinate cilindriche e sferiche (6)

Formule di trasformazione inverse dei versori:

⎧ ˆ i i θ Φ ˆ i θ Φ i ˆ i Φ ˆ i

⎪ ⎪

⎪⎪ ⎨

⎧

Φ +

Φ +

Φ

=

Φ

− Φ +

Φ

=

Φ Φ

i i

i i

i i

i i

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ cos

sin θ ˆ cos

sin θ ˆ sin

sin cos

θ cos cos

θ sin

θ r

y

θ r

x

Vettori in componenti sferiche:

⎪ ⎪

⎩ ˆ i = cos θ ˆ i − sin θ ˆ i + 0 ˆ i

_Φ

θ r

z

sin cos sin sin cos

u u ϑ φ u ϑ φ u ϑ

⎧ = + +

Φ

+

Φ

+

= i i i

u u

_r

ˆ

_r

u

_θ

ˆ

_θ

u ˆ

sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin

sin cos

r x y z

x y z

x y

u u u u

u u u u

u u u

θ φ

ϑ φ ϑ φ ϑ

ϑ φ ϑ φ ϑ

φ φ

⎧ + +

⎪ = + −

⎨ ⎪ = − +

⎩ con

Prodotto scalare: u ⋅ v = u

_r

v

_r

+ u

_θ

v

_θ

+ u

_Φ

v

_Φ

x y

φ

φ φ

⎩

Prodotto vettoriale:

i

Φ

i i ˆ ˆ ˆ

r θ

Φ Φ

Φ Φ

Φ Φ

Φ Φ

− +

− +

−

=

=

× v i i i

u ( u v u v ) ˆ ( u v u v ) ˆ ( u v u v ) ˆ

v v v

u u

u

_{θ θ r r r θ r θ θ r}

θ r

θ r

θ r

Sistemi di riferimento curvilinei: considerazioni conclusive (1)

• E’ importante non fare confusione fra le coordinate di un punto in un sistema di coordinate curvilineo, e le componenti di un vettore nel medesimo sistema di riferimento!

– Esempio: le coordinate curvilinee possono essere coordinate angolari (es. θ e φ dei sistemi sferico e cilindrico), mentre le componenti di un vettore per φ ), p p definizione sono sempre delle lunghezze!)

• In un sistema cartesiano direzione e verso dei versori fondamentali non variano

• In un sistema cartesiano direzione e verso dei versori fondamentali non variano con il punto, pertanto per comodità essi possono essere pensati fissi ed applicati nell’origine. Ma in generale, in un riferimento curvilineo, tanto i versori fondamentali quanto le componenti del vettore sono funzione del punto di fondamentali quanto le componenti del vettore sono funzione del punto di applicazione P = (u ₁ ,u ₂ ,u ₃ ) del vettore stesso! In formule:

) u , u , ˆ (u ) u , u , u ( v ) u , u , ˆ (u ) u , u , u ( v ) u , u , ˆ (u ) u , u , u (

v _{1 1 2 3} u _{1 1 2 3 2 1 2 3} u _{2 1 2 3 3 1 2 3} u _{3 1 2 3}

v = + +

Ad esempio, nel riferimento cilindrico si ha:

) , , ( ) , , ( )

, , ( ) , , ( )

, , ( ) , ,

( _{1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 3 1 2 3}

1

z z

ˆ ˆ ˆ

v ( , , ) ( ) v ( , , ) ( ) v ( , , ) ( )

_ρ

ρ φ z

_ρ

φ

_Φ

ρ φ z

_Φ

φ ρ φ z φ

= + +

v i i i

e nel sistema di riferimento sferico: v = v ( ,θ, ) (θ, ) v ( ,θ, ) (θ, ) v ( ,θ, ) ( )

_r

r φ ˆ i

_r

φ +

_θ

r φ ˆ i

_θ

φ +

_Φ

r φ ˆ i

_Φ

φ

Sistemi di riferimento curvilinei: considerazioni conclusive (2)

• Si osservi che sia le coordinate cilindriche sia quelle sferiche non sono

definite sull’asse z e in particolare non sono definite nell’origine (poiché

definite sull asse z, e in particolare non sono definite nell origine (poiché

gli angoli θ e φ sono indeterminati): come conseguenza, nemmeno i versori

fondamentali sono definiti, per cui in questi sistemi non ha senso pensare i

vettori applicati nell’origine.