1. Si dimostri che S ` e una superficie liscia.

Esame scritto di Geometria 2

Appello del 13 febbario 2018

Esercizio 1 Sia S = {(x, y, z) ∈ R

| sin(z)x − cos(z)y = 0}.

1. Si dimostri che S ` e una superficie liscia.

2. Sia γ(t) = (cos √

2t/2
, sin √

2t/2
, √

2t/2). Si dimostri che γ ` e una curva biregolare contenuta in S

3. Si calcoli curvatura e torsione e il riferimento di Frenet di γ.

4. Si discuta se γ sia una curva asintotica di S (ovvero se II( ˙γ, ˙γ) = 0).

Esercizio 2 Si consideri l’insieme

S = {(x, y, z) ∈ R

|x

+ y

= 2z

+ 1}

1. Si verifichi che S ` e una superficie di rotazione (con asse la retta Span(0, 0, 1)) e si calcoli esplicitamente una parametrizzazione di una generatrice.

2. Si determini una mappa R

→ S che localmente dia una parametrizzazione locale di S.

3. Si calcoli la prima e la seconda forma fondamentale nella parametrizzazione data.

4. Si discuta se esistono paralleli geodetici su S determinandoli in caso affer- mativo.

Esercizio 3 Siano

X

= {(x, y, z) ∈ R

| (y − 4)

+ z

= 1, x = 0}, X

= {(x, y, z) ∈ R

| (x − 1)

+ z

= 1, y = 3}, H = {(x, y, z) ∈ R

| x = y − 3}, T = {(x, y, z) ∈ R

| z

= 1 − ( p

x

+ y

− 4)

}.

1. Dire se X

∪ X

∪ H `e connesso per archi.

2. Determinare il gruppo fondamentale di X

∪ X

∪ H.

3. Determinare il gruppo fondamentale di T .

4. Dire se X

∪ X

∪ H e T sono omotopicamente equivalenti.

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