Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod.Analisi prof. B.Bacchelli a.a. 2010/2011
08- Estremi:
Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 4.1. Esercizi 4.1 Estremi liberi: punti di massimo, di minimo, punti stazionari, punti di sella, condizioni necessarie, condizioni sufficienti, matrice hessiana, test delle derivate seconde.
Estremi liberi per funzioni reali di pi`u variabili
Def. Sia f : Rn→ R una funzione a valori reali, definita in un dominio A ⊂ Rn. Si dice che f ha un massimo assoluto (o globale) in un punto a ∈ A se
f (x) ≤ f (a)
per ogni x in A. Si dice che la funzione f ha un massimo relativo (o locale) in a se la disuguaglianza f (x) ≤ f (a) `e soddisfatta per ogni x in un intorno U(a) contenuto in A.
Si definiscono in modo analogo i termini minimo assoluto e minimo relativo usando la disuguaglianza opposta f (x) ≥ f (a).
Def. Si dice estremo di f un punto a che sia un massimo o un minimo, assoluto o relativo.
Def. Un punto a si dice punto stazionario (o critico) se f `e differenzi- abile in a e vale ∇f (a) = 0. Un punto a stazionario `e detto punto di sella (o colle) se in ogni intorno di a ci sono punti x in cui f (x) < f(a) e altri in cui f (x) > f(a).
Oss. Per funzioni di due variabili la condizione di stazionariet`a ha una interpretazione geometrica: se a =(a, b) `e un punto stazionario, esiste il piano tangente alla superficie z = f (x, y) nel punto P = (a, b, f (a, b)), di equazione z = f (a, b), cio`e la superficie ha un piano tangente ”orizzontale” (parallelo al piano xy). Inoltre, se si pensa alla superficie come la superficie (liscia) di una montagna, i punti stazionari di massimo, minimo e sella corrispondono rispettivamente alle cime, ai fondi delle valli e ai passi montani.
Teorema. Condizioni necessarie per un estremo.
Una funzione f : Rn → R ha un estremo in un punto a del suo dominio solo se `e verificata una delle seguenti condizioni:
(a) a `e un punto di frontiera del dominio di f,
(b) a `e un punto singolare di f, cio`e f non `e differenziabile in a, (c) a `e un punto stazionario.
Dim. E’ evidente che un estremo pu`o essere un punto di frontiera o un punto in cui f non `e differenziabile (in realt`a neppure continua!). Se a
`e un estremo interno al dominio e f `e differenziabile in a, allora anche la restrizione di f alla direzione di un asse cartesiano gi(t) = f (a+tei) avr`a un estremo in t = 0, punto interno e derivabile, e per il teorema di Dar- boux (applicato alla restrizione gi) necessariamente g0i(0) = 0. Allora, poich`e Dif (a) =gi0(0) = 0 per ogni i = 1, ..., n, si ha ∇f (a) = 0.
Esempi
Sia f (x, y) = p
x2+ y2. Il punto (0, 0) `e un minimo assoluto essendo sempre f (x, y) ≥ 0 = f (0, 0). f non `e differenziabile in (0,0) che quindi non
`e punto stazionario.
Sia f (x, y) =p
x2+ y2− 1. I punti tali che x2+ y2− 1 = 0 sono punti di frontiera e punti di minimo assoluti.
Sia f (x, y) = 3 − x2 − y2. Il punto (0, 0) `e punto stazionario ed `e un massimo assoluto essendo sempre f (x, y) ≤ 3 = f (0, 0).
Sia f (x, y) =
½ x2+ 4, se x2+ y2 > 1 0 se x2+ y2 ≤ 1 .
I punti {(x, y) : x2+ y2 ≤ 1} sono punti di minimo. I punti per cui x2+y2 <
1 sono stazionari, mentre i punti per cui x2 + y2 = 1 sono di discontinuit`a per f.
Sia f (x, y) = xy. Il punto (0, 0) `e punto stazionario ed `e una sella essendo (esclusi gli assi in cui vale zero) f (x, y) < 0 = f (0, 0) nel secondo e quarto quadrante del piano di definizione di f, f (x, y) > f (0, 0) nel primo e terzo quadrante .
Sia f (x, y) = e−y2 + x4+ 1. Il punto (0, 0) `e punto stazionario ed `e una sella essendo f (0, y) − f (0, 0) < 0 se y 6= 0 e f (x, 0) − f (0, 0) > 0 se x 6= 0.
Teorema di Weierstrass (Condizione sufficiente di esistenza).
Se f : K ⊂ Rn → R `e definita e continua in un insieme K chiuso e limitato, allora esistono in K un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto per f .
Esempio Sia f (x, y) =p3
(x − 1)(y2− x)
f `e continua in R2, non differenziabile nei punti dell’insieme
C = {(x, y) : x = 1 ∨ x = y2} . Il segno del ∆f nei punti di C coincide col segno della funzione. Pertanto si ha che in ogni intorno di tali punti ∆f cambia segno, quindi non sono estremi. Inoltre nel chiuso e limitato K = {(x, y) : y2 ≤ x ≤ 1} f `e continua. Valendo zero nel bordo di K ed essendo f positiva all’interno di K, allora deve esistere un massimo all’interno di K per il teorema di Weierstrass.
∇f = 0 :
½ −(x − 1) + y2 − x = 0
2y = 0 ⇒
½ y = 0 x = 1/2 il punto P = (1/2, 0) ∈ K `e il massimo che cercavamo.
Si noti che i punti della frontiera di K sono punti di minimo per la re- strizione di f all’insieme K.
Teorema. Test delle derivate seconde per funzioni di due varia- bili.
Supponiamo che f : R2 → R abbia derivate parziali del secondo ordine continue in un intorno U(a, b) contenuto nel dominio di f, dove (a,b) `e un punto stazionario di f . Costruita la matrice hessiana (simmetrica)
H(x, y) =
a2f
ax2(x, y) a2f
ayax(x, y) a2f
axay(x, y) a2f ay2(x, y)
si hanno le seguenti condizioni sufficienti:
(a) se detH(a, b) > 0 e a2f
ax2(a, b) > 0, allora (a, b) `e un punto di minimo;
(b) se detH(a, b) > 0 e a2f
ax2(a, b) < 0, allora (a, b) `e un punto di mas- simo;
(c) se detH(a, b) < 0 allora (a, b) `e un punto di sella.
N.B. Se detH(a, b) = 0, questo test non ci fornisce informazioni sulla natura del punto stazionario (a, b).
Per esempio per le funzioni
f (x, y) = x4+ y4, g(x, y) = −x4 − y4, h(x, y) = x4 − y4,
il punto P = (0, 0) `e stazionario. La matrice hessiana in (0, 0) ha tutti gli elementi nulli,quindi det H(0, 0) = 0, e (0, 0) `e un minimo per f , un massimo per g e una sella per h (si valuti il segno del ∆f, ∆g e ∆h).
Dim. Scriviamo la formula di Taylor al primo ordine col resto di Lagrange e centro nel punto stazionario a=(a, b) e incremento h =(h, k) 6= (0, 0): esiste un θ, 0 < θ < 1 tale che
∆f(a,b)(h, k) := f (a + h, b + k) − f (a, b)
= 1
2(hD1+ kD2)2f (a + θh, b + θk), 0 < θ < 1..
Oppure equivalentemente, usando la scrittura vettoriale,
∆fa(h) := f (a + h) − f (a)=1
2hTH(a + θh)h, 0 < θ < 1.
Poich`e le derivate parziali sono continue, se hTH(a)h ha segno costante (non nullo) per 0 < khk < r, allora anche hTH(a + θh)h per θ piccolo, e quindi
∆fa(h), avr`a lo stesso segno di hTH(a)h per khk sufficientemente piccolo e non nullo.
La espressione hTH(a)h si chiama forma quadratica., di cui quindi esaminiamo il segno, per khk < r :
1) se il segno di hTH(a)h per khk < r `e positivo, a `e un minimo (la forma quadratica `e definita positiva);
2) se il segno di hTH(a)h per khk < r `e negativo, a `e un massimo (la forma quadratica `e definita negatva);
3) se esistono degli h non nulli per cui hTH(a)h >0 e degli h non nulli per cui hTH(a)h <0, allora a `e una sella (la forma quadratica `e indefinita).
N.B. Se esistono degli h non nulli per cui hTH(a)h =0, non si pu`o de- cidere, e questo succede se e solo se il det H(a) = 0.
Per esempio per le funzioni
f (x, y) = x4+ y4, g(x, y) = −x4− y4, h(x, y) = x4− y4,
il punto a = (0, 0) `e stazionario e det H(a) = 0, e (0, 0) `e minimo per f,
Siano quindi A = fxx(a, b), B = fxy(a, b) e C = fyy(a, b) i valori delle derivate seconde nel punto. Allora
hTH(a)h = Ah2+ 2Bhk + Ck2 e det H = A.C − B2 = −∆
Poich`e (h, k) 6= (0, 0), sia per esempio k 6= 0. Posto t = h/k, si ha Ah2+ 2Bhk + Ck2 = k2(At2+ 2Bt + C).
e distinguiamo tre casi:
i) Se det H > 0, deve essere A.C 6= 0. Ma il discriminante ∆ del trinomio
`e negativo poich`e ∆/4 = − det H, e quindi il trinomio (e quindi ∆f(a,b)(h, k)) ha il segno di A(6= 0), e sono mostrati i casi (a) e (b).
ii) Se det H < 0 e A.C 6= 0, il discriminante ∆ `e ora positivo, e il trinomio ha segno diverso in quattro regioni delimitate da due rette passanti per (0, 0) di equazione h = t1k e h = t2k. (dove t1, t2 sono le radici del trinomio).
Quindi (a, b) `e sella.
iii) Se det H < 0 e A.C = 0 deve essere B 6= 0, allora ∆f (a, b) = k
2(2Bh + Ck) che ha segno diverso nelle quattro regioni delimitate dalle rette passanti per (0, 0) di equazione k = 0 e 2Bh + Ck = 0, quindi (a, b) `e sella..
I casi ii) e iii) mostrano (c), e abbiamo finito.
Esercizi Si vedano nella directory ESERCIZI estremi/ i file estremi soluzione temi.pdf e esempi critici.pdf
